2012高数考研讲义4-5章

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2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(四至五章)

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dydx?p(x)Q(y)dy(Q(y)?0)

2、齐次方程：

?y??f?? dx?x?三、一阶线性方程及其推广

1、2、

dydxdydx?P(x)y?Q(x) ?P(x)y?Q(x)y?(??0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?x?p?y??P?y

2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,?Q?x?但存在R(x,y)，使?(RQ)?x??(RP)?y

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五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y?x22dydx?xydydx的通解。

?y????x? ??y????1?x?2解：y?(x?xy)22dydx?0dydx?y22xy?x令

yx?u,则u?xdudx?u2u?1

udx?x(1?u)du?0

?1?uudu??dxx?C1

ln|xu|?u?C1

yxu?eC1?u?ce,?y?ceux

y例2 求微分方程

dydx?x?y4的通解

解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程

dxdy?x?yy?1ydy4即dxdy?1yx?y是一阶线性方程P(y)??31y,Q(y)?y

3x?e1??dy??134ydy?C??y?Cy ??ye3????例3 设y?e是xy??p(x)y?x的一个解，求此微分方程满足yx?xxx?ln2?0的特解

解：将y?e代入微分方程求出P(x)?xe先求出对应齐次方程

dydx?x?x,方程化为

x?e?xdydx?(e?x?1)y?1

?(e?x?1)y?0的通解y?ce根据解的结构立刻可得非齐次方

程通解y?ex?cex?e

1再由yx?ln2?0得x2?2e2c?0,c??ex?e?x?12

故所求解y?e?e例4

?12

(??,??)设F(x)?f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在内满足以下条件

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f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)?0,f(x)?g(x)?2ex

（1）求F(x)所满足的一阶微分方程 （2）求出F(x)的表达式 解：（1）由

F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?g2(x)?f2(x)?[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x)

?(2ex)2?2F(x)可知F(x)所满足的一阶微分方程为

F?(x)?2F(x)?4e2x

（2）

F(x)?e??2dx??4e2x?e?2dxdx?c??e?2x??4e4xdx?c?

?e2x?ce?2x将F(0)?f(0)g(0)?0代入，可知c??1 于是 F(x)?e2x?e?2x

例5

求微分方程(y?x)1?x2dydx?(1?y2)32的通解

解：令y?tanu,x?tanv, 原方程化为

2(tanu?tanv)secvsecudu3sec2vdv?secu

化简为sin(u?v)dudv?1 再令z?u?v,则dzdudv?dv?1,方程化为

sinzdzdv?1?sinz ?sinz1?sinzdz??dv?c,?(sinz?1)?11?sinzdz?v?c,

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?z??z??1?sin?cos21?sinz2zdz?v?c1?sinzzdz?v?c

?z?tanz?secz?v?c最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。 例6. 设f(x)有连续函数，满足f(x)?解：f(x)?x2?x0222(x?t)f?(t)dt?x,求f(x)的表达式

?x0f?(t)dt??x0222tf?(t)dt?x，西边对x求导.

得 f?(x)?2x?f(x)?f(0)??x2f?(x)?x2f?(x)?2x，

?dy?2x(y?1)?f?(x)?2xf(x)?2x?dx 即 ???f(0)?0?yx?0?0??dyy?1??2xdx?c， lnx2y?1?x?c, 由yx?0?0, 则c?0，y?1?ex22x2 再由

yx?0?0可知y?1?e,y?e?1

§4.2 特殊的高阶微分方程

（甲）内容要点

一、可降阶的高阶微分方程 方程类型 y(n)解法及解的表达式 ??f(x)(dx)?C1x通解y???n次nn?1?f(x) ?C2xn?2???Cn?1x?Cn y???f(x,y?) 令y??p,则y???p?,原方程? p??f(x,p)——一阶方程，设其解为p?g(x,C1), 即y??g(x,C1)，则原方程的通解为y?y???f(y,y?) ?g(x,C1)dx?C2 令 y??p，把p看作y的函数，则 y???dpdxdpdydydxdpdy???p 把 y?,y??的表达式代入原方程，

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得 dpdy?1pf(y,p)—— 一阶方程， dydx设其解为p?g(y,C1),即?g(y,C1),则原方程的通解为 ?dyg(y,C1)?x?C2

二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程

y???p(x)y??q(x)y?0

（1）

二阶非齐次线性方程 y???p(x)y??q(x)y?f(x) （2）

1、 若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

C1y1(x)?C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y1(x)??y2(x)(?为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为y?C1y1(x)?C2y2(x)。

2、 若y(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x)?C2y2(x)为对应的二阶齐次

线性方程的通解（C1,C2为独立的任意常数）则y?y(x)?C1y1(x)?C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、 设y1(x)与y2(x)分别是y???p(x)y??q(x)y?f1(x)与

y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的特解，则y1(x)?y2(x)是 y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?f2(x)的特解

三、二阶常系数齐次线性方程

y???py??qy?0,p,q为常数

特征方程 ??p??q?0

2特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当??p?4q?0,特征方程有两个不同的实根?1,?2

2

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则方程的通解为

y?C1e?1x?C2e?2x

（2）当??p2?4q?0,特征方程有而重根?1??2，

则方程的通解为

y?(C1?C2x)e?1x

（3）当??p2?4q?0,特征方程有共轭复根??i?,

则方程的通解为

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)

四、二阶常系数非齐次线性方程

方程 通解

y???py??qy?f(x)其中p,q为常数

y?y?C1y1(x)?C2y2(x)

其中C1y1(x)?C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关

键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？

我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下： 1、f(x)?pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式

（1）若0不是特征根，则令y?Rn(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x?an

其中ai(i?0,1,2,?,n)为待定系数。

（2）若0是特征方程的单根，则令y?xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令y?x2Rn(x)

2、f(x)?pn(x)e 其中pn(x)为n次多项式，?为实常数 （1）若?不是特征根，则令y?Rn(x)e （2）若?是特征方程单根，则令y?xRn(x)e2?x?x?x

?x（3）若?是特征方程的重根，则令y?xRn(x)e 3、f(x)?pn(x)e

?xsin?x或f(x)?pn(x)e?xcos?x

其中pn(x)为n次多项式，?,?皆为实常数

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（1）若??i?不是特征根，则令y?e[Rn(x)cos?x?Tn(x)sin?x] 其中Rn(x)?a0x?a1xnn?1?x???an?1x?an

ai(i?0,1,?n)为待定系数 Tn(x)?b0x?b1xnn?1???bn?1x?bn

bi(i?0,1,?n)为待定系数

（2）若??i?是特征根，则令y?xe?x[Rn(x)cos?x?Tn(x)sin?x] 五、欧拉方程（数学一）

xyn(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy??pny?0, 其中pi(i?1,2,?,n)为常数称为n阶欧拉

方程，令x?e代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程

（乙） 典型例题

例1 求(1?x)y???y??ln(x?1)的通解 解：令y??p,则y???p?,原方程化为

(x?1)p??p?ln(x?1)

tp????11x?1dxp?ln(x?1)x?1 属于一阶线性方程

p?ex?1?ln(x?1)?1dx?x?1edx?C ??1?x?1?? ?1x?1??ln(x?1)dx?C??ln(x?1)?1?1C1x?1

y?C1??ln(x?1)?1????dx?C2 x?1?? ?(x?C1)ln(x?1)?2x?C2

例2 求下列微分方程的通解 yy???(y?)?1?0 解 令y??p,则y???pdpdy2，原方程化为

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ypdpdypdp?p?1

2

?12p?122??dyy?C1?

lnp?1?ln|y|?C1?

p??1?C1y2

2dydx??1?C1y

2当C1?0时，1C11ln?C1y?1?C1y???x?C2

当C1?0时，1?C1arcsin?x?C1y??x?C2

?例3 求y???2y??3y?2e的通解

解 先求相应齐次方程y???2y??3y?0的通解，其特征方程为

??2??3?0

2特征根为?1??3,?2?1，因此齐次方程通解为

Y?C1e?3x?C2e

x

设非齐次方程的特解为y,由于??1为特征根，因此设y?xAe,代入原方程可得A?故原方程的通解为

y?C1e?3xx12，

?C2e?x12xe

x例4 求方程y???y??2y?2cos2x的通解

特征根为?1??2,?2?1，因此齐次方程的通解为

Y?C1e?2x?C2e

x设非齐次方程的特解为y,由于题目中??0,??2,??i??2i不是特征根，因此设

y?Acos2x?Bsin2x，代入原方程可得

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(?2A?2B?4A)cos2x?(?2B?2A?4B)sin2x?2cos2x

??6A?2B?2 ???6B?2A?0解联立方程得A??__310,B?110110，因此

sin2x

y??310cos2x?故原方程的通解为

y?C1e?2x?C2e?xx310cos2x?110sin2x

例5 解y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e

nx,u???y??cosx?2y?sinx?ycosx，原方程变解：令u＝ycosx，则u??y?cosx?ysi为u???4u?e

?sin2x?解出 u?C1cos2x?C215e

xxy?C1cos2xcosx??C2sin2xcosx1?1ex5cosxx

＝C1cos2xcosx?C2sinx?e5cosx(c2?2)

例6 设函数y＝y（x）在???,???内具有二阶导数，且y??0,x?x?y?是y＝y（x）的反

函数.

（1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程

满足的微分方程；

（2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，y??0??dxdy1y?32dxdy22?dx??（x）??y?sinx?????0变换为y＝ydy??3的解.

解 （1）由反函数导数公式知?

即y?dxdy?1.

上式两端关于x求导，得 y??dxdy?dxdy22?y??2?0.

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dx所以

dxdy22??dyy??2?y????y???y??3。

代入原微分方程得

y???y?sinx （*）

（2）方程（*）所对应的齐次方程y???y?0的通解为 Y?C1ex?C2e?x 设方程（*）的特解为

__ y＝A cosx+ Bsinx ， 代入方程（*）求得A＝0，B＝－

y(x)?C1e?C2ex?x1__21?sinx. 2，故y＝－

12sinx，从而y???y?sinx的通解是

由y(0)?0,y??0??32 ，得C1?1,C2??1，

12故所初值问题的解为

y(x)?e?exx?x?sinx.

例7．设f（x）＝xsinx－?(x?t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）

0解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得 f?x??xcosx?sinx??f?t?dt

0x再对两边关于x求导，得 f???x???xsinx?2cosx?f(x)

即 f???x??f?x???xsinx?2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y?C1cosx?C2sinx，

非齐次方程特解设y?x?Ax?B?cosx?x?Cx?D?sinx 代入方程求出系数A,B,C,D 则

____得y?1432f(x)?xcosx?xsinx?C1cosx?C2sinx

4441xcosx?23xsinx，故f（x）的一般表达式

由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f??0??0可确定出C1?0,C2?0 因此f(x)?14xcosx?234xsinx

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