实变函数与泛函分析要点

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实变函数与泛函分析概要

第一章集合基本要求：

1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：

1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）

2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

··－－

T2：设A?B，则A??B?，Ａ?Ｂ，Ａ?Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪ B′.

3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）

――

T1：对任何E?R?，?是开集，E′和Ｅ都是闭集。（?称为开核，Ｅ称为闭包的理由也在于此）

T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。 T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，? 是一开集族{Ui}i?I ∪

它覆盖了F（即Fсｉ?ＩUi），则 ? 中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们

同样覆盖了F（即F?ｍ（i?I） ∪ Ui）4、开（闭）集类、完备集类。开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P

二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、

判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求：

1、理解外测度的概念及其有关性质。 2、掌握要测集的概念及其有关性质。 3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。 5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：

外测度：①定义：E?R? Ii（开区间）∞

∪ Ii ?E m*（E）=infｉ∑│Ii│ ②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负）（2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性）

（3）m* （∞∞

∪Ai）≤∑m*Ai（次可列可加性）

③可测集：E?R? 对任意的T?R?有：m*（T）= m*（T∩E）+ m*（T∩CE）称E为可测集，记为mE 其性质：

1）T1：E可测? ? A?E B?CE使m*（A∪B）= m*A+ m*B 2）T2：E可测?CE可测

④运算性质：设S1、S2可测?S1∪S2可测（T3）；设S1、S2可测?S1∩S2可测（T4）；设S1、S2可测?S1-S2可测（T5）。

⑤ S1、S2…Sn 可测? ∪Si可测（推论3） ∩Si可测（T7） ⑥ S1、S2…Sn… 可测，Si∩Sj=φ ?∪Si可测 m(∪Si)= ∑m(Si)(T6)

⑦ Si递增,S1?S2?S3?…?lim(∪Si)=lim mSi=Ms(T8) ⑧ Si递降可测, S1?S2?S3?…当mS1<+∞ ? limm(∩Si)=lim mSn (T9)

⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1] ∩Q、Ф、P 零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。 2）区间是可测集 mI=│I│ 3）开集、闭集；

4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]

Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：设E是任一可测集，存在Gδ 集，使E?G，且m（G-E）=0 T7：设E是任一可测集，存在Gσ 集，使F?E，且m（F-E）=0 可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求：

1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、

几乎处处收敛…）的概念。 3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。 5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。 6、了解依测度收敛的概念及其性质。 7、理解三种收敛之间的关系。

(一) 基本概念

1可测函数：?是定义在可测集E?R?上的实函数，任意的α∈R E[?>α]是可测集，称?（x）是E上的可测函数 ?可测?任意的α∈R E[?≧α]是可测集 ?任意的α∈R E[?<α]是可测集 ?任意的α∈R E[?≦α]是可测集

?任意的α，β∈R E[α≤?<β]是可测集（ │?│<+∞）几乎处处成立

2连续函数、简单函数

3依测度收敛、收敛、一致收敛

（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）（1）充要条件（T1）4 个等价条件

（2）集合分解T3（2），?在Ei之并S ∪Ei上，且在Ei上可测=> ?在∪Ei上可测（3）（四则运算）? ，g在E上可测?+g，?g，│?│，1/ ?在E上可测。（4）极限运算 { ?n}是可测函数列，则μ=inf ?n λ（x）=sup ?n可测（T5）

── ?F=lim ?n G=lim ?n 可测

（5）与简单函数的关系：?在E上可测 ? ?总可以表成一列简单函数{φn}的极限

lim函数 ?= n φn，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…

2.ЕгopOв定理：mE<+∞ ?n 是E上a.e于一个a.e有限的函数?的可测函数 ? 对任意的?>0 存在子集Eδ?E 使得?n在Eδ上一致收敛且m（E-Eδ）

3Лузин定理：?是E上a.e有限可测函数,任意δ>0 ?闭子集Eδ?E 使得?在Eδ上连续且m（E-Eδ）<δ即在E上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。 4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系：（ E?R? mE＜+∞）一致收敛

测度收敛几乎处处收敛（ Riesz：fn?f 则 { fni}→f a.e于E ） Lebesgue：1） mE<+∞；2）fn E 上a.e有限的可测函数列; 3) fn E 上a.e收敛于a.e有限的f

? fn?f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛

补充定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞, fn是E上可测函数列 fn ?f ?{ fn} 的（任何子列）?fni ，总可以找到

子子列（?） fnij →f a.e于E

三、基本方法：

1判函数可测（1）集合判别法，任意的a?R E[f>a] 是可测集（2）

集合分解法，E=∪Ei Ei∩Ej=Ф f在Ei 上可测

（3）函数分解法，f可表为若干函数的运算时（4）几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1，T8）（5）可测函数类

2判断三种函数之间的关系

第五章积分论基本要求：

1、了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。2、掌握有界函数L积分的性质。

3、理解非负函数L积分与L可积的概念。

4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。 5、掌握一般函数的L积分的性质。 6、掌握L积分极限定理。

7、弄清L积分与R积分之间的关系。 8、熟练掌握计算L积分的方法。

9、会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。 10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue积分

1、 Riemann积分分割、作和、取确界、求极限。 2、 Lebesgue积分

定义1：E=ｎ

∪Ei,各Ei互不相交，可测，则称{Ei}为E的一个分划，记作D={Ei} 定义2：设f是定义在E?R?（mE<∞）上的有界函数，D={Ei} 令B?=ｓｕｘ?Ｅｉｐf（x） bi=ｉｘｎ?Ｅｉｆ

f（x）大和S（D，f）=∞

∑BimEi = S（D，f）

∞

小和?（D，f）=∑bimEi=?（D，f） ?（D，f）≤S（D，f）

定义3：设f是定义在E?R?（mE<∞）上的有界函数 –

上积分：∫Ｅf（x）dx=inf{ S（D，f）}

∫

下积分：–Ｅ f（x）dx=sup ?（D，f）若上下积分相等，则称f在E上可积，其积分值叫做L积分值，记（L）∫E f（x）dx

T1：设 f是定义在E?Rq（mE<∞）上的有界函数，则f在E上L可积?═?任意的ε＞ 0

S（D，f）- ?（D，f）＜ε

T2：f在E上L可积?f在E上可测（*）对有界函数而言，L可积?可测

T3：f，g有界，在E上可测，f±g，fg，f/g， │f│可积 T4：f在[a，b]上R可积═?L可积，且值相等 *

L积分的性质：

T-1（1）：f在E上L可积，则在E的可测子集上也L可积；反之， E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1、E2可测，若f在Ei上L可积，则f在E上可积 ∫Efdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）

（2） f，g 在E上有界可测 ∫E（f+g）dx=∫ Efdx+∫Egdx

（3）任意c?R ∫ Ecfdx=c∫Efdx

（4）f，g在E上L可积，且f≤g 则∫Efdx≤∫Egdx 特别地，b≤f≤B ∫Efdx ?[bmE，BmE] 推论1：（1）当mE=0 ∫Efdx=0 （2）f=c ∫Efdx=cmE

（5）f在E上可积，则│f│可积，且│∫Efdx│≤∫E│f│dx T-2 （1）设f在E上L可积 f≥0 ∫Efdx=0 则 f=0 a.e于E （2）f在E上L可积，则对任意的可测集A属于E

使ｌｉｍｍＡ→０ ∫Afdx=0 （绝对连续性）

推2：设f，g在E上有界可积，且f=g a.e于E 则 ∫Efdx= ∫E g dx

证明思路: E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1=E[f≠g] ∫E (f- g)dx = ∫E1 + ∫E2 (f- g)dx=0

注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集E0

上无定义亦可.

2)从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变

一般函数的积分

一、非负函数：f, E?Eｑ二、定义: f≥0 E?Eｑ mE<∞

ｆｆ≤ｎ

[f(x)]n={ｎｆ＞ｎ称[f]n为（E上）截断函数性质：（1） ? [f(x)]n 有界非负， f≤n （2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤… ｌｉｍ

（3）ｎ→∞[f]n=f（x）定义1：设f为非负（于E）可测（mE<∞）

ｌｉｍ

称∫Efdx=∫Eｎ→∞[f]nd x（若存在含无穷大）为f在E上的L积分ｌｉｍ

当∫Eｎ→∞[f]nd x为有限时，称f为在E上的非负可积函数注：①非负可积一定存在分

② L积分非负可积三、一般函数的积分

＋

设f在E（mE<+∞）上可测， f f－在E上非负可测，则│f │可测－＋－∫E f＋ dx ∫E fdx存在 f= f- f －∫E f dx=∫E f＋ dx-∫E fdx

－

定义 2：设f在E（mE<+∞）上可测，若∫E f＋ dx和∫E fdx不同时为+∞

则称f在E上积分确定

当∫E f dx<+∞时，则称f在E上L可积

注：①f可测 f的积分确定 f可积

ff[f]n?? 一般函数 ??非负函数??? ②有界函数 ???? mE<+∞

L积分的性质：

定理1-（1）：若 mE=0，则 ∫E f dx=0

（2）：f在E上可积?mE[f=+∞]=0 f有限a.e于E 同（R）（3）：f在E上积分确定? f在可测子集E1 ?E上积分确定

?Efdx??fdx??fdx E=E1∪E2

E1E2(4):f在E上积分确定,f=g a.e于E则f,g的积分确定且相等几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)

同(R)(5):f,g在E上非负可测?∫E(f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g在E上积分确定f≤g ? ∫E f dx≤∫E fgdx L可积性质

定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略) 积分极限定理 T-1 L控制收敛定理

设1）{fn}是E上一列可测函数

2）│fn│≤f（x） f为L可积函数 3）fn?f（fn→f a.e 于E）

ｌｉｍ

则f是E上L可积函数,且ｎ→∞∫E fnd x=∫E fd x

L有界收敛定理

设1）{fn}是E上一列可测函数, mE<+∞

2）│fn│≤K（常数） 3）fn?f（fn→f a.e 于E）

则f是E上L可积函数,且ｌｉｍ

ｎ→∞∫Efndx=∫E fdx

T-2(Levi)设{fn}是E上一列非负可测函数, fn ≤fn?1

则ｌｉｍｎ→∞∫E fｌｉｍ

ndx=∫E

ｎ→∞ fndx

T-3设{fn}是E上一列非负可测函数,则 ∫??E?fnndx=?∫Efndx (逐项积分定理)

n?1n?1T-4(积分的可数可加性)f在可测集E ?Eｑ上的积分确定,且E=∪∞Ei 其中Ei为互不交的可测集, 则 ∫Efdx=∑∞

∫Eifdx

有界变差函数

分划:T:a=x0

ai?1有限闭区间上满足Lipschtz条件的f是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差

Vb（f）=│f（b）-f（a）│

aT-2性质：1）Vbc(f)?V(f)?Vb（f）可加性

aac 2）f在[a,b]上是有界变差?f有界 3）f，g有界变差?f±g，fg有界变差

T-3（Jordan分解）f ?V[a，b] ?f可分解为两个有限增函数之差 b有界变差函数不连续点至多可列个，f?V[a，b]，V（f）=0=>f=const

aT-4(Lebesgue)设f ?V[a，b],则

1) 在[a，b]上几乎处处存在导数f'(x) 2) f'(x)在[a，b]上可积

ｂ

3) 若f是增函数,有∫ａ f'(x)dx≤f(b)-f(a)

不定积分

定义1:设f在[a，b]上L可积, f?L[a，b] ∫[a,x] fdx称为f在[a，b]上的不定积分

定义2:设F(x) 是[a，b]上的有界函数,?ε>0 ，?δ>0 [ai,bi]不交,

只要?( bi- ai)< δ 就有?│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f为[a，b]上的绝对连续

i?1i?1nn函数(全连续函数)

定理1：f ?[a，b] F（x）=∫[a,x] fdx+C为绝对连续函数

绝对连续?一致连续且有界变差

f满足Lipschtz条件?f全连续

T2：F（x）为[a，b]上绝对连续函数，F'（x）=0 a.e于[a，b]

则F（x）=const

T3: f ?L[a，b], 绝对连续函数F（x） ,使

F'（x）= f（x）a.e于[a，b](只需取F（x）=∫[a,x] fdx) T4: f 是[a，b]上绝对连续函数,则几乎处处有定义的F'（x）在 [a，b]上可积, 且 F（x）= F（a）+ ∫[a,x] fdx 即F（x）总是[a，b]上可积函数的不定积分.

F是[a，b]上绝对连续函数?F是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)

T5:(分部积分) f 在[a，b]上绝对连续,λ(x)在[a，b]上可积

x 且 g(x)-g(a)=?λ(x)dx 则有

aｂｂ

∫ｂ（x）λ(x)dx= （x）λ(x)│ffａａ-∫ａf'（x）λ(x)dx

补充：（见南京大学教材）f ? V[a，b]，则

f（x）=φ（x）+r（x）+s（x）

φ（x）为全连续；r?（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数

f（x）=p（x）-n（x）+f（a）

p（x）为正变分；n（x）为负变分。

第六章度量空间和赋范线性空间基本要求：

1、熟练掌握度量空间的定义，理解一些度量空间的例子。 2、掌握可分空间的概念，弄清几个常见空间的可分性。 3、了解连续映照的概念及等价条件。

4、掌握完备度量空间、柯西点列的概念，弄清一些常见空间的完备性。 5、掌握范数、线性赋范空间的有关概念，一些常见的空间范数定义。 6、掌握巴拿赫空间的定义及一些常见的例子。 7、了解有限维线性赋范空间的主要性质。

度量空间

1、距离定义：1） d（x，y）≥0 当 x=y 时，d（x，y）=0

2）d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y）三点不等式等价定义，距离公理：1）d（x，y）≥0非负性；

2）d（x，y）= d（x，y）对称性；

3）d（x，y）≤ d（x，z）+ d（z，y）三点不等式

ｎ? d（x，y）=ｎ│ξi-ηi│ Rｎ] 中常见的三种距离：d（x，y）=[Σ（ξi-ηi）2Σ d（x，y）=max│ξi-ηi│

2、可分性：定义：X是度量空间，N和M是X的两个子集，如果N?M,N?M，称集M在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可列的稠密

子集，则称X为可分空间。

Rｎ是可分空间：坐标为有理点的全体是可列稠密子集。

离散距离空间X可分充要条件X是可列集。事实上X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身自己。

∞为不可分，按d（x，y）=sup│ξi-ηi│

反例，l 3、连续映照

定义：设X=（X，d） Y=（Y，d）是两个度量空间，T是X到Y中的映照，xο?X，如果对任意的ε>0，存在δ>0 使d（x，xο）<δ时，d（Tx，Txο）<ε则称T在xο连续

用邻域描述：对Txο的ε-邻域N，存在xο的某个δ—邻域 Nο，使TNο?N

T-1：设T是度量空间X=（X，d）到Y=（Y，d）中映照，T在xο连续? 当xn→xο时，有Txn→Txο

定义2：T在X的每一点连续，则称T是X上的连续映照，称集合{x∣x∈X，Tx?M}

MсY 为集合M在映照T下的像，简记为T－１

T-2：度量空间X到Y中的映照T是X上连续映照?Y中任意开集M的原像T－１

M是X

－１

中的开集（利用T－１，可将定理中开集改成闭集）（CM）=C （T M）

∞ 4、柯西点列定义：X=（X，d）是度量空间，{xn} ｎ＝１是Ｘ中的点列，对?ε>0

∞

，当ｎ，ｍ>Ｎ时，必有ｄ（xn，xｍ）<ε则称{xn} ?Ｎ（ε）ｎ＝１是Ｘ中的柯西

（Cauchy）点列或基本点列，如果（X，d）中每一个柯西点列都收敛，则称（X，d）

是完备的度量空间．

∞

有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，而l 是完备的度量空间．

度量空间中任一收敛点列是柯西点列；反之，度量空间的柯西点列未必收敛．Ｔ－１：完备度量空间的子空间Ｍ，是完备空间的 <=> Ｍ是Ｘ中的闭子空间

Ｐ［ａ，ｂ］（［ａ，ｂ］上实系数多项式全体作为Ｃ［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间．５、等距同构

～～上的保距映照

定义：设（X，d），（～，）是两个度量空间，如果存在从X到ＸｄＸ～～上的等距同构映照 T，则称（X，d）与（～，）等距同构，此时T称为ＸｄＸ

T：（度量空间完备化定理）设（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间（～Ｘ，

～～～～

ｄ）使（X，d）与（Ｘ，ｄ）的某个稠密子空间W等距同构，而且Ｘ在等距同构

?）也是一个完备的度量空间，且X与X?，d?的某个稠密子空间等下是唯一的。即若（X～ ??距同构，则（～Ｘ，ｄ）与（X，d）等距同构。

～～，

T′：设X=（X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间～Ｘ=（Ｘ，ｄ）～

使X为Ｘ的稠密子空间 6、压缩映照

定义：X是度量空间，T是X到X的映照，如果存在一个数α，0<α<1，使对所有的x，y?X 成立d（Tx，Ty）≤α d（x，y）则称T为压缩映照

T-1（压缩映照定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映照，那么T有且仅有一个不动点（方程Tx=x，有且只有一个解）

注：本定理在方程的解的存在性和唯一性证明中起重要作用。

T-2设f(x,y)在带状域：a≤x≤b -∞?y?+∞ 中处处连续，且处处有关于y的偏导

fy?(x,y)，如果还存在常数m和M，满足

0＜m＜ fy?(x,y)?M， m?M 则方程f(x,y)=0在区间[a，b]上必有唯一的连续函数y=φ（x）作为解： f（x，φ（x））≡0 x? [a，b]

证明过程作映照A：Aφ=φ-7、线性空间

X是线性空间，Y是X的非空子集，任意x，y?Y及任意α?R =>x+y?Y αx?Y Y是X的子空间，X和{0}是平凡子空间。线性相关，无关概念

M是X的非空子集，M中任意有限个向量线性组合全体记为spanM称为由M张成的包定义：X是线性空间，M是X中线性无关子集，若spanM=X，则称M的基数为X的维数，记为dimX，M称为X的一组基，M的基数是有限时，则称为有限维线性空间，如果X只含有零元素，则称X 为0维线性空间。 8、线性赋范空间

定义：设X为实（复）线性空间，如果对每一个向量x?X，有一个确定的实数，记为 ║x║ 与之对应，并且满足：

i ║x║≥0 且║x║=0 <=>x=0

ii ║αx║=α║x║其中α为任意实（复）数 iii║x+y║≤║x║+║y║ x，y?X

则称║x║为向量x的范数，称X按范数║x║成为线性赋范空间

∞

{xn} ｎ＝１是Ｘ中的点列，如果存在x?X，使║xn -x║→0 （n→∞） ∞ ｌｉｍ则称{xn} 依范数收敛于x，记为xn →x（n→∞）或ｎ＝１ｎ→∞ xn= x

1） f（x，φ（x）

M令d（x，y）=║x-y║ 是由范数导出的距离，由此观之线性贱范空间实际上是一种特殊的度量空间。若d由║·║导出，对任意的α?R，x，y?X，有：（a） d（x-y，0）= d（x，y）；（b）d（αx，0）=|α| d（x，0）反之，X是线空间，d是距离，满足（a）和（b），那么一定可以在X上定义范数║x║ 使d是由范数导出的距离， ║x║=d（x，0）

║x║是x的连续函数，事实上，任意x，y?X，由范数条件2）和3）易证 | ║y║-║x║|≤║y-x║，所以，当║xn -x║→0时║xn║→║x║ 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces）ｎ? 构成Banach空间 1） Rｎ） ║x║=（Σ|?i| 22） C[a，b] ║x║=sup|x（t）| 构成Banach空间 3） ??: ║x║=sup|?i|构成Banach空间

ｂｐ

4） Lｐ[a，b] ║║p=（∫|（x）|ff ａ dx）

1/p

构成Banach空间 p≥1

证明需用到引理1 和2

ｑ

引理1：（H?lder不等式）设p>1，1/p+1/q=1，f? Lｐ

[a，b] g ? L [a，b]

那么f，g在[a，b]上L可积且成立： ∫ｂ

ａ|f（x）g（x）|dx≤║f║p║g║q

ｐ

引理2：（Minkowsky不等式）设p≥1，f，g? Lｐ [a，b]，那么f+g? L [a，b] 且成立：

║f+g║p≤║f║p+║g║p T-2：Lｐ

[a，b] （p≥1）是Banach空间

ｐｐ1/p

5）l ║x║=（ｎ|ξi| Σ ）是Banach空间

T-3设X是n维线性赋范空间，（e1，e2，…en）是X的一组基,则存在常数M和Mˊ 使对一切 x=ｎΣξiei成立 ?≤M′║x║ M║x║≤(ｎ） Σ|ξi| 2

推论1:设在有限维线性空间上,定义了范数║x║和║x║1 那么必存在常数M和Mˊ 使得 M║x║≤║x║1≤M′║x║

定义2:设R是线性空间, ║x║1和║x║2是R上两个范数,如果存在正数c1,c2,使对一切x?R,成立: c1║x║2≤║x║1≤c2║x║2

则称(R, ║x║1)和(R, ║x║2)是拓扑同构的

推论2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.

第七章线性赋范空间和线性连续泛函基本要求：

1、理解线性算子、线性泛函的概念。

2、掌握线性有界算子的概念和有关性质，以及二者这间的关系。 3、了解算子的范数的概念，熟悉一些线性有界算子的例子，并知道无界算子是存在的。 4、了解线性有界算子空间的概念和性质。

5、掌握共轭空间的概念和性质，知道一些特殊空间的共轭空间。

算子定义：线性赋范空间X到Y的映照T被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函线性算子和线性泛函 T1：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D(?)是X的线性子空间，T为D到Y中的映照，如果对任意的x，y ∈D ，及数α，成立： T（x+y）=Tx+Ty （1） T（αx）=αTx （2）则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D（T），TD称为T的值域

记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，称T为实（或复）线性泛函

几种常见的线性泛函： 1、相似算子Tx=αx 当α=1时，恒等算子，零算子； 2、P[0，1]是[0，1]上的多项式全体，定义微分算子，若t0∈[0，1]，

对?x?P[0，1]，定义f（x）=x′（t0）则f是P[0，1]上的线性泛函。 3、积分算子 x∈C[a，b] Tx（t）=∫ｔａx(?)d?

由积分线性性质知T为线性泛函，若令f(x)=∫ｂａx(?)d?则f是C[a，b]中的线性泛函 4、乘法算子 Tx（t）=tx（t） 5、Rｎ中的线性变换是线性算子

线性有界算子定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D（T）到Y中线性算子，如果存在常数c，使对所有x∈D（T），有：║Tx║≤c║x║，则称T是D（T）到Y中的线性有界算子，当D（T）=X时，称T为X到Y中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。

T-1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子，则T为有界的充要条件是T是X 上的连续算子。

T-2：设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f是X上连续泛函的?f的零空间

?（f）是X中的闭子空间。

定义：T为线性赋范空间X的子空间D（T）到线性赋范空间Y中线性算子，称 ║Tx║=s u p ║Tx║/ ║x║ 为算子T在D（T）上的范数

x≠0,x∈D（T）引理：T是D（T）上线性有界算子，成立

║T║=s u p ║Tx║/ ║x║=║Tx║=s u p ║Tx║/ ║x║

x∈D（T）,║x║=1 x∈D（T）,║x║≤1

线性算子空间和共轭空间

X和Y是两个线性赋范空间,以?(X→Y)表示由X到Y中线性有界算子全体.当A和B属于?(X→Y)时,α是所讨论的数域中的数时,定义?(X→Y)中加法运算如下:对任意的x∈X,令

(A+B)x=Ax+Bx (αA)x=αAx

则?(X→Y)按照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.

若?是X 的子空间Z上的实线性泛函，且被p（x）控制，即满足

?（x）≤p（x）， x∈Z，

则存在X上的实线性泛函?，使当x∈Z时，有?（x）= ?（x），并且在整个空间X上仍被p（x）控制，?（x）≤p（x）， x∈X

可以证明在全空间上定义的实线性泛函?，使?是f的延拓，且对一切的x∈X有?（x）≤ p（x）

设?是满足下列三个条件的实线性泛函g全体： i g的定义域D（g）是X的线性子空间。

ii g是f的延拓，即D(g)?Z，且当x∈Z时，成立g（x）=f（x） iii 在D(g)上g被p（x）控制，即对一切x∈D(g)，有g≤p 。

在?中规定顺序如下：若g1，g2∈?，而g1，是g2的延拓（即D（g1）? D（g2），并且当x∈D（g2）时，g1（x）=g2（x）），就规定 g2

定理2：设X是实或复的线性空间，p（x）是X上次线性泛函，?（x）是定义在子空间上Z上的实或复的线性泛函，且满足 ∣?（x）∣≤p（x） x∈Z 则存在X上线性泛函?，它是?的延拓，且满足 ∣?（x）∣≤p（x） x∈X

定理3：设f是赋范线性空间X的子空间Z上的线性连续泛函，则必存在X上线性连续泛函?，它是f的保范延拓，即当x∈Z时，有

?（x）=f（x）并且‖?‖X=‖f‖Z

定理4：设X是线性赋范空间，x0∈X，x0≠0，则必存在X上的线性有界泛函 f（x），使得‖f‖=1，并且f（x0）= ‖x0‖

推论1：设X是赋范线性空间，x∈X，若对X 上所有线性连续泛函f，均有 f（x）=0，则必有 x=0 C[a，b]的共轭空间

定理（Riesz表示定理）C[a，b]上每一个线性连续泛函F都可以表示为

F（f）=∫ｂ， f∈C[a，b] ａf（t）dg（t）

其中g（t）是[a，b]上囿变函数，并且‖F‖=V（g）

ab注：定理中得出的g（t）不一定唯一。但如果规定g（t）是正规化的囿变函数，即需要满足g（a）=0且g（t）右连续，那么g（t）可由F唯一地决定。

共轭算子

定理1：线性有界算子T的共轭算子T×也是线性有界算子，并且‖T ‖=‖T‖

定义1：设M是度量空间X中的子集，如果M不在X的任何半径不为零的开球中稠密，则称M是X中的无处稠密集或疏朗集。

定义2：设X是度量空间，M是X中子集，若M是X 中有限或可列个疏朗集的并集，则称M是第一纲集，不是第一纲的集称为第二纲集。定理1：（Baire纲定理）若X是非空的完备度量空间，则X是第二纲集。

注：逆不成立，布尔巴基（Bourbaki）在1955年曾举出反例，一个不完备的度量空间仍是第二纲集。

定理2：（一致有界定理或共鸣定理）设X是Banach空间，Y是赋范空间，?(X→Y)表示X到Y中的线性有界算子全体，Tn∈?(X→Y)，n=1，2，...若对每一个x∈X, { ‖Tnx‖}有界,即‖Tnx‖≤Cx,n=1,2,...,这里Cx是一与x有关的实数,那么, { Tn}一致有界,即存在与x无关的实数C,使用权对一切自然数n,成立

‖Tn‖≤C

定理3:设{fn}是Banach空间X上的一列泛函,如果{fn}在X的每一点处有界,则{fn}一致有界.

定理4:存在一个实值连续函数,它的富氏级数在给定的to处是发散的. (共鸣定理在古典分析上的应用)

强收敛弱收敛和一致收敛

定义 :设X是赋范线性空间, xn∈X,n=1,2,...,如果存在x∈X,使‖xn-x‖→0,则称点列{ xn }∞ 1强收敛于x,如果对任意的f∈Xˊ,都有f(xn) →f(x) 则称点列弱收敛于x.

定义:设X 是线性赋范空间,Xˊ是X的共轭空间,泛函列fn∈Xˊ(n=1,2,…)如果存在f

∈Xˊ,使得

(1) ‖fn-f‖→0,则称{ fn }

∞

1强收敛于

(2) 对任意的x∈X,都有∣fn(x)-f(x)∣→0,则称{ fn }∞ 1弱收敛于f;

(3) 若对任意的F∈(Xˊ) ˊ,都有F(fn)→F(f)则称{ fn }∞ 1弱收敛于f .

注:弱*收敛和弱收敛只在自反的空间中等价

定义:设X 和Y是两个线性赋范空间,Tn∈?(X→Y),若存在T∈?(X→Y)使得 (1) ‖Tn-T‖→0,则称算子列{Tn}∞ 1一致收敛于T.

(2) 对任意的x∈X, ‖Tnx-Tx‖→0,则称Tn强收敛于T.

(3) 对任意的x∈X和任意的f∈Yˊ,f(Tnx) →f(Tx),则称Tn弱收敛于T.

T-1:设Tn是Banach空间X到Banach空间Y中的线性有界算子序列,则{Tn}强收敛? (1){ ‖Tn‖} 有界;

(2)对X中一稠密子集D中的x,{ Tn x}∞ 1收敛

注:将T-1用于泛函情形,可知Banach空间X上任一列泛函{fn},如弱收敛,必定有界;反之,有界泛函 {fn}若在X的一个稠密子集上收敛,则必弱*收敛. 逆算子定理(开映照定理)

T-1:设X 和Y都有是Banach空间,如果T是从X到Y上的一对一线性有界算子,则T的逆算子T-1也是线性有界算子.

引理:设T是Banach空间X到Banach空间Y上的线性有界算子,则X 中单位球 Bo=B(0,1)={x∣‖x‖≤1} 的像TBo包含一个以零点为心的球.

定义: 设X和Y是两个度量空间,f是X到Y中的映照,若f将X 中的开集映成Y中的一开集,则称f是开映照.

定义:设X和Y是两个赋范空间,T是X 的子空间D(T)到Y中的线性算子, 称X×Y中的集合 G(T)={(x,y) ∣x∈D(T),y=Tx}为算子T的图像.

在X×Y中,定义‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖,易知X×Y按此范数成线性赋范空间,如果G(T)是X中的闭集,则称T是闭算子.

定理:(闭图像定理)设X和Y是Banach空间,T是D(T) ?X到Y上闭线性算子,如果

D(T)是闭的,则T是有界算子.

注:定理表明,一个闭算子,若无界,其定义域一定不是闭集;若闭算子T的定义域是闭集,那么,T是有界算子.Banach空间上的无界算子,其定义域至多只能在X中稠密,而绝不是整个X.如微分算子的定义域是C[a,b]中稠密子集C1[a,b],而不能是C[a,b]

第十章线性算子的谱理论

要求：了解有关谱的的概念和基本理论，掌握全连续算子的谱分解理论，了解酉算子、共轭算子、正规算子的谱分解理论，并在此基础上具备进一步学习和拓展知识的能力。线性算子的谱理论

定义1:设X是赋范空间,T∈?(X→X),若T-1存在,且是定义在整个X上的有界线性算子,则称T是X上的正则算子. 正则算子性质:

ⅰ T正则?存在有界算子B∈?(X→X),使得 BT=TB=I I为恒等算子 ⅱ A,B正则 ? T=AB也是正则算子,且(AB)-1=B-1A-1

定义2:设T∈?(X→X),λ是复数,若(T-λI)正则,称λ是算子T的正则点;T的正则点的全体称为T的正则集或豫解集,记为ρ(T); 不是正则点的复数称为T的谱点;全体构成T的谱,记为σ(T).

定义3:(谱的分类)设λ∈σ(T)即T-λI不存在有界逆算子,可分三种情况: (1) 如果T-λI不是一对一的,此时存在x∈X,x≠0,使(T-λI)x=0

即Tx=λx,此时称λ是算子T的特征值,x称为相应于特征值λ的特征向量. T的特征值的全体称为T的点谱,记为σρ(T);

(2) (T-λI)是一对一的,但值域不充满全空间,即?(T-λI)≠E ?(T-λI)=E (3) (T-λI)是X到X上的一对一算子,但(T-λI)-1不是有界的. ?(T-λI)≠E (2)类谱点称为T的连续谱,记为σC(T),(3)类谱点称为T的剩余谱,记作σr(T)。由逆算子定理可知,X是Banach空间时,(3)不出现.本节均指Banach空间. 举例1:乘法算子：（Tx）（t）=tx（t）设λ?[0，1], 在C[0，1]上定义算子

Rλ：（Rλ）x（t）=x（t）/（λ-t）

Rλ是定义在C[0，1]上，且值域包含在C[0，1]中的线性有界算子。 [Rλ（?I-T）x]（t）=[（?I-t）Rλx]（t）=x（t）??是T的正则值。当?∈[0，1]，t=?时，（?-t）x（t）=0，当x跑遍C[0，1]时，

（?-t）x（t）的全体组成的集在C[0，1]中不稠密。不难证明?非特征值，综上， ?∈[0，1]，?属于剩余谱。

t例2.复C[0，1]中伏泰拉积分算子：（Tx）（t）=?x（s）ds

011当?≠0时，（?I-T）x（t）=y（t）等价于x（t）=y（t）+

??上方程存在唯一解，故?I-T存在逆算子，且有界。若?=0，

?t0x（s）ds

由（Tx）（t）=?x（s）ds可知T的值域是满足y（0）=0的一切连续可微函数

0ty（t）组成的集，它在C[0，1]中不稠密，?=0不能为特征值，故有?=0属于剩余谱。

1 例3. 在复空间L [0，1]（1≤p<+∞）中定义算子: （Tx）（t）=tx（t）+?x(s)ds

tT是值域包含在Lp [0，1]中的有界线性算子,当 ?∈(0, 1]时,可以证明区间[0, ?]的

特征函数x? (t)=10?t?(0,?] 是算子T对应于?的特征元. t?(?,1]其实,当0≤t≤?时,(Tx?)(t)=tx?(t)+∫1 tx? (s)ds=?

当?

当??[0,1]时,可以证明方程 (?I-T)x=0 只有零解 ,即算子?I-T是一一对应的.可以验证 ?I-T有有界逆算子(?I-T)-1,即?是T的正则值. ?=0可自行讨论. 例4.?0 表示?1中只有有限座标不为零的元素全体.即当x?

?0时,x=(x1,x2,?xn,0,0?)

?0上范数∥x∥=∑∣xi∣

?0上定义算子Bx=( x1,x2/2,?xn/n,0,0?)

则B是?0上一对一的线性算子. ?=0不是特征值,易知B-1x=( x1,2x2,?nxn,0,0?) 显然B-1定义在整个?0上,但是无界算子.所以, ?=0属于剩余谱.

补充(复旦下) 定义:B是线性赋范空间上线性有界算子,称r(B)=???max(B)∣?∣为B的

谱半径.有估计式， sup∣?∣≤lim√∥B∥ r(B)≤∥B∥

定理: (Гельфаид)设B 是Banach空间的线性有界算子.则

r(B)= ???(B)∣?∣= lim

maxnn B （??σ(B)）

n定理:非零的Banach空间E上的任何有界线性算子B必有谱点.

定义:B是线性赋范空间E到E上的线性有界算子,如果 limnBn=0,则称B为广义幂零

算子.

定义:设B 是赋范线性空间E上线性有界算子, ?是一复数,如果存在一列向量xn?E 使(?I-B) xn→0,则称?是B的近似谱点.

定理:设B是Banach空间E上的线性有界算子,当??σ(B)? ρ(B)时, ?必是近似谱点. 而且此时或?是特征值,或者(?I-B)-1是无界算子.

T-1:T∈?(X→X), ‖T‖＜1,则1∈ρ(T),这时I-T有定义,在全空间上的有界逆算子 (I-T)=?Tn=I+T+T2+…… 这里级数按?(X→X)范数收敛

-1

1?T-2 (谱集的闭性) T∈? (X→X),则ρ(T)是开集, σ(T)是闭集.

T-3: T∈?(X→X),则σ(T)是有界闭集,当λ∈σ(T)时,有∣λ∣﹤‖T‖.由此知ρ(T)非空.

紧集和全连续算子

定义1: (紧集和相对紧集)设以量空间,M是X 中子集,如果对M中任意点列{xn}

∞

1都存

在子列{xnk}∞ 1收敛于M中的元素xo,则称M是紧集,如果X中子集N的闭包N 是紧集,则称N是相对紧集.

定义2(全连续算子)设X和Y是线性赋范空间,T是X 到Y的线性算子,如果对任何有界算子集M,TM都是Y中相对紧集,则称T为全连续算子,亦称紧算子.

T-1:设{Tn}∞ 1是X 到Y上的全连续算子列,Y是Banach空间,且‖Tn-T‖→0,则T也是全连续算子.

自伴算子的谱理论

T-1:(D.Hilbert)在可分的Hilbert空间上任何全连续的自伴算子,一定具有以特征向量组成的完全直交系. ( 证明用了八个引理)

引理1:如果‖e‖=1 A为自伴算子,则 ‖Ae‖2≤‖A2e‖ 当且仅当e是A2的特征向量(相应于特征值λ=‖Ae‖2)时,等号成立

引理2:全连续自伴算子具有极大向量.

引理3:设eo是自伴算子A的极大向量,则eo是A2的特征向量(具特征值‖A‖2) 引理4:若A2有特征值M2,则A有特征值M或-M.

推论1:A全连续自伴,则‖A‖或-‖A‖中必有一为A的特征值. 引理5:自伴算子A的相应于不同的特征值的特征向量彼此直交.

引理6:A是全连续算子,δ是任意的正数,考察绝对值于δ的特征值,则A的与这些特征值相应的所有就范直交特征向量系只会有有限个向量.

推论2:全连续算子A的相应于非零特征值λ的就范直交特征向量至多为有限个. 引理7:A是自伴算子,H?是A的不变子空间,则H?的正交补空间H??也是A的不变子空

间.

引理8:设H是Hilbert空间,A是全连续自伴算子,对任何的x∈H,可写成 x=x′+x?=?ξkφk+x? φk是A的特征向量(相应特征值非零)且Ax?=0

1?T-2:H上全连续自伴算子A的非零谱点都是特征值.若H是无限维空间,那么0∈σ(A). 定理（Riesz-Szauder）,设Ｅ是Banach空间，Ａ是Ｅ上全连续算子。那么１、当Ｅ是无限维空间时，０必为Ａ的谱点；

２、全连续算子的非零谱点必是特征值；

３、当λ≠0,且是Ａ的特征值时,与λ相应的特征向量空间必是有限维的；

４、设λ１，λ２ …λn是Ａ的不同特征值，x1,x2, …xn是相应的特征向量，那么，x1,x2, …xn线性无关；且相互正交;

５、σ(Ａ)的极限点只可能是０（因而σ(Ａ)是有限集或可列集）。定理:(Ｂ.И.Ломоносов 1974发表)设Ｅ是复Banach空间,Ｂ∈?(Ｅ→Ｅ).

B≠αI(α是常数).如果有一个非零的全连续算子A与B可交换,那么B必有非平凡的超不变闭子空间.

系1: 设Ｅ是无限复Ｂanach空间,Ｂ≠0,且是全连续的,B必有非平凡的超不变闭子空间,因而B有非平凡的不变闭子空间.

系2: 设Ｅ是无限复Ｂanach空间,Ｂ∈?（Ｅ→Ｅ）,如果存在多项式p(t),使p(B)为非零的全连续算子,那么B必有非平凡的超不变闭子空间.(见复旦)

投影算子补充（见复旦下）

定义1：L是H中任意取定闭子空间，任意的x∈H，Px是x在L上的投影，记为P或PL P的性质：（1）P线性有界算子；（2）P是H空间的投影算子，P把H投到PH上；（3）P的范数是0或1，当L≠{0}时，║P║=1；（4）PLx=x ? x∈L PLx=0 ? x⊥L 定理1：P是H空间中线性有界算子，P是投影算子?P=P*=P2=（Px，x） ?║Px║2定理2：PL、PM是投影算子，L⊥M?PLPM=0

PL+PM是投影算子? PLPM=0 且当PL+PM是投影算子时，它就是PL⊕M 定义2：PQ=0称投影算子P和Q直交，记为P⊥Q

定理3：Pn是H空间中一列两两直交的投影算子，则必有投影算子P，使对任意x∈H ，有： Px=∞∑Pix

定义3：设{Ln}是H空间中一列两两相互直交的闭线性子空间，作

∞ L={ ∞∑xi∣xi∈Li， ∑‖xi‖<∞}

称L为{Ln}的直交和，记为L=⊕Li P⊕Li=∞∑Pli（级数按算子强收敛）

定理4：PL PM为投影算子? PL PM = PM PL ，且PL PM为投影算子时，它就是在L∩M上的投影算子。

定义4：A和B是H空间上自共轭算子，如果对任何的x∈H都成立不等式（Ax，x）≤（Bx，x）就称A小于B，记为A≤B或B≥A

定理5：PL、PM是H 空间两投影算子，下列命题等价：PL≥PM?‖PL‖≥‖PM‖

? L ?M ? PL PM = PM ? PM PL =PM 定义5：M在L中的直交补 L?M={x│x∈L且x⊥M}=L∩M⊥

定理6：PL –PM是投影算子? L ?M，且当PL –PM是投影算子时，PL –PM=PL?M 系1：I- PL是在L⊥上的投影算子

系2：PL PM成为投影算子?（L?（L∩M））⊥（M?（L∩M））

系3：PL 、PM为投影算子， PL PM = PM PL PL +PM- PL PM是在（L?（L∩M））⊕M上的投影算子。

定理7：A是H上的线性有界算子，M是H的闭线性子空间，M是A的不变子空间

? APM=PMAPM 定义6：M及M⊥=H?M都是A的不变子空间，称M是A的约化子空间,简称M约化A。系1：M约化A?APM=PMA?M同时是A和A*的不变子空间，特别地，A自共轭时，A的不变子空间必定约化A。

谱系定义：设H是H空间，{Eλ}是以λ∈(-∞，+∞)为参数的一族投影算子，如果满足： ⅰ）单调性：对任何两个实数λ、μ，当λ>μ时，Eλ>Eμ ； ⅱ）右连续性：对任何λo∈（-∞，+∞）Eλo+0= Eλo ；

ｌｉｍ

ⅲ）（强）ｌｉｍ Eλ=0 （强）λ→－∞λ→＋∞ Eλ=I

称{ Eλ}是一个谱系。注:显然,当λ≥μ时，Eλ≥Eμ 此时有EλEμ=EμEλ=Eμ 另外,若λM，Eλ=I，则称其为区间[m，M]上的谱系。定理：{ Eλ}（λ∈(-∞，+∞)）是H空间上一族投影算子，{ Eλ}成为谱系

?对任何x∈H，函数Fx（λ）=（Eλx ，x）满足： ⅰ）Fx单调不减。即λ>μ时，Fx（λ）≥Fx（μ） ⅱ）Fx是右连续函数；

ｌｉｍ

ⅲ）ｌｉｍ Fx（λ）=0 λ→－∞λ→＋∞ Fx（λ）=‖x‖2

酉算子的谱分解理论

有限维空间中，U=??jPj ?Pj=I Pj为互相直交的投影算子 │?j│=1

j?1n记?j为eiθJ,由｛Ｐj｝及｛θJ｝可以作一个谱系Ｅλ，这个谱系是[0，2?]上的谱系，将其写成积分形式Ｕ＝?ei?dEλ

T-1：U是复Hilbert空间H到它自身的酉算子，那么必有H 中的谱系

2?{Eθ│θ?[0，2?]}，满足E0=0，并使 U=?edE?

0i? 28

说明：C2?={f│f?[0，2?]，f（0）=f（2π）}是Banach空间C[0，1]的闭线性子空间，且‖f‖=max│f│ T2π表示三角多项式全体，T2π是C2π中的线性子空间，且

t?[0，2?]T2π在C2π中稠密，Eθ称为U算子的谱系。

系1：若复数ξ使│ξ│≠1，则ξ是酉算子U的正则点。

系2：数eiθ0 (0<θ0<2π)是酉算子U的正则点???>0使U的谱系Eθ在[θ0-δ,θ0+δ]中是常算子(即Eθ在(θ0-δ,θ0+δ）中取值与θ无关）.1为U的正则值???>0使当θ?(0,δ)时,Eθ=0,当θ?(2π-δ,2π）时，Eθ=I

系3：数eiθ0 （0<θ0≤2π）是酉算子U的特征值 ?Eθ0≠Eθ0-0 系4：U是复Hilbert空间中酉算子，{E0，0≤θ≤2π}是U的谱系，设

([0,2π],B∩[0,2π],E)是由谱{E0}决定的谱测度，那么对于任何与U可交换的线性有界算子A，E0以及E（M）（M?B∩[0,2π]）都与A可交换。

复Hilbert空间H中酉算子U的谱σ（U）是平面上单位园周上一个闭集，令Bσ（U）表示σ(U)中的（平面）Borel集全体。 T-2：（酉算子的谱分解定理）设U 是Hilbert空间H中酉算子，那么，必有（σ(U),B）上唯一的谱测度F，使得 U=?λdF（λ） σ（U）

?(U)且F 有如下性质：对?M? Bσ（U）及H中任何一个与U可换的线性有界算子A，F（M）与A可换。

自共轭算子的谱分解（见复旦《Hilbert空间的几何学》）

引理1：设H是Hilbert空间，A是H中的自共轭算子，那么算子A±iI的逆算子

（A±iI）-1存在，而且（A±iI）-1是全空间定义的线性有界算子。定义：设A是Hilbert空间H中的自共轭算子，称算子 U=（A-iI）（A+ iI）-1 是A的Cayley 变换。

定理： Hilbert空间H中的自共轭算子A的Cayley 变换U是H上的酉算子，1不是U的特征值，而且

A=i(I+U)(I-U)-1 事实上由A自伴,令U=e

系：定理中的A是有界自共轭算子时，1是U的正则点。

则U为酉算子

引理：设A是Hilbert空间H中的自共轭算子。U是A的Cayley 变换，那么在映照

L：w=

(z?i)之下，ζ（A）映照成： σ（U）-{1} (z?i) 系：H中自共轭算子的谱点在实轴上。定理：（自共轭算子的谱分解定理）设H是Hilbert空间，A是以?（A）为定义域的自共轭算子，那么必有H中的谱系{Eλ│λ∈（-∞，∞）}，使得 A=????λdEλ

证明过程，作A的Cayley 变换得到U，再根据酉算子U的谱分解定理即得。U在

[0，2π]中的谱系Eθ，作（0，2π）到（-∞，∞）中的映照θ→λ=-ctg=i这个映照作谱系如下：Fλ= Eθ

， λ

?21?e1?ei?i? 利用

=-ctg?2

定理：设A是H中自共轭算子，那么，由A所决定的谱测度（R1，B1，F）集中在ζ（A）上，即F（ζ（A））=I，而且F不能集中在比ζ（A）更小的闭集上。

系1：A是H中有界自共轭算子，则：

s u pλ = sup (Ax,x)

λ∈ζ(A) ║x║=1

infλ = inf (Ax,x)

λ∈ζ(A) ║x║=1

系2：设A是复Hilbert空间H中任何一有界自共轭算子。（ζ（A）,Bζ（A）,F）是A所决定的谱测度空间.设B是任一与A可交换的线性有界算子,那么对任何M ∈Bζ（A）,B与F(M)可交换.

系3:设H是复的Hilbert空间,A是?(A)→H的自共轭算子,F是A所决定的谱测度.令?(ζ（A）)为ζ（A）上的有界Baire函数全体,对每个f∈?(ζ（A）),作线性有界算子

f(A)=∫ζ（A） f(λ)dF(λ) 那么映照f?f(A)有如下性质:

i)Hermite性: －ｆ(A)=(f(A)) *, 特别当f是实函数时,f(A)是自共轭的; ii)线性:设α,β是数,f,g∈?(ζ（A）),则 (αf+βg)(A)=αf(A)+βg(A)

iii)可乘性:设f,g∈?(ζ（A）),则(fg)(A)=f(A)g(A) 映照f?f(A)为算子演算. 定义:设X是线性赋范空间,A是? (A)СX到X中的线性算子.如果在?(A)中有向量

ｎ

x0? ?(A),使得{A x0∣n=0,1,2,…}张成的闭线性子空间就是X,那么称x0是A的生成元.

引理:设H是复Hilbert空间.A是H中的有界自共轭算子,它有生成元x0.那么必有 (ζ（A）,B1∩ζ（A）)上的全有限测度μ,又有H到L2(μ)的酉算子U使得?=UAU-1是 L2(μ)中如下的算子:当f ∈L2(μ)时,

(?f)(t)=tf(t) 而且U x0 =1.

函数空间L2(μ)中的乘法算子?就称为H中自共轭算子的函数模型.

引理:设H是可析复Hilbert空间,A是H中有界自共轭算子，那么必有Ａ的有限个或可列个互相直交的约化子空间Ｈn，使得Ｈ＝⊕ｎＨn，而且每个Ｈn上有生成元．定理:设H是可析复Hilbert空间,A是H中的有界自共轭算子,那么必有有限个或可列个测度空间(Xn,BXn,μn),其中每个Xn是ζ（A）中的闭集, BXn是Xn中Borel集全体,并

-1⊕L2( Xn,BXn,μn)中如2

有H到直交和⊕ L( Xn,BXn,μn)上的酉算子U,使得?=UAU是ｎｎ

下的乘法算子:对任何f={f1,f2,…}∈⊕ｎ L２ ( Xn,BXn,μn) ?f= ?{ f1,f2,…}={tf1(t),tf2(t),…}

此定理中的Hilbert空间⊕ｎL２ ( Xn,BXn,μn)以及乘法算子?称为Hilbert空间H及自共轭算子A的函数模型.

定理:设H是复Hilbert空间,A是H中自共轭的全连续算子,{λn}是A的非零特征值全体，Pn是H到相应于特征值λn的特征子空间（只有有限维）的投影算子。P0=I-ΣｎPn，那么P0H必是相应于持征值为零的特征子空间，这时A的一切非零谱点都是实特征值，而且 A=Σｎλn Pn

令e（ｎ）ｋ，k=1，2，3…mn 是PnHn中的就范直交系，那么

Σ （ｎ）（ｎ） Ax= ｎ，ｋλn（x，e ｋ）e ｋ

（南大郑维行）定理1：T是定义在Hilbert空间H上的自伴算子，λ0是一个数，则λ0是T的正则值 ?λ0属于下列三种情况之一：（1） λ0是非实数; （2） λ0在[m,M]之外;

（3）如果λ0?[m,M]，则存在某个区间[α,β],适合α<λ0<β，且Eλ在[α,β]上取常值，即 Eλ＝Eα（α≤λ≤β）

推论1：自伴算子T的谱σ（T）是实轴上的有界闭集。推论2：自伴算子T的上下界M,m都属于σ（T）定理2：T为自伴算子，则：

（1） λ0是T的特征值?λ0是Eλ的间断点，即Eλ0 ≠Eλ0+0 当λ0是T的特征值时，T

对应于λ0的特征向量空间是Eλ0 -Eλ0+0的值域；（2） T没有剩余谱；