解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)

解直角三角形应用(一)南雅中学 范韵

课堂引入每周一清晨，学校的全体师生都要举行升旗仪式 。可是我们经常发现，在国歌声中，旗手升旗的速 度有快有慢，很难做到与音乐的节奏同步。现在我 们学校准备投资换一根电动旗杆。请你帮忙计算国 旗上升的速度，让国旗上升的速度与音乐同步。

利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的 除了用相似，还可以用其他方法来测量 长度的问题 这些不能直接测量的物体的长度吗？

探究1:如图，小明发现了另外一个利用解直角三角形，测量操场上旗杆高度的方法，离旗杆底部10米远 处，目测旗杆的顶部，仰角为30度，并已知目高为 1.65米.然后他很快就算出旗杆的高度了。 A 你能将实际问题归结为数学问题吗？

?BC

30°1.65米

10米

ED

解：由题意得，在Rt△ABE中

练习1:如图，小兰发现了另外一个测量操场上旗杆高度的方法，她把测角仪搬到教学楼的三楼窗口处，测得旗杆 的顶部仰角为45°,测得旗杆底部俯角为30°,教学楼离 旗杆底部200米，请你帮忙计算出旗杆的高度。

探究2:如图，小兰发现因为刚下过雨旗杆旁边有一滩水，不太方便测自己离旗杆得距离，她在A处测得旗杆的顶部 仰角为45°,然后后退10米测得旗杆的顶部仰角为30°, 然后她也很快就算出旗杆的高度了。 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？

解：由题意得，在Rt△ABE中

巩固提升青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试， 永不言弃.(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处 观察羊羊们时，发现懒洋洋在大树底下睡懒觉，此时，测得 懒洋洋所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处，测 得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速 度从城堡底部D处出发，几秒种后能抓到懒羊羊？(结果精 确到个位).

答案：约7秒

思想与方法

1.把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个 方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画 出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中 的边、角或它们之间的关系. 2.把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.

衡阳迴雁峰学校操场上的国旗杆要更换，要求新旗杆与 旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆高的 任务交给我们，为了课下顺利完成测量任务， 今天请同学们设计出一套切实可行的测量方 案。

课堂引入青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试， 永不言弃.(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处 观察羊羊们时，发现

懒洋洋在大树底下睡懒觉，此时，测得 懒洋洋所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处，测 得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速 度从城堡底部D处出发，几秒种后能抓到懒羊羊？(结果精 确到个位).

答案：约7秒

“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了 舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图，在一次空中搜寻中， 水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞 机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察，飞机继续 向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的 方向上，请你计算当飞机飞临F点 的正上方点C时(点A、B、C在同一直线上),竖直高度CF约 为多少米？

当堂反馈2、如图,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°,已知CB=200m,点D在BC上，则点D离 树的顶点A的距离为 。 A45°

30°

C B

D

3、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两 个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测 得A村的俯角为30°,B村的俯角为60°(如图 5).求A、B两个村庄间的距离.(结果保留根 号).P

Q

答案：AB≈520(米)

60 °

30 °

450

A

B

C

图5

课堂小结今天的课堂，你收获了什么呢？等边三角形的性质和判定

研究几何图 形三步曲定义 性质 判定

分类讨论的数学思想

类比的学习方法

学习新知

仰角和俯角向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

B视线仰角

O

俯角

A水平线 C视线

新知巩固变式1:一架直升飞机在200米的高空P处，测得大 楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°, 求大楼之间的水平距离和大楼AB的高。A

P 200米 O

45° D 30°

B

问题1 学校操场上的国旗杆要更换，要求新 旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆 高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任 务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量 方案。

测国旗杆的高度 一、测量工具：皮尺(长度用a、 b、c……表示)

测倾器(角度用 α、β 、γ ……表示) 二、要求：1、设计测量方案 2、计算

知识回顾一、如图，Rt△ABC中，∠C=90°,(1)三边之间的关系:

温故而知新a2+b2=c2(勾股定理); c

B

; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º

a(3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c tanA= a bA

b

C

温故而知新二、如图，Rt△ABC中，∠C=90°, (1)若∠A=30°,BC=3,则AC= (2)若∠B=60°,AC=3,则BC= (3)若∠A=α°,AC=3,则BC=

3 3

3

3 tan m (4)若∠A=α°,BC=m,则AC= tan

B

A

┌ C

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