2010苏北四市二模数学答案

高三年级调研测试 参考答案与评分标准

数学(Ⅰ)

一、填空题：

1. 2； 2.5； 3.?1； 4.45； 5. 9.２； 10. 二、解答题:

????????11115.（1）因为OP?OQ??，所以sin2??cos2???， ??????????????2分

222112即(1?cos2?)?cos2???，所以cos2??， ???????????????4分 22385； 6.

23； 7.

3394； 8. 32；

1

34； 11.(?3,?1)?(1,2)； 12.5； 13.

； 14.(1,ee)．

所以cos2??2cos??1? （2）因为 cos??22132．???????????????????????6分

1121，所以点P(,)，点Q(,?1)， ??????8分

332334312 又点P(,)在角?的终边上，所以sin??，cos?? ． ?????????10分

23552，所以sin??同理 sin???31010，cos??1010， ???????????????????12分

45?1010?35?(?31010)??1010所以sin(???)?sin?cos??cos?sin??．???14分

16.（1）因为三棱柱ABC?A1B1C1是正三棱柱，所以C1C?平面ABC，

又AD?平面ABC，所以C1C?AD， ????????????????????? 2分

又点D是棱BC的中点，且?ABC为正三角形，所以AD?BC，

因为BC?C1C?C，所以AD?平面BCC1B1， ??????????????????4分 又因为DC1?平面BCC1B1，所以AD?C1D．??????????????????6分 (2)连接A1C交AC1于点E，再连接DE． 因为四边形A1ACC1为矩形，

所以E为A1C的中点，???????8分 又因为D为BC的中点，

所以ED//A1B.??????????10分 又A1B?平面ADC1，ED?平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1．??????14分 17.（1）因为数列2B D C1

bnA A1 E B1 ?bn?C 是首项为2，公比为4的等比数列，所以2?2?4n?1?22n?1， 因此bn?2n?1．??????????????????????????????2分

22设数列?bn?的前n项和为Tn，则Tn?n，T2n?4n，因为

T2nTn?4，

所以数列?bn?为“和等比数列”．???????????????????????6分

高三数学 第 1 页 共 7 页

(2) 设数列?cn?的前n项和为Rn，且

R2nRn?k(k?0)，

因为数列?cn?是等差数列，所以Rn?nc1?R2nRn2nc1??nc1?2n(2n?1)2n(n?1)dn(n?1)2d，R2n?2nc1?2n(2n?1)2d，?8分

所以

?k对于n?N都成立，

*d2化简得，(k?4)dn?(k?2)(2c1?d)?0，???????????????????10分

?(k?4)d?0, 则?，因为d?0，所以k?4,d?2c1，

?(k?2)(2c1?d)?0因此d与c1之间的等量关系为d?2c1．??????????????????????14分

18.（1）设抛物线C的方程为y2?2px(p?0)，

因为准线l的方程为x??2，所以?p2??2，即p?4，

因此抛物线C的方程为y2?8x． ??????????????????????4分 12t?(3t?)1tx， （2）由题意可知，P(?2,3t?)，Q(0,2t)，则直线PQ方程为：y?2t?t2即(t2?1)x?2ty?4t2?0，??????????????????????????8分

设圆心在x轴上，且与直线PQ相切的圆M的方程为(x?x0)2?y2?r2(r?0)， 则圆心M(x0,0)到直线PQ的距离

(t?1)x0?4t(t?1)?4t22222?r， ?????????????10分

即(t2?1)x0?4t2?r?rt2①或(t2?1)x0?4t2??r?rt2② 由①可得(x0?r?4)t2?x0?r?0对任意t?R,t?0恒成立，则有

?x0?r?4?0,?x0?2,，解得（舍去） ????????????????????14分 ???x?r?0,r??2,??0由②可得(x0?r?4)t2?x0?r?0对任意t?R,t?0恒成立，则有

?x0?r?4?0,?x0?2,，可解得 ???x?r?0,r?2,??0因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M：(x?2)2?y2?4相切. ???????16分 19.(1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W． 在Rt?NWS 中，因为NW?2，?SNW??，

2NS?所以．?????????????2分

cos?因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ?MN， 在Rt?QPS，因为PQ?1，?PQS??， 所以QS?1cos?cos?①若S在线段TG上，则TS?QT?QS

1C T ? M D 1mH mB P F S G Q W ，QT?QS?2?，

N A 1mE 高三数学 第 2 页 共 7 页

m在Rt?STM 中，MS?TSsin?因此MN?NS?MS?NS?sin?QT?QSsin??QT?QS，

????????????????????????6分

中，MS?TSsin??QS?QTsin?②若S在线段GT的延长线上，则TS?QS?QT，在Rt?STM 因此MN?NS?MS?NS?QS?QT?NS?QT?QS，

sin?sin?QT?QS221??(?) f(?)?MN?NS?sin?cos?sin?sin?cos?2(sin??cos?)?1??(0???)． ??????????????????????8分

sin?cos?22)，则sin?cos??（2）设sin??cos??t(1?t?因为g?(t)??4(t?t?1)(t?1)4t?2t?12t?122，即f(?)?g(t)?4t?2t?12．

222，又1?t?2，所以g?(t)?0恒成立，???????????12分

因此函数g(t)?在t?(1,2]是减函数，所以g(t)min?g(2)?42?2，

即MNmin?42?2．

答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为42?2．?????16分

11122220.（1）当a?时，f?(x)=x?2bx?b?=(x?b)?b?b?，其对称轴为直线x??b，

333??b??2,??b??2,26当? ，解得b?，当??15f(?3)?0??f?(?1)?0，b无解，

所以b的的取值范围为(??,22615)． ??????????????????????????4分

（2）因为f?(x)?3ax?2bx?(b?a)， 法一：当a?0时，x??当a?0时，3x?2212适合题意，????????????????????????6分 ba?1)?0，令t?12)??14ba2bax?(，则3x?2tx?(t?1)?0，

2令h(x)?3x?2tx?(t?1)，因为h(??0，

1当t?1时，h(0)?t?1?0，所以y?h(x)在(?,0)内有零点．

2)内有零点．

2 因此，当a?0时，y?h(x)在(?1,0)内至少有一个零点．

综上可知，函数y?f?(x)在(?1,0)内至少有一个零点．??????????????10分

当t?1时，h(?1)?2?t?1?0，所以y?h(x)在（?1,?1法二：f?(0)?b?a，f?(?1)?2a?b，

f?(?13)?b?2a3．

1由于a,b不同时为零，所以f?(?)?f?(?1)?0，故结论成立．???????????10分

3高三数学 第 3 页 共 7 页

(3)因为f(x)=ax3?bx2?(b?a)x为奇函数，所以b?0, 所以f(x)?ax?ax， 又f(x)在x?1处的切线垂直于直线x?2y?3?0，所以a?1，即f(x)?x3?x． 因为f?(x)?3(x?33)(x?333所以f(x)在(??,?)，

33),(33在[?,??)上是増函数，

y 33,33]上是减函数，由f(x)?0解得x??1,x?0，如图所示， 当?1?t??解得?当?333233时，f(t)??3314t?0，即t?t??3t4，

?t??；

14t?0 ，解得?33?t?0；

－1 O 1 x ?t?0时，f(t)??当t?0时，显然不成立； 当0?t?当t?3333时，f(t)??1414t?0，即t?t??33?t?323t4，解得0?t?33；

时，f(t)??t?0，故

32．

32所以所求t的取值范围是??t?0或0?t?．

数学(Ⅱ)

21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题

卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4－1：几何证明选讲

A 过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥EF，

BFBE1??， ?????????????２分 所以BMBD3D 所以又

S?BEFS?BDM??2319，即S?BDM?9S?BEF????????４分

23S?BDM?6S?BEF，???８分

E B

F

M

C

S?DMCS?BDM，即S?DMC?所以S四边形DEFC?14S?BEF，因此B.选修4－2：矩阵与变换 矩阵M的特征多项式为f(?)?S?BEFS四边形DEFC0?114． ???????????????10分

??2?1??1???3??2， ???????????２分

2令f(?)?0，解得?1?1,?2?2， ??????????????????????４分 将?1?1代入二元一次方程组?（?x?0?y?0,??-2）??x?(??1)y?0, 解得x?0，??????????６分

?0?M所以矩阵属于特征值1的一个特征向量为??；?????????????????８分

?1?同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为??．????????????????10分

?1??1?高三数学 第 4 页 共 7 页

C.选修4 - 4：坐标系与参数方程

?因为直线l的极坐标方程为?????R?

3所以直线l的普通方程为y?又因为曲线C的参数方程为?3x，????????????????????????３分

?x?2cos?,?y?1?cos2?（?为参数）

所以曲线C的直角坐标方程为y?联立解方程组得??x?0,?y?0,12x2?x???2,2??， ???????????????６分

或???x?23,??y?6， ?????????????????????８分

根据x的范围应舍去??x?23,???y?6,故P点的直角坐标为(0,0)．????????????10分

D.选修4－5：不等式选讲

因为f(x)?(x?a)?(x?b)?(x?c)?222222(a?b?c)322

2?3x?2(a?b?c)x?a?b?c??3(x?a?b?c32222(a?b?c)3

)?a?b?c， ????????????????2分

222222所以x?a?b?c3时，f(x)取最小值a?b?c，即m?a?b?c， ?????5分

2222222?因为a?b?2c?3，由柯西不等式得??1?(?1)?2??(a?b?c)?(a?b?2c)?9，?8分

93abc333222?，b??，c?所以m?a?b?c??，当且仅当?即a?，时等号成立，

621?124423所以m的最小值为． ??????????????????????????10分

211122．⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p1?、p2?、p3?，

423该参加者有资格闯第三关为事件A．则P(A)?p1(1?p2)?(1?p1)p2?p1p2?(2)由题意可知，?的可能取值为0、3、6、7、10， P(??0)?(1?p1)(1?p2)?P(??6)?p1p2(1?p3)?P(??10)?p1p2p3?1241823；??4分

13， P(??3)?p1(1?p2)(1?p3)?(1?p1)p2(1?p3)?112?124?1814?18?38，

，P(??7)?p1(1?p2)p3?(1?p1)p2p3?，

，所以?的分布列为??????????????????8分

0 3 38?6?18

? p 136 7 18?31610 13?3? 38 1818?10? 1 124 所以?的数学期望E??0??7?24????????????10分

高三数学 第 5 页 共 7 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t2i2.html