中考数学专项复习 锐角三角函数与特殊角

中考数学专项复习 锐角三角函数与特殊角 2019.2

一、选择题

22

1． （2015，广西玉林，2，3分）计算：cos45°+sin45°=（ ） A． B． 1

考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 首先根据cos45°=sin45°=

2

2

C． D．

，分别求出cos45°、sin45°的值是多少；然后把它们

22

求和，求出cos45°+sin45°的值是多少即可． 解答： 解：∵cos45°=sin45°=∴cos45°+sin45° ==

2

2

，

=1．

故选：B．

点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1． 2. （2015?山西,第10题3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）

A．2

B．

C．

D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理． 专题： 网格型．

分析： 根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

解答： 解：如图：由勾股定理，得

，

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AC=，AB=2，BC=，

∴△ABC为直角三角形， ∴tan∠B=故选：D．

点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数． 3. （2015?天津,第2题3分）cos45°的值等于（ ） A．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 将特殊角的三角函数值代入求解． 解答： 解：cos45°=

． B．

C．

D．

=，

故选B．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

4. （2015?黑龙江省大庆,第1题3分）sin60°=（ ） A．

B．

C． 1 D．

考点： 特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果． 解答： 解：sin60°=故选D

点评： 此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．

二、填空题

1． （2015?酒泉第15题 3分）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+则α+β= 75° ．

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 分析： 根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数． =0，

，

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解答： 解：∵|sinα﹣|+∴sinα=，tanβ=1， ∴α=30°，β=45°， 则α+β=30°+45°=75°． 故答案为：75°． =0， 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 2. （2015，广西柳州，16，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB= ．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理． 分析： 根据锐角三角函数定义直接进行解答． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7， ∴sinB=

=

． ．

故答案是：

点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．（2015?重庆A18，4分）如图，矩形ABCD中，AB=46,AD=10,连接BD，?DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC?E?，当射线BE?和射线BC?都与线段AD相交时，设交点分别F,G，若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为 。

考点：旋转的性质．

分析：根据角平分线的性质，可得CE 的长，根据旋转的性质，可得 BC′=BC，E′C′=EC ；根据等腰三角形，可得FD 、FB 的 关系，根据勾股定理，可得BF 的长，根据正切函数， 可得

tan ∠ABF ，tan ∠FBG 的值，根据三角函数的和差，可得AG 的长，根据有理数的减法，可得答案． 解答： 解：作FK⊥BC′于K 点，如图： 在Rt△ABD 中，由勾股定理，得

18题图

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BD=

设DE=x ，CE=46﹣x ， 由BE 平分∠DBC，得

．

=14

解得x=

7656，EC=． 33 在Rt△ BCE 中，由勾股定理，得 BE=

由旋转的性质，得 BE′=BE=

．

54256 ，BC′=BC=10 ，E′C′=EC= ． 33 △ BFD 是等腰三角形，BF=FD=x ，

在Rt△ABF 中，由勾股定理，得 x2 = （4 解得x=

2 2

6）+ （10 ﹣x ） ，

49 ， 5491 AF=10 ﹣ = ．

55

，

故答案为：

98 ． 17点评：本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三角

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函数的和差得出AG 的长是解题关键．

三、解答题

1． （2015?酒泉第19题 5分）计算：（

）0+

+（﹣1）2015﹣

tan60°．

考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答： 解：原式=1+2﹣1﹣=2﹣3 =﹣1． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2. （2015?甘南州第15题 6分）计算：|

﹣1|+20120﹣（﹣）1﹣3tan30°．

﹣

× 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．

解答： 解：原式=

﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×

=

+3﹣

=3．

点评： 本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算的法则．

3. （2015，福建南平，17，分）计算：（﹣2）+3tan45°﹣． 考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值． 分析： 先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答： 解：原式=﹣8+3×1﹣3 =﹣8+3﹣3 =﹣8．

点评： 本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

4．（6分）（2015?广东东莞19，6分）如图，已知锐角△ABC．

3

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（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．

考点： 作图—复杂作图；解直角三角形． 专题： 作图题．

分析： （1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD； （2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC﹣BD求CD的长． 解答： 解：（1）如图， （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=∴BD=×4=3， ∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．

=，

点评： 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．

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5. （2015?贵州省黔东南州,第17题8分）计算：﹣

|

+﹣4sin60°+|

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析： 本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简几个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答： 解：=﹣3+1﹣4×

+2

+

﹣4sin60°+|﹣

|

=﹣3+1﹣2+2 =﹣2．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

6.（2015?贵州省贵阳,第20题9分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m） （1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；

（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析： （1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD?sin15°求得答案即可； （2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可．

解答： 解：（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20， ∴CD=BD?sin15°， ∴CD=5.2（m）．

答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m； （2）在Rt△AFE中， ∵∠AEF=45°， ∴AF=EF=BC，

由（1）知，BC=BD?cos15°≈19.3（m），

∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．

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答：楼房AB的高度是26.1m．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．

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