近年广东省中考数学压轴题全解全析

初中数学

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近年广东省中考数学压轴题全解全析

1.(深圳) 如图7，在平面直角坐标系中，抛物线（1）求线段

y

121

x 6与直线y x相交于A，B两点． 42

AB的长．

AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？

轴于

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段（3）如图8，线段

AB的垂直平分线分别交x轴、yC，D两点，垂足为点M

，分别求出

的长，并验证等式OM，OC，OD

111

2

22

是否成立．

图7

图8

（4）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB 90，CD AB，垂足为D，设BC a，AC b，

AB c．CD b，试说明：

111

a2b2h2

．

解（1） ∴A（-4，-2），B（6，3） 分别过A、B两点作AE ∴AB=OA+OB

x轴，BF y轴，垂足分别为E、F

42 22 62 32 5

2x)，扇形的面积为y

图9

（2）设扇形的半径为x，则弧长为(5

则

y

5212515

) x(5 2x) x2 5x (x 41622

54

时，函数有最大值

∵a 1 0∴当x

y最大

12516

（3）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E ∵CD垂直平分AB，点M为垂足 ∴OM

1555AB OA 2 222

∵ AEO OMC, EOA COM

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∴△AEO∽△CMO ∴

42OEAO

∴

COOMCO52

∴

CO

515 25 244

5

2

11422220414111∴ ∴ ∴ () ()

55255OC2OD2OM25OC2OD2OM2

111

（4）等式2 2 2成立．理由如下：

abh

11

∵ ACB 90,CD AB ∴ab AB hAB2 a2 b2 ∴ab c h

22

同理可得 OD

a2b2(a2 b2)h2

∴ ab c h ∴ab (a b)h ∴222

abha2b2h2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1a2 b2

∴2 ha2b2

∴

111

h2a2b2

∴

111 a2b2h2

2. （梅州 11分）如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD， A 90°，AB 6，AD 4，DC 3，动点P从点

A出发，沿A D C B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程

y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．

为x，点Q移动的路程为（1）求

y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；

（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；

（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 解：（1）过C作CE⊥AB于E，则CD

P

ABCD的

AQ

图12

B

AE 3，CE 4，可得BC 5，

所以梯形ABCD的周长为18．················································································································· 1分

························································································ 2分 PQ平分ABCD的周长，所以x y 9， ·

····················· 3分 y≤6，所以3≤x≤9， 所求关系式为：y x 9，3≤x≤9． ·

因为0≤

（2）依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9． PB 12 x，BQ 6 y，

因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以

BPBQ

，得 ··················································· 4分

BCBA

x y 9，12 x6 y8712

，即6x 5y 42， 解方程组 得x ······· 6分 ，y ． ·

561111 6x 5y 42

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（3）梯形ABCD的面积为18． ···················································································································· 7分 当P不在BC边上，则3≤x≤7 （a）当3≤x 4时，P在 如果线段PQ能平分梯形

AD边上，S△APQ

1

xy． 2

1

······································································· 8分 ABCD的面积，则有xy 9 ·

2

可得：

x y 9， x 3，

解得 （x 6，y 3舍去）． ······································································ 9分

xy 18. y 6；

（b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ 如果线段PQ能平分梯形

1

4(x 4 y)． 2

1

ABCD的面积，则有 4(x 4 y) 9，

2

可得

x y 9，

此方程组无解． 所以当x 3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积．11分

2x 2y 17.

3. （韶关 9分）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点. （1）求M、D两点的坐标；

（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；

y x

3

与坐标2

（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积. 解：（1）M(4,1),D(

3

······················2分 ,0)·

2

y x

3

上， 2

（2）∵PA=PB，∴点P在线段AB的中垂线上， ∴点P的纵坐标是1，又∵点P在∴点P的坐标为(

1

··························4分 ,1)·2

33

上，∴P(x, x )

22

314 x

， PH 2 ( x ) x ,BM 1················6分

222

（1） 设P（x,y），连结PN、MN、NF. ∵点P在

y x

依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心. ∴N是线段HB的中点，HN=NB=

∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90°

4 x1

x

HNPH ∴x2 12x 14 0，解得： ∴Rt△PNH∽Rt△NMB, ∴ ,

4 xBMBN1

2

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x 6 x

3

舍去）

，x 6·····················8分

2

1

(1 6)(4 6 (BM HP) BH37··········9分. ·

222SPMBH

4. （广州市12分）已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中

点M，连结DM和BM，

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

解：（1）∵△ABC和△ADE都是Rt△，且AB=BC,AD=DE，∴∠EDC=∠EBC=90°,又M是EC的中点，∴ BM=

11

EC, DM=EC, ∴ BM=DM ; 又 BM=MC , ∴∠MBC=∠MCB 22

∵ ∠BME 是△BMC的外角，∴ ∠BME=∠MBC+∠MCB=2∠MCB，同理∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD ∴∠BME+∠DME=2(∠MCB+∠MCD)=2×45°= 90°, 即∠BMD=90° ∴ BM⊥DM. (2)如图，延长DM到N，使MN=DM,连结BD、BN、CN， ∵ EM=CM , ∠EMD=∠C MN , DM=NM ∴△EMD≌△CMN

∴∠DEM=∠NCM=∠BCM+∠BCN , CN=DE=AD , 在△AEC中 ，∵∠DAE+∠DEA=90° ∴ ∠ACE+∠CAD+∠CED=90°

∵∠CAD=45°－∠BAD ∠DEM=∠NCM=∠BCM+∠BCN=∠CED ∴∠ACE+45°－∠BAD+∠BCM+∠BCN=90°

又 ∠ACE+∠BCM=45°，∴ 45°－∠BAD+ 45°+∠BCN=90°

∴∠BAD=∠BCN ， 又 AB=CB ,AD=CN ∴△ABD≌△CBN ∴BD=BN ∠ABD=∠CBN ∴ ∠DBC+∠CBN=∠DBC+∠ABD=90°，又∵ BD=BN，DM=MN ∴ BM=DM且BM⊥DM；

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5.（广东省 9分）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在一直线上。

(1)若BE＝a，求DH的长；

(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。

解：（1）连结FH,则FH∥BE,且FH=BE,

在Rｔ△DFH中，DF=3a a 2a，FH=a

∠DFH=90°，∴

(2) 设BE= x，△DHE的面积为y, 依题意，有：

y S CDE S梯形CDHG S EGH

111

3a (3a x) (3a x) 3a x 2221391327 x2 ax a2 (x a)2 a2 222228

31

∴当x a，即BE BC,亦即E是BC的中点时，

22

y取得最小值

272

∴△DHE的面积取得最小值是a

8

6.（茂名10分）如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴， B（3

），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕， OAD 30 ．折叠后，点O落在点O1，点C落在点C1，并且DO1与DC1在同一直线上．

（1）求折痕AD 所在直线的解析式；（3分）

（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；（3分） （3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．（4解：（1）由已知得 OA OAD 30 ．

0 ． 1，∴A0，D 1，

3

设直线AD的解析式为y kx b．把A，D坐标代入上式得：

∴OD OA tan30 b k ，解得：

k b 0 b

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法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y ax x 3

点C12在抛物线上， ∴2a 2 3 ∴a ∴y

2x x 3 x x为所求 222

2

法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y ax bx c,(a 0)．

把O，C1，C的坐标代入上式得:

a c 0 2

， ∴y xx为所求． 4a 2b c ， 解得 b 9a 3b c 0

c 0

（3）设圆心P x,y ，则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y x． 由y x，得2，x2 3 ． xx x，解得x1 0（舍去）

3

2，x2 3 ． x x x 解得x1 0（舍去）

∴所求⊙P的半径R 3 或R 3 ．

33

由y x，得7（佛山 13分）．在Rt△ABC中， BAC 90，AB AC 2，点D在BC所在的直线上运

A 动，作 ADE 45（A． ，D，E按逆时针方向）

（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． E

①求证：△ABD∽△DCE；

C ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． B D

（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的

第25题图1

反向延长线与AC的延长线相交于点E ，是否存在点D，

使△ADE 是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；

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②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

A

A

E

C D

D

B C

E

第25题图2 第25题图3

E

(1) ①证明：在Rt△ABC中，∵ BAC 90 ，AB AC 2

∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC ∴

△ABD∽△DCE

② 当△ADE是等腰三角形时,分以下两种情况讨论 ∵∠AED＞∠C=45°∴∠AED≠∠ADE，∴MAD≠AE

∴ 如果DE=AE，则∠ADE=∠DAE=45°∴ ∠AED=90°, 此时，E为AC的中点，∴AE=

12

AC=1.

如果AD=DE，由于△ABD∽△DCE，∴ △ABD≌△DCE, ∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=x

在Rt△ABC中，∵ BAC 90，AB AC 2， ∴ BC=x

∴

x=2 ,解得，x=2 ，∴ AE= 4 －

(2)①存在。当D在BC的延长线上，且CD=CA时，△ADE 是等腰三角形.

证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′, ∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ，∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′, ∴

△ADE 是等腰三角形.

②不存在.

因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°∴∠ADE≠∠E ∴△ADE 不可能是等腰三角形。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t204.html