控制系统的能控性和能观性

现代控制理论

第3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： 1. 2. 3. 4. 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性

5.

对偶原理

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6. 7. 8. 9. 10.

能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性

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3.1

引言

首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。

例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 u C 为状态变量， u (t ) x 。C 电桥平衡时，不论输入电压 u 即： 如何改变， x ( t ) u C 不随着 u (t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u (t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。

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例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x 变量，即： 1 u C 1 , x 2 u C 2 ,电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y x 2 ,则电路的系统方程为 2 x Ax bu 1 1 1 x u 2 1

y Cx 0 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 x 3t

系统状态转移矩阵为 如果初始状态为 0 x (0 ) 0

e

At

t 3t e e e e

t

系统状态方程的解为 1 t ( t τ ) x (t ) e u (τ ) d τ 0 1

可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x 1 x 2

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一般情况下，系统方程可以表示为 x Ax Bu y Cx

(1)

状态能控与否，不仅取决于B 阵(直接关系),还取决于A 阵(间 接关系)。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。y 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t )为输入量， (t ) 为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为 -2 x Ax B u 1 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 1 x u -2 0 t 3t

y C x 1

1 x

系统状态转移矩阵为eAt

t 3t e e e e

系统状态方程的解为x (t ) eAt

x (0)

t

e

A (t τ )

b u (t τ ) d τ

0

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为了简便起见，令y (t ) C eAt

u (t ) 0

则

x (t ) e 3t

At

x (0)

x ( 0 ) [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] e

从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] 。当 x1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ,则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般

情况下，系统方程如式(1)所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵(直接关系),还取决于A阵(间接关系)。

对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C,还与A 有关。

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3.21. 能控性定义

能控性及其判据

3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据

线性定常系统的状态方程为 x Ax Bu

(2)

给定系统一个初始状态 x ( t 0 ) ,如果在 t1 t 0 的有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使 x ( t1 ) 0 ,则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1) 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。(如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。)

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2)如果在有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使系统 x 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ( t1 ) ,则称系统是状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的。3)只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4)满足(3)式的初始状态，必是能控状态。x (0 ) t1

e

Aτ

Bu ( τ ) d τf (t )

(3) 时，f (t ) 不会改 (4)

0

5)当系统中存在不依赖于 u (t ) 的确定性干扰 变系统的能控性。 x Ax Bu f (t )

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2. 能控性判据

定理3-1 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩W C ( 0 , t1 )

t1

e

Aτ

BB

T

e

A τ

T

dτ

0

(5)

(证明参见教材84页)

(这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵， 比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。)

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定理3-2 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。QC [B AB A B2

A

n 1

B]

(6)(7)n 1

rank Q C n

证明e Aτ

应用凯-哈定理，有 a 0 ( τ ) I a 1 ( τ ) A a n 1 ( τ ) An- 1

ai (τ ) A

i

上式代入(3)式

x (0) A B i i 0

n 1

i 0

t1 0

a i ( τ )u ( τ ) d τ

(8)

β i1 t1 βi2 a i ( τ )u ( τ ) d τ i 0 β ir

( i 0 ,1, , n 1)

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于是

x (0 ) [ B

AB

β0 β1 n- 1 A B ] β n 1

(9)

如果系统能控，必能够从(9)式中解得 0 , 1 , … , n 1 。这 样就要求rank Q C rank[ B AB A B2

A

n 1

B] n

(

本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。)

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定理3-3 (PBH判别法) (2)式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λ i ,都有rank [ λ i I A B] n

( i 1, 2 , , n )

(10)

(证明略) 定理3-4 (2)式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λ i 互异，( i 1, 2 , , n ) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵0 λ2 (11) x Bu λn 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。 λ1 x 0

(可以应用定理3-2证明，详见教材87页)

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例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。(1) 7 x 0 7 x 0 5 0 2 x 0 u 9 1 0 0 x 4 7 1 1 0 u 5

(2)

5

解 根据定理3-4, 系统(1) 不能控 ； 系统(2)能控。

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定理3-5(2)式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ 2、λ 3 、…、 λ 分别为 l1 重、 2 重、 3 重、…、l k l l k

重。

且 i 1

k

li n

λ , i λ j ,( i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵

J1 x 0

J2

0 x Bu Jk

λi Ji 0

1 λi

0 1 λi

(12)

则系统能控的充分必要条件是矩阵 一行对应行的元素不全为零。

B

中与每一个约当子块最下面

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例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。 (1) 解 4 x 0 0 1 4 0 0 0 0 x 4 u 3 2

(2)

4 x 0 0

1 4 0

0 4 0 x 0 3 2

2 0 u 0

根据定理3-5, 系统(1)能控 ； 系统(2)不能控

(定理(3-4)、定理(3-5)不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。) 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。

2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。

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3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为 x A (t ) x B (t ) u

x (t0 )

(13)

定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t 0 ,使得函数矩阵 ( t 0 , t1 ) B ( t ) 的n个行在 [ t1 , t 0 ] 上线性无关。 (证明略)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t1h1.html