2012新题分类汇编：函数与导数（高考真题+模拟新题）

高中导函数专题

1

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y＝的定义域是________．

6－x－x2

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (－3,2)

【解析】 由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：

对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．

则称映射f具有性质P. 现给出如下映射：

①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.

其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则

λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，

①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2] ＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)， ?映射f1具有性质P；

②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，

2

λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x2 ＋ y2 )， ?f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)， ? 映射f2不具有性质P；

③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1 ＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)， ? 映射f3具有性质P.

故具有性质P的映射的序号为①③.

x?2?，x>0，

课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝?

??x＋1，x≤0.

若f(a)＋

f(1)＝0，则实数a的值等于( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知，得f(1)＝2； 又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0， ?f(a)＝－2，且a<0，

?a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.

1

课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是

1－x( )

A．(－≦，－1) B．(1，＋≦)

C．(－1,1)∪(1，＋≦) D．(－≦，＋≦)

课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】 要使函数有意义，必须满足

??1－x≠0，?

?1＋x>0，?

所以所求定义域为{x|x>－1且x≠1}，故选C.

课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.

(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________________； (2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________． 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a(a为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n＝1处的函数值为任意的a(a为正整数)；

(2)因为2≤f(n)≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16.

??lgx，x＞0，

课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f(x)＝?x?10，x≤0，?

则f(f(－2))＝

________.

??lgx，x>0，

课标文数11.B1[2011·陕西卷] －2 【解析】 因为f(x)＝?x?10，x≤0，?

－2<0，f(－2)＝10－2,10－2>0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.

大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且

f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈

R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；

②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；

③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)[来源:Z§xx§k.Com] 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A，f(－2)＝f(2)，则①错误；对于②，当2x1＝2x2时，总有x1＝x2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f(x)在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．

??－x，x≤0，

课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝?2

??x，x>0.

若f(α)＝4，

则实数α＝( )

A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2

课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；

当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.

4

课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数

1－xα＝________.

4

课标文数11.B1[2011·浙江卷] －1 【解析】 ≧f(α)＝＝2，?α1－α＝－1.

大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y＝2x(x≥0)的反函数为( ) A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0)

44

C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)

大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y＝2x得x＝，≧x≥0，

4?y≥0，则函数的反函数为y＝(x≥0)．故选B.

4

大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y＝2x(x≥0)的反函数为( )

A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0)

44

C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)

大纲文数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y＝2x得x＝，≧x≥0，

4?y≥0，则函数的反函数为y＝(x≥0)．故选B.

4

大纲理数7.B2[2011·四川卷] 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，?1?xf(x)＝??＋1，则f(x)的反函数的图象大致是( )

?2?

x2x2

y2

x2

x2x2

y2

x2

图1－2

?1?x大纲理数7.B2[2011·四川卷] A 【解析】 当x>0时，由y＝??＋1可得

?2?

1

其反函数为y＝log(x－1)(1

2

题可采用特殊点排除法．

课标理数8.B3[2011·北京卷] 设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,4)，D(t,4)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为( )

A．{9,10,11} B．{9,10,12} C．{9,11,12} D．{10,11,12}

课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋≦)单调递增的函数是( )

A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|

课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋≦)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋≦)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|

?1?|x|

＝??是偶函数，但在(0，＋≦)上是减函数．故选B. ?2?

课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋≦)单调递增的函数是( )

A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|

课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋≦)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋≦)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|

与y轴交点的纵坐标为9.

课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷]

图1－11

如图1－11，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；

(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】

(1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1

＝exk－1(x－xk－1)，

由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．

(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)， 所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是

Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|

－n1－n1－ee－e

＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝＝.

1－e－1e－1

课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 如图1－12，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复

图1－12

上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；

(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，

由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．

(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)， 所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是

Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|

－n1－n1－ee－e

＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝＝.

1－e－1e－1

?2ax－1?

?＝2.则＋大纲理数3.B11[2011·重庆卷] 已知lix→≦m ?

x－13x??

a＝

( )

A．－6 B．2 C．3 D．6

?2ax－1?ax－1??＋大纲理数3.B11[2011·重庆卷] D 【解析】 lim ＝lim x→≦3x?x→≦3x?x－1

a－

＝lim x→≦

3

1

xa＝＝2，即a＝6.

3

大纲文数3.B11[2011·重庆卷] 曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( )

A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x

大纲文数3.B11[2011·重庆卷] A 【解析】 y′＝－3x2＋6x， ≧点(1,2)在曲线上，?所求切线斜率k＝y′|x＝1＝3.

由点斜式得切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.故选A.

ex课标文数18.B12[2011·安徽卷] 设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax2

4

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

课标文数18.B12[2011·安徽卷] 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力．

2

1＋ax－2axx【解答】 对f(x)求导得f′(x)＝e.①

1＋ax22

4

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝. 22

结合①可知

[来源:学|科|网] ??13??3?131??－≦，? ?，? ?，＋≦? x 22222?????2?f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 极大极小f(x)    值 值 31所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

课标理数16.B12[2011·安徽卷]

ex设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax24

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

课标理数16.B12[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力．

【解答】 对f(x)求导得

1＋ax2－2axf′(x)＝e.①

1＋ax224

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝. 22

结合①，可知 ??13??3?131??－≦，? ?，? ?，＋≦? x 22222?????2?f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 极大极小f(x)    值 值 31所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0＜a≤1.

xx课标理数18.B12[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝(x－k)e. k(1)求f(x)的单调区间；

2

1

(2)若对于任意的x∈(0，＋≦)，都有f(x)≤，求k的取值范围．

e

12x2

课标理数18.B12[2011·北京卷] 【解答】 (1)f′(x)＝(x－k)e.

kk令f′(x)＝0，得x＝〒k.

当k＞0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x (－≦，－k) －k (－k，k) k (k，＋≦) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  4k2e－1  0  所以，f(x)的单调递增区间是(－≦，－k)和(k，＋≦)；单调递减区间是(－k，k)．

当k＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x (－≦，k) k (k，－k) －k (－k，＋≦) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  0  4k2e－1  所以，f(x)的单调递减区间是(－≦，k)和(－k，＋≦)；单调递增区间是(k，－k)．

k＋11

(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，所以不会有?x∈(0，＋≦)，f(x)

ke

1

≤. e

4k2

当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋≦)上的最大值是f(－k)＝.

e

14k21

所以?x∈(0，＋≦)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤.

eee

1

解得－≤k＜0.

2

?1?1

故当?x∈(0，＋≦)，f(x)≤时，k的取值范围是?－，0?.

e?2?

课标文数18.B12[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

课标文数18.B12[2011·北京卷] 【解答】 (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下：

x (－≦，k－1) k－1 (k－1，＋≦) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ek－1  所以，f(x)的单调递减区间是(－≦，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋≦)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增． 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减； 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t1wf.html