2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

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2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

全等三角形

一、选择题

1．（2015，广西柳州，12，3分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：

①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）

A． 1个

B． 2个

C． 3个

D．4个

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=

GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出

△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．解答：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE，由勾股定理得：BE=∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°，

GE，∴①错误；

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中

∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°，

∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°，

∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．

2．（3分）（2015 广东茂名8，3分）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）

A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点：角平分线的性质．

分析：过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．解答：解：如图，

过点P作PE⊥OB于点E，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D， ∴PE=PD， ∵PD=6， ∴PE=6，

即点P到OB的距离是6．故选：A．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．

3．（2015 湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3

，且∠ECF=45°，则CF的长为（）

A．2

B． 3

C．

D．

考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

分析：首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．解答：解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE， ∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

，

∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3∴BE=∴AE=3，

设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x， ∴EF=

，CB=6，

=3，

，

∴（9﹣x）=9+x， ∴x=4，即AF=4， ∴GF=5， ∴DF=2， ∴CF=故选A．

，

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．

4. （2015 北海,第12题3分）如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

A．（4，8） B．（5，8） C．（

考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．专题：计算题．

分析：由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．解答：解：∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4， ∴BC=OA=8，AB=OC=4，

由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，在Rt△CBP和Rt△DOB中，

，

∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL）， ∴∠CBO=∠DOB， ∴OE=EB，

设CE=x，则EB=OE=8﹣x，

在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2=x2+42，解得：x=3，

∴CE=3，OE=5，DE=3，

过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE， ∴

，即

，

） D．（

，

）

解得：DF=，EF=，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∴DF+OC=则D（故选C．

，

+4=），

，CF=3+=

，

点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

5. （2015 齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．

分析： ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=

；然后判断出EM=

，即可判断出EM=DN；

，可得S△CDN=S△ABC，所以

②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．

③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．

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④首先判断出，DM=FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的

方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．解答：解：∵D是BC中点，N是AC中点， ∴DN是△ABC的中位线， ∴DN∥AB，且DN=

；

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M， ∴M是AB的中点， ∴EM=又∵DN=∴EM=DN， ∴结论①正确； ∵DN∥AB， ∴△CDN∽ABC， ∵DN=

，，，

∴S△CDN=S△ABC， ∴S△CDN=S四边形ABDN， ∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM=

；

，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=∴DM=FN，

∵DM∥AC，DN∥AB， ∴四边形AMDN是平行四边形， ∴∠AMD=∠AND，又∵∠EMA=∠FNA=90°， ∴∠EMD=∠DNF，在△EMD和△DNF中，

，

∴△EMD≌△DNF， ∴DE=DF， ∴结论③正确；

，，

如图2，连接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB， ∴M是AB的中点，EM⊥AB，

∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°， ∴

，

∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM=

；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，

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∴FN=又∵DM=∴DM=FN=

，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，， FA，

∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD， ∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC =360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD） =90°+∠AMD ∴∠EMD=∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，

∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED=∠AEF， ∵∠MED+∠AED=45°， ∴∠AED+∠AEF=45°，即∠DEF=45°，又∵DE=DF， ∴∠DFE=45°，

∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴DE⊥DF， ∴结论④正确．

∴正确的结论有4个：①②③④．故选：D．

点评：（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

6. （2015 贵州省贵阳,第8题3分）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使

△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）

A．∠A=∠C

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．解答：解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中 ∵

，

B． ∠D=∠B

C． AD∥BC

D．DF∥BE

∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：B．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

二、填空题

1．（2015，广西柳州，14，3分）如图，△ABC≌△DEF，则EF=

考点：全等三角形的性质．

分析：利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

解答：解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF 则EF=5．故答案为：5．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．

2. （2015，广西河池，14，3分）如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,若BC=10,则DE= 5 .

3. （2015 齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是

BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）

考点：全等三角形的判定．专题：开放型．

分析： BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．解答：解：若添加BC=EF， ∵BC∥EF， ∴∠B=∠E， ∵BD=AE，

∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，

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在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF， ∵BC∥EF， ∴∠B=∠E， ∵BD=AE，

∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF

点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 4. （2015 青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF （只需写一个，不添加辅助线）．

考点：全等三角形的判定．专题：开放型．

分析：求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， ∴BC=EF，

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∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF，在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．

5. （2015 贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件 AB=CD ，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）

考点：全等三角形的判定．专题：开放型．

分析：先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．解答：解：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB，而BD=DB，

∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB=CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

三、解答题

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

1.] （2015 甘南州第19题 7分）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．. 分析：

（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：

（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．

由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DBF中，

，

△ABF≌△DBF（SAS）， BD=AF，

故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

，

MN∥BF，

△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，

，

∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，

，

△BMH≌△FNG（SAS）， ∴BH=FG．点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．

2. （2015，广西柳州，21，6分）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．

（1）求DB的长；

（2）在△ABC中，求BC边上高的长．

考点：勾股定理；三角形中位线定理．

分析：（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；

（2）利用平行线分线段成比例定理得出BD=AE，进而求出即可．解答：解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∴BD=

=3；

（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E， ∵DB⊥BC，AE⊥BC， ∴AE∥DB，

∵D为AC边的中点， ∴BD=AE，

∴AE=6，即BC边上高的长为6．

点评：此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出BD=AE是解题关键．

3. （2015，福建南平，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，则BO=CO．（2分） ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF．（4分）

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

∴BE=CF．（5分）

点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．

4. （2015，广西玉林，21，6分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

分析：根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．

解答：解：结论：OM平分∠BOA，

证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，在△COM和△DOM中，

，

∴△COM≌△DOM， ∴∠COM=∠DOM， ∴OM平分∠BOA．

点评：本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5. （2015，广西玉林，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

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考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析：（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；

（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．解答：解：（1）∵△CDQ≌△CPQ， ∴DQ=PQ，PC=DC， ∵AB=DC=5，AD=BC=3， ∴PC=5，

在RT△PBC中，PB=∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在RT△PAQ中，（3﹣x）=x+1，解得x=， ∴AQ=．

（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB， ∵MD⊥MP， ∴∠PMD=90°， ∴∠PME+∠DMF=90°， ∵∠FDM+∠DMF=90°， ∴∠MDF=∠PME， ∵M是QC的中点，

根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，在△MDF和△PME中，

=4，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

，

∴△MDF≌△PME（AAS）， ∴ME=DF，PE=MF， ∵EF⊥CD，AD⊥CD， ∴EF∥AD， ∵QM=MC， ∴DF=CF=DC=， ∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位线， ∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3， ∴AQ=2．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键． 6. （2015，广西河池，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD (1)作∠A的角平分线交CD于E; (2)过B作CD的垂线，垂足为F;

(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母),并选择其中一对加以证明.

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

解:

(3)△ACE≌△ADE,△ACE≌△CFB 证明:△ACE≌△ADE ∵AE是∠A的平分线, ∴∠CAE=∠DAE, 又AC=AD,AE为公共边, ∴△ACE≌△ADE(SAS).

7．（2015 湖北十堰，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E

，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．

考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．解答：解：如图，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题21 全等三角形

，

∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AB=DE．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．