2012线性代数试卷A(含答案)

2012线性代数试卷A(含答案)

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2011-2012 学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内

1. 设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）

(A) A =0 (B) B C时A=0 (C) A 0时B=C (D) |A| 0时B=C

2. 设 1， 2，…， k是n维列向量，则 1， 2，…， k线性无关的充分必要条件是（ ）．

(A) 向量组 1， 2，…， k中任意两个向量线性无关

(B) 存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1 1+l2 2+…+lk k≠0 (C) 向量组 1， 2，…， k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 (D) 向量组 1， 2，…， k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

3．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则秩(A)=( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4．.设矩阵

1

2A= -1

,则与矩阵A相似的矩阵是( )

0 1

1 0 2 1 -2 1

(A)

1 -1

-1 2 3 2 1 1

(B)

(C) (D)

5. 设A为m n矩阵，齐次方程组Ax

(A) A的列向量线性无关； (C) A的行向量线性无关；

0仅有零解的充要条件是（ ）

(B) A的列向量线性相关； (D) A的行向量线性相关.

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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

2x

1 x2

1

x中x的系数是__________.

3

6. 函数f(x) x

1

x

T

7. 设 ( 1,1,

5,

3)

， ( 9, 2,3, 5)

T

,则

与 的距离为

_________.

8. 设向量 (1,

1

9. 已知方程组 2

1

2,

1)， ( 2,

T

,

2)正交，则 =．

T

23a

x1 1

a 2 x2 3 无解，则a

2 x3 4

2

2

2

1

t的取值范围是10. 二次型f(x1,x2,x3) 2x1 3x2 tx3 2x1x2 2x1x是正定的，则3

_______________.

三、计算题

1

0

设B

0 0

1100

0 110

0 2 00 , C 1 0 1 0

1200

3120

4

3

且矩阵 满足关系式1 2

11.(满分8分)

T

X(C B)

I, 其中Ｉ为单位阵.求 .

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1 x11 x11

111 y1

1111 y

12.（满分8分）计算行列式D

111

.

.

13.(满分7分) 设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且

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A

12

，求(3A)

1

2A

*

.

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四、解答题

14.(满分10分) 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方

程组的通解.

x1 x2 x3 x4 2

2x1 3x2 x3 x4 1 x 2x 2x 5

34 1

15.(满分10分) 求出向量组 1

3 3,

4,

5,

T

1,

2,3,

4 ， 2 2,

T

3,4,

5 ，

T

的一个最大线性无关组，并用最大线性无关组表示组中其它向 6

量.

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16.(满分６分) 设A是二阶方阵，特征值分别为 1

为p1 ，p2

1 1

1

。设P 1

2, 2 4，其对应的特征向量分别

p2,p1 ，求P 1AP，A2及

A.

17.（满分10分）设有二次型f x1,x2,x3

x1 2x2 x3 2x1x2 2x1x3 4x2x3

222

（1） 写出二次型f的矩阵A；

（2） 用配方法化二次型为标准型，并写出所用可逆线性变换.

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五、证明题

18. (满分6分) 已知向量组 1, 2, 3线性无关，证明向量组 1 2，3 2

1 2 2 3 线性无关.

2 3，

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2011-2012 学年第2学期 考试科目：线性代数

一、选择题

1. D 2. D 3. C 4. B 5. A 二、填空题

6. 2. 7. 9. 8. 2． 9. 3． 10. t

35

.

三、计算题 11.解：

1234 C B

123 0012 ， 0

01

1000 (C B)

T

2100

321 0 4

32

1

1000 1

C B T 2100

1 210 ， 0

1 21

1000 T

1

X I

2100

C B

1 210 0

1

2

1

12. 解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

x

x00 D 11 x1100yy1

1

1

1 y

第二列减第一列，第四列减第三列得：

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------- 2分 ------- 4分 ------- 7分 ------- 8分 ------ 2分

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xD

101

0 x00 x

01y11y1

000 y0

0 ------ 6分 y0y

------ 4分

按第一行展开得

D x0

按第三列展开得

D xy

x1

xy ------ 8分

2

2

（方法不唯一，其他解法类似给分）

13. 解：因A*A＝

A

1

AI

*

12

I，故A

*

A

n 1

14

------- 2分

1A

1

A

*

2A ------- 4分

23

43

16 4 1

------- 7分

3427

3

(3A) 2A

*

A

*

2A

*

A

*

四、解答题 14. 解：

1

(A,b) 2

1

130

112

112

2 r1 5

1

0 0

010

2 10

2 10

5

3 ---- 3分 0

2 2

x1 2x3 2x4 0 1 1

基础解系为 1 ， ----- 6分 2 x x x 00134 2

1 0

x1 2x3 2x4 5 x2 x3 x4 3

令x3 x4

5 3

0，得一特解： ---- 8分 0

0

故原方程组的通解为：

5 2 2 3 1 1

，其中k1,k2 R ----- 10分 k k1 2 010

0 0 1

k1 1 k2 2

（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）

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1 2

15. 解:

3 4

2345

3 1 40 ~ 5 0 6 0

2 1 2 3

3 1 20 ~ 4 0 6 0

2100

3 1 20 ~ 0 0 0 0

0100

1 2

------- 6分 0 0

秩为2. 最大无关组: 1, 2, ------- 8分

3 1 2 2. ------ 10分

16. 解:

2

P

1

4

AP

00 2

------- 2分

2

1 42 1 0

0 12 2 1

1 1 10 1 2 6

6

- 4分 10

4

A P

00 1 1

P 2 1

A 8 ------- 6分

1 2 1

17. 解：第二小题可用其它方法，自己调整标准

1

(1) A 1

1

122

------- 3分

222222

(2) f x1 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x2 x3 x2 2x2x3 x3 x3

x1 x2 x3 x2 x3 x3

2

2

2

------- 6分

x1 y1 y2 y3 y3

y2 y3为所求. x2

y3

x3

110

0 1 1

y1 x1 x2 x3

x2 x3 即 令 y2

x3

y3

1 222

f y1 y2 y3, C 0

0

------- 10分

五、证明题

18.证明: 设有数k1,k2,k3使

k1 1 2 k2 3 2 2 3 k3 1 2 2 3 0 ------- 2分

即

k1 k3 1 k1 3k2

032

2k3 2 2k2 k3 3 0

1, 2, 3线性无关,

1 k1 k3 0

k1 3k2 2k3 0, 1 0 2k2 k3 0

1

2 3 2 4 9 0 ------- 4分 1

方程组只有零解. k1, k2 k3 0. 线性无关

------- 6分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t2ym.html