二次函数图像及其性质复习3

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二次函数解析式1. 2. 3.

一般式：y=ax2+b x+c x+ 一般式： 顶点式： (x- 顶点式：y=a (x-h)2+k 交点式： (x- )(x- 交点式：y=a (x-x1)(x-x2)

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二次函数y=ax bx+ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象 a≠0)图 性质a>0,抛物线开口向上， a>0,抛物线开口向上， a<0,抛物线开口向下； a<0,抛物线开口向下； b 对称轴为x= 对称轴为x= 2a

b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ) 2a 4a与y轴的交点坐标为(0,c) 轴的交点坐标为(0,

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c b± b2 4a ,0) 图象与x △ >0 图象与x轴交于两点( 2a b 图象与x △ =0 图象与x轴交于一点 ( ,) 0 2a

△<0

图象与x 图象与x轴无交点

当a>0时，函数在x= a>0时 函数在x=4a b2 c y= 4a

b 处，取得最小值 2a

b a<0时 函数在x= 当a<0时，函数在x= 2a

处，取得最大值

4a b2 c y= 4a

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2+ b 1.一般式：y=ax 1.一般式 一般式：

x+ x+ c

例1:已知二次函数的图象过点(1,2)、(3, :已知二次函数的图象过点(1 )、(3 5)、(-2,-6),求该函数的解析式。 )、(分析：将三个点的坐轴代入函数的解析式，得

a + b + c = 2 9a + 3b + c = 5 4a 2b + c = 6 解出这个方程组即可

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2. 顶点式：y=a 顶点式：

2+ k (x- (x-h)

例2:已知二次函数的图象的顶点坐标是 ),且图象过点 且图象过点( ),求函 (-4,8),且图象过点(0,3),求函 数的解析式。 数的解析式。 分析：函数的顶点坐标是( 分析：函数的顶点坐标是(h,k),所 k), =8,即得y=a(x+4) 以h=-4,k=8,即得y=a(x+4)2+8

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3. 交点式： y=a (x-x1)(x-x2) 交点式： (x- )(x-例3:已知二次函数的图象与x轴的交点的 ：已知二次函数的图象与x 横坐标是3 横坐标是3,-2,且与y轴交点的纵坐标是7, ,且与y轴交点的纵坐标是7 求该二次函数的解析式。 分析：由题意得： x1=3, x2=-2代入函 =3, 数解式为y=a(x-3)(x+2),再将x=0, 数解式为y=a(x-3)(x+2),再将x=0,y=7 代入前式即可解出a 代入前式即可解出a值 结果：

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一、复习： 复习： 1、二次函数y=0.5x2-x-3写成y=a(x-h)2+k 、二次函数y=0.5x 写成y=a(x y=a(x的形式后,h=___,k=___ 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=-x2-2x+3的开口向 、抛物线 - + 的开口向 ， ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 对称轴 顶点坐标 当 值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 与 轴交点 与 轴交点 。 3、二次函数y=x2-2x-k的最小值为-5, 、二次函数y=x 2x- 的最小值为- , 则解析式为 。 4、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在 轴上， 、已知抛物线 的的顶点在x轴上 的的顶点在 轴上， 的值？ 求c的值？ 的值

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二、用待定系数法求抛物线解析式例1、已知二次函数的图象经过 、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4), ,

(3,10

)三点 请你用待定系数法求这个函数 三点,请 三点 的解析式。 的解析式。 例 2、 已知二次函数的图象经过 、 已知二次函数的图象经过(0,1),它 它 的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。 求这个函数的解析式。 的顶点坐标是 求这个函数的解析式 且过(2,8), 例3、已知抛物线的顶点在原点 且过 、已知抛物线的顶点在原点,且过 求这个函数的解析式。 求这个函数的解析式。

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根据下列已知条件，求二次函数的解析式： 根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点 抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) 抛物线过点 (2)抛物线顶点为 -1,2)且过点 抛物线顶点为M(- 且过点N(2,1) 抛物线顶点为 且过点 (3)抛物线过原点，且过点(3,-27) 抛物线过原点，且过点 - 抛物线过原点(4)已知二次函数的图象经过点(1,0), 已知二次函数的图象经过点( , ),

),(0, 求二次函数的解析式。 (3,0),(0,6)求二次函数的解析式。 , ),(0 6)求二次函数的解析式(5)抛物线 抛物线y=ax2+bx+c经过 ，0)与(12,0), 经过(0, 与 抛物线 经过 ， ), 最高点的纵坐标是3, 最高点的纵坐标是 ，求这条抛物线的解析式

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综合例题： 综合例题：例1:已知二次函函数图像经过点 (-1,0), :已知二次函函数图像经过点A( , ), B(3,0),与y轴的交点 ，且三角形 ),与 轴的交点 轴的交点C,且三角形ABC的 ( , ), 的 面积为6 面积为C

A -1C

B 3

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有最大值4,抛物线与x轴 例2:当x=-1,y有最大值 ，抛物线与 轴 ： , 有最大值 的交点的横坐标为x 的交点的横坐标为 1 , x2 ,且x12+x22=10

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练习： 练习：1、已知二次函数的图像经过点A(-1,12), 、已知二次函数的图像经过点 ( , ), ),B (2,-3) , ) (1)求该二次函数的解析式 ) (2)用配方法把由(1)得到的解析式化为的 )用配方法把由( ) 形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴； 形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴； 轴的两个交点C, 的坐标及 (3)求抛物线与 轴的两个交点 ，D的坐标及 )求抛物线与x轴的两个交点 三角形ACD的面积 三角形 的面积 2、已知的图像与x轴只有一个公共交点 、已知的图像与 轴只有一个公共交点 轴只有一个公共交点(-1,0), , , 要求至少用三种方法求p, 的值 要求至少用三种方法求 ，q的值

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小结： 小结：在选用二次函数的解析式时应根据实际条 件进行选用，它们一般满足以下规律： 件进行选用，它们一般满足以下规律： 一般式： y=ax2+b 一般式：

x+ c x+

已知三点坐标或三对x, 值时 已知三点坐标或三对 ，y值时

顶点式：y=a (x-h)2+k (x- 顶点式：已知顶点坐

标或对称轴与函数最大( 已知顶点坐标或对称轴与函数最大(小) 值时

交点式：y=a (x-x1)(x-x2) (x- )(x- 交点式：已知图象与x轴交点的坐标 已知图象与 轴交点的坐标

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一、复习： 复习： 1、抛物线y=-x2+2x - 3的开口向 、抛物线 - 的开口向 ， ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 对称轴 顶点坐标 当 值 ,与x轴交点 ,与y轴交点 = 与 轴交点 与 轴交点 。 2、抛物线 y = 2( x + m) + n的顶点是 -2,3), 、 的顶点是(- , 的增大而增大。 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。 当 随 的增大而增大2

3、已知二次函数 y = x 6 x + m 的最小值 、 为1,则m= , 。2

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4、m为 、 为 时，抛物线 y = 2 x + mx + 4 的顶点在x轴上 轴上。 的顶点在 轴上。2

5、已知一个二次函数的图象经过(-1,10), 、已知一个二次函数的图象经过 - , (1,4),(2,7)三点 求这个函数的解析式。 三点, 三点 求这个函数的解析式。 6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 已知一个二次函数的图象经过点( , ), 且抛物线的顶点是( , 且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。 ) 求它的解析式。

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二、判断正负性

例1、如图，二次函数y=ax2+bx+c 如图，二次函数y=ax 则a 0, b 0, c 0,-1 1 1 -1

a+b+c 0, a-b+c 0, - b2-4ac 0

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练习：判断下列抛物线中 练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号 的符号 y y y

0

x

0

x

0

x

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练习：抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象 练习：抛物线 = + 的顶点在第一象 且与x轴交于点 轴交于点A,且与y轴交于点 轴交于点C, 限，且与 轴交于点 ，且与 轴交于点 ， 在线段OB上 的坐标为(1, 点C在线段 上。点A、B的坐标为 ，0), 在线段 、 的坐标为 (0,1)。试确定下列代数式的符号？ , 。试确定下列代数式的符号？ (1)a,( )b,( )c, y ,(2) ,(3) , ,( ,( B(0,1) (4)a+b+c ) + +C

(5)a-b+c ) - + (6)a+b+1 ) + +

A(1,0)

x

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三、抛物线与x轴的交点问题 抛物线与 轴的交点问题1 2 3 5 例2、已知抛物线 y = 4 x + 2 x + 4 、

与x轴交于 、B两点，且点A在B的右侧， 轴交于A、 两点，且点 在 的右侧 轴交于 两点 的右 顶点为C, 顶点为 ， 的坐标； (1)求A、B、C的坐标； ) 、 、 的坐标 (2)求SΔCAB ) 抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二 抛物线与 轴的交点的横坐标就是一元二 次方程的两个根， 次方程的两个根，因而可将函数知识与方 程中根的判别式、 程中根的判别式、根与系数的关系联系起 来。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t2km.html