复杂三维微观结构及其演化过程的可视化方法研究

复杂三维微观结构及其演化过程复杂三维微观结构及其演化过程 的可视化方法研究 硕士研究生:付杨杨

导师:黄虎杰教授、李海峰教授 申请学位:工学硕士 学科:计算机科学与技术

所在单位:计算机科学与技术学院 答辩日期:2013年6月

授予学位单位:哈尔滨工业大学摘 任石 3七

随着计算机技术的迅猛发展，二维可视化技术己经不能满足人类的需求，三 维世界对人类的吸引力起来越大。在三维可视化的研究中，复杂物理过程的可视 化正在成为信息可视化领域的一个挑战，并且吸引了越来越多跨领域的学者的关 注。焊接接头微观组织演变的可视化是长期以来的重要研究课题，脑电相干性的 可视化己成研究热点。本文重点研究完成以下几个方面的工作:

1.根据元胞自动机理论，扩展出三维元胞自动机，结合形核、生长动力学和 传热传质数学模型，建立基于三维元胞自动机的微观组织可视化模型，并且给出 模型框架和算法。

2.根据晶粒形核理论，提出基于三维元胞自动机的DN3DCA算法，可视化 形核过程。根据枝晶生长理论，研究了枝晶生长参数，如过冷度、枝晶尖端生长 速度、曲率和固相分数等，提出基于三维元胞自动机的DG3DCA算法，可视化 等轴晶和柱状晶的生长过程。

3.讨论脑电相干性的时、频域分析和参数化模型分析。根据24导的10-20 系统，扩展出64导电极的位置，绘制出电极相干性可视化图。

4.设计基于Oddball范式的脑电实验，采集和预处理数据，并进行线性相干 性分析，绘制相干性脑网络图。结合复杂网络的分析方法，刻画出脑网络图中的 重要节点，进一步探讨脑功能网络。

关键词:复杂三维微观结构;可视化;元胞自动机;脑网络目录

摘要.................................................................................................................... I Abstract.........................................................................................................……II 第1章绪论......................................................................................................... 1 1.1课题的研究背景和意义........................................................................... 1 1.2国内外研究现状....................................................................................... 2 1.2.1国内研究现状............................................................................... 2 1.2.2国外研究现状............................................................................... 3 1.3本文的主要研究内容............................................................................... 4 第2章基于元胞自动机的微观结构三维可视化方法..................................... 6 2.1三维元胞自动机....................................................................................... 6 2.1.1三维元胞自动机的定义............................................................... 6 2.1.2三维元胞自动机的组成............................................................... 7 2.1.3三维元胞自动机的特征............................................................... 8 2.1.4 3DCA算法..............................................................................??8

2.2焊接过程中的演化动力学....................................................................... 8 2.2.1形核动力学................................................................................... 9 2.2.2生长动力学................................................................................. 12 2.2.3传热.......................................................................................??16 2.2.4传质.......................................................................................??17 2.3 3DCA-MSV模型描述......................................................................??18 2.3.1 3DCA-MSV模型结构................................................................ 18 2.3.2 3DCA-MSV模型框架................................................................ 20 2.3.3 3DCA-MSV算法........................................................................ 20 2.4本章小结................................................................................................. 21 第3章焊接接头微观组织的三维可视化模拟............................................... 22 勺︼勺︼伪j 4 44或U QCn曰n曰n曰

勺︼勺︼勺︼勺︼勺︼勺︼勺︼勺︼伪j伪j伪j

3.1晶粒形核的三维可视化...................................................................?? 3.1.1晶粒形核理论.......................................................................?? 3.1.2晶粒形核算法...........................................................············?? 3.1.3晶粒形核的3D可视化模拟................................................?? 3.2枝晶生长的三维可视化...................................................................?? 3.2.1枝晶生长理论.......................................................................?? 3.2.2枝晶生长参数的计算...........................................................?? 3.2.3枝晶生长算法.......................................................................?? 3.3焊接接头的三维可视化模拟...........................................................?? 3.3.2

焊接实验材料及实验参数................??

焊缝熔池中心等轴晶的3D可视化模拟的可视化方法研究 RESEARCH ON VISUALIZATION METHOD OF COMPLEX 3D MICROSTRUCTURE AND ITS EVOLUTION PROCESS 付杨杨

哈尔滨工业大学

2013年6月 3.3.3焊接熔池中心柱状晶的3D可视化模拟............................??犯 3.4本章小结................................................................................................. 34 第4章脑地形图电极分布的三维可视化方法............................................... 3_5 4.1脑区协作机制概述................................................................................. 3_5 4.1.1大脑的的结构与功能................................................................. 3_5 4.1.2脑电波频率划分方法................................................................. 36 4.1.3脑区的分工及协作..................................................................... 37 4.2脑电相干分析的一般原理..................................................................... 3 8 4.2.1时域分析..................................................................................... 3 8 4.2.2频域分析...............................................................................??38 4.2.3时频分析..................................................................................... 39 4.2.4参数化模型分析......................................................................... 39 4.3电极位置的3D可视化.......................................................................... 40 4.3.1 10/20系统................................................................................... 40

4.3.2电极位置的计算......................................................................... 41 4.3.3电极位置的3D可视化.............................................................. 41 4.4本章小结................................................................................................. 43 第_5章听觉脑区相干性的三维可视化方法................................................... 44 _5.1听觉信息整合机制的实验..................................................................... 44 _5.1.1实验设计和数据获取................................................................. 44 _5.1.2数据预处理................................................................................. 44 _5.2脑电相干性分析..................................................................................... 4_5 _5.2.1线性相干性分析......................................................................... 4_5 _5.2.2 HHT相位相干性分析................................................................ 46 _5.3电极相干性的3D可视化...................................................................... 47 5.3.1电极相干性图的可视化............................................................. 47 _5.3.2电极相干性的网络分析方法..................................................... 49 _5.4本章小结................................................................................................. _51 结论................................................................................................................. _52 参考文献............................................................................................................. _54 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果..................................................... _57 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限......................................... _5 8

致谢...........................................................................................................??_59第1章绪论 1.1课题的研究背景和意义

计算机的迅猛发展，给人类带来了深远的影响，人类的生活质量有了巨大飞 越。二维可视化技术己经不能满足人类的需求，三维世界对人类的吸引力起来越 大。三维可视化技术如雨后春笋般发展，并且己被广泛应用于生产生活的各个领 域，如复杂物理过程，地图地形，医学影像，建筑设计，水文地质活动，以及石 油矿物探测。三维可视化方法可以让我们直观地看到真实的物体，且可以按时间 轴再现复杂的物理过程。它具有实时交互性，是现实世界的一个真实的表示。三 维可视化技术不仅可以帮助人类预测物体的性能，而且能够对物体的质量作出评 价，可以挽回损失和避免浪费。在三维的世界中，我们己经体会到了可视化带给 我们的冲击和愉悦，比如3D电影和3D游戏。对不同复杂过程的三维可视化方法 的研究对人类进一步体会虚拟世界有巨大推动作用。

在三维可视化各个方面的研究中，复杂物理过程的可视化正在成为信息可视 化领域的一个挑战，并且吸引了越来越多跨领域的学者的关注。因为复杂物理过 程时常是不可见的，物理演变过程很快，探测工具没有很高的时间分辨率。人们 如果可以通过其它手段观测到这一过程，并且如果需要，采取措施改变复杂过程 的路径，朝着有利的方向发展，那么工业制造将迎来新的巨大发展。三维可视化 可以真实表达不可见的复杂物理过程，可视化程度高，实用方便，可实时生成。 因些，三维复杂物理过程的模拟己成为可视系统中最基本也是最重要的技术之一。 焊接，作为一个复杂的物理过程，在机械工业上极其重要。它被誉为所有工 业的裁缝。焊接水平的高低直接决定了产品的质量。在我国神舟系列飞船，辽宁 号航空母舰等高精尖工业制造中，焊接是决定成败的关键。随着三维可视化的发 展，焊接接头微观组织的可视化研究己经成为除了理论研究和试验方法之外的第 三种不可或缺的研究手段。

另外，近年来，脑网络和脑电相干性己经成为当今科学研究的一个热点，研 究者来自不同的领域，包括生命科学、计算机科学、社会学、物理和化学等。其

中，在计算机科学领域中，脑网络和脑电相干性的研究得到了迅速发展。尤其是 将脑电相干性的研究与构建脑网络结合起来的方法得到了迅速发展。这些开创性 的工作为研究神经精神疾病等大脑故障提供了依据。因为这些疾病的产生可能是 由于大脑的神经出现了故障，神经间的递质传递出错。因此大脑皮层会出现宏观 的征兆，典型的征兆就是脑电图的改变。组建脑网络，通过分析网络的方法得出 结论己经成为研究大脑工作机制的一个有效方法。相干性的研究是研究不同脑区的功能协作的最直接方法。脑皮层不同区域间的功能协作机制一直是学者研究的

重要问题。因此，脑网络和脑电相干性的研究将为揭示大脑结构和神经元网络的 演化具有重要意义。

本课题研究得到了哈尔滨工业大学现代焊接生产技术国家重点实验室的支持 同时也得到了国家自然科学基金(61171186)的支持。 1.2 1.2.1

国内外研究现状 国内研究现状

国内在焊接模拟方面的研究起步较晚。1994年，陈清礼等首先从形态学和动 力学角度探索了二维晶粒的生长「‘]。199_5年，李文珍对铸件凝固过程的微观组织 形成和性能进行模拟预测和优化，提出了扩散一界面控制模型[2]0 1997年，李殿中 等探索了异质形核的产生机制，并用元胞自动机的方法仿真了镍基合金的微观组 织演化[3]0 2004年，康秀红、杜强等藕合了宏观传输模型和微观的元胞自动机方 法，并且模拟了柱状晶粒相等轴晶转变的生长形态[[4]

200_5年，张红玉将元胞自动机模型和的传热模型相结合，考虑了晶粒形核的 随机性和晶粒生长的确定性，模拟了材料凝固的过程[[5]。同年，许林，郭洪民和 杨湘杰建立了三维元胞自动机模型，考虑了许多重要因素，包括传热、传质和过 冷度等，模拟了单晶和多晶的生长，用有限差分法计算得到了温度场和浓度场[[6] 2007年，刘志勇，许庆彦和柳百成采用三维元胞自动机模型，从介观尺度的角度 描述了多晶粒生长的形态。溶质场采用哈希表加速法[7]。2009年，潘诗淡和朱鸣 芳利用基于直角坐标系下求解Cahn-Hoffman向量的曲面散度方法和ZS提出的界 面溶质平衡法建立了在低Pe数条件下三维溶质生长的数值模拟模型，模拟了具有 不两同择优生长方向的等轴多枝晶的形貌[8]。2011年，江鸿翔，赵洪生等人用三 维元胞自动机法模拟了Al-Cu合金定向凝固条件下组织演变过程。研究了凝固速 度和温度梯度对一次臂间距的影响[9]。

国内学者对脑网络和脑电相干性的研究一直是热点。2004年，蒋正言在研究 阿尔兹海默病的诊断时，提出了基于离散取样数据的相关函数与相干系数算法， 对疾病的确诊具有临床参考意义「log 0 2007年，王琳等从词语和句子两个水平上阐 述了脑电相干分析在语言理解研究中的应用，讨论了大脑在认知加工过程中不同 功能网络的协同工作方式[l‘]。2009年，周群首先对大脑重点区域进行划分，然后 对脑电信号划分频段，按频段计算相干系数，统计分析结果表明平均相干系数是

具有显著性差异的。同时研究表明相关脑区会产生同步化作用「12] 0 2012年，朱晓 军以希尔伯特一黄变换(HHT)和脑电信号处理技术为研究手段，分析了视听觉诱 发脑电以及视听觉一致时和不一致时脑电数据的关系，从信号相关系数的数值比较方面得出了视听觉模态具有相干性的结论「13] 1.2.2国外研究现状

1984年，Lipton, Kurz, Glicksman等人建立LGK模型和KGT模型，为枝

晶尖端的生长速率与前沿的过冷液体的温度建立了联系「14} 0 1986 } Dustin和Kurz 提出球状等轴晶的“内在固相份数”概念，建立了形核的确定性模型，确定了生 长速率和形核的函数关系「is}

20世纪90年代初，人们开始用计算机手段对凝固组织进行计算机仿真模拟， 即将确定性模型、概率模型及晶粒动力学方法及相场法相结合，运用计算机处理 技术，生成对凝固组织演变的动态显示。1993年，Rappaz和Gandin提出元胞自 动机模型来模拟晶粒的生长「i6}。元胞自动机方法不仅可以方便地解释物理参数， 而且可以表示多种方向。1996年，Rappaz和Gandin又提出了三维的柱状晶元胞 自动机生长模型[mn

近年来，微观组织演变可视化的研究有了进一步的发展，Udaykumar等改进 了界面跟踪法，用有限差分法得到相场[ys}，微观组织演变有了进一步发展。

Provatas等提出了自适应网格求解技术「19} o Beckermann和Tong等提出了一种相 场模型，模型考虑了流场，并且在强迫对流条件下，模拟了枝晶生长的形貌[}20} 国外在脑网络和脑电相干性方面研究的比较早，1984年，Edaes提出弹簧嵌 入算法，运用弹簧的原理来计算所需节点的方位[20 0 1989年，Kawai和Kamada 基于弹簧算法提出K-K算法，该算法定义了一个新的准则函数，可以更精确地确

定节点的位置，为实现复杂网络的可视化提供了便利[}22} 0 2000年，Jing和Takigawa 通过做实验表明相干分析能够表示大脑在不同皮层的激活程度[}23} 0 2003年，we1SS 对被试知觉以听觉形式呈现名词的实验中，各个频段的相干性系数都进行研究[[24] 复杂微观结构及其演化过程的研究工作虽然取得了很大的成果，开发了许多 模型和可视化方法，并通过数值计算获得了与实验比较吻合的可视化结果，但是 这些模型往往局限于一些假设的条件，因此与实际的演化过程还有一定差距。目 前主要还存在下面一些问题:

}1}由于计算机计算速度和微观结构数值模型的限制等原因，大部分模型局 限于二维微观结构的可视化，而对三维微观结构的可视化研究比较少。

}2)形核时间、形核数量及晶核分布及运动状态等形核微观结构的形成过程 等理论还不完善，尤其是三维形核的理论。

(3)虽然有许多分析处理脑电波的方法，但大多数局限于信号处理等领域， 缺少与大脑认知规律相结合，尤其需要将脑电波的处理方法与不同的刺激类型结

合起来。 (4)对三维脑网络的可视化研究工作比较少，特别是在脑功能机制的研究中， 将刺激类型与某个脑区在时间维的演化过程进行可视化。 1.3本文的主要研究内容

本论文的主要工作是针对复杂三维微观结构及其演化过程的可视化方法的研 究，包括复杂物理过程的可视化方法研究和复杂大脑网络的可视化方法研究两个 方面。

对于复杂物理过程的可视化方法，从晶粒的形核、生长模型，传热、传质模 型和三维元胞自动机模型五个方面进行研究，并且研发了焊接接头三维微观组织 可视化子系统。对于复杂大脑网络的可视化方法，从脑电实验的设计，数据的采 集和分析处理的角度来进行研究，并且研发了脑电相干性可视化子系统。研究内 容框图和研发的复杂三维微观结构及其演化过程的可视化系统框架图如图1-1所 不。

晶粒形核模型

图1-1研究内容及系统框图

Fig.l一1 Schematic view of research contents and system

从章节看，复杂物理过程的可视化方法研究部分包括第2 网络的可视化方法研究包括第4 , _5两章。

第2章，首先把二维元胞自动机扩展到三维元胞自动机， 的可视化理论模型和数理模型，最后提出3DCA-MSE模型， 、3两章，复杂大脑 然后建立微观结构 给出3DCA-MSE算法。

第3章，首先结合枝晶形核理论，提出枝晶形核的三维可视化算法，运用算 法得到模拟结果。然后对枝晶生长建模，提出枝晶生长的三维可视化算法，得到 模拟结果。最后，在具体的焊接实验中，对焊接熔池中心的等轴晶和熔池底部的 枝晶进行三维可视化模拟。

第4章，首先介绍脑区协作机制和功能分布，然后对脑电相干性分析的结果， 运用三维可视化技术建模，包括电极位置三维可视化建模和脑电相干性三维可视 化建模。

第_5章，设计脑电实验，采集、预处理和分析数据，得到大脑表皮不同位置 间的相干性数据，绘制相干性脑网络图。引入复杂网络分析的方法，重新绘制了 相干性脑网络图，突出了神经元之间电兴奋的传输效应。第2章基于元胞自动机的微观结构三维可视化方法

本文中的晶粒模拟系统是建立在元胞自动机理论和金属学理论上的。本章首 先介绍扩展出的三维元胞自动机，然后结合金属学凝固理论给出焊接接头凝固过 程中的微观结构演化动力学，最后建立基于三维元胞自动机的微观组织可视化模 型和算法。

2.1三维元胞自动机

由个体作用后形成的整体效应一直是人类研究的重点问题。在这类复杂物理 过程的组织演变过程中，如焊接接头微观组织演化仿真，混沌，分形等，计算机 学者和物理学者从上世纪八十年代开始研究元胞自动机。与传统模拟方法和数值 计算方法相比，元胞自动机具有鲜明的特点，包括作用和演化的局部性，时间的 同步性，及时、空间的有限状态性，所以它更适合模拟雪花生成、复杂的物理化 学过程、液体的相互作用等难以用数学表达和求解的复杂过程。元胞自动机法能 够真实反映出细致的结构模式。而这此结构是不能够准备定义和表达的。相反， 它通过自己定义的状态演变规则，作用在局部范围。这种状态机模型是代表了一 类模型。因此，元胞自动机是一种模型框架，或者说是一类模型。从空间维数上， 元胞自动机包括任意维数的自动机。使用较多的是二维和三维机。本文采用的是 三维元胞自动机。

2.1.1三维元胞自动机的定义 (1>物理学定义

三维元胞自动机最基本的组成部分包括元胞，演变规则和邻居。它是定义在 三维元胞空间上，空间中的每个元胞都有有限个状态，元胞和周围的元胞可以通 过演变规则进行相互作用，是在时间维上离散的动力学系统。

元胞是构成元胞自动机的最基本的部件，它在一个时间点只取一种状态。这 个状态取某个有限状态集，例如元胞可以取2_56种颜色集中的一种颜色。元胞按 一定的排列方式占据着元胞空间的一个网格。元胞的状态随时间而变化。变化是 根据定义的局部规则确定的。所有元胞在一个时间点同步更新状态。下一个时间 点再次按规则演变。因此，可以把元胞空间认为是时间维上的一个状态排列。

(2)计算定义

从计算的角度看，三维元胞自动机是一类算法。因为它满足算法的定义，拥

有算法的特征。用算法描述，三维元胞自动机可按以下步骤执行: 第一步，初始化三维元胞自动机的元胞空间大小，元胞的状态集; 第二步，给定局部规则和作用范围;

第三步，在单位时间步内，运用第二步定义的局部规则同步更新元胞数组元 素的值。

(3)数学定义

令d为元胞空间的维数，k为元胞的状态，值取自有限集S的一个元素，r 为元胞的邻居半径。Z是整数集，表示一维空间，t是时间。

为简便理解，假定元胞空间的维数d--1，状态集为S，整数集为Z,护表示状 态集的空间。那么从时间t到时间t+ 1的规则为: F:牙。碟，(2一1)

F取决于局部函数关f也叫局部规则。记梦r+，为元胞:的领域，那么f可以 表示为:

f:牙厂月。凡十，(2-2)

对于局部规则.f,它的输入、输出集均是有限集。f是两个有限集间的映射表。 可以表示为:

F(味1卜 处的元胞。于是，

f(,-.f (c,厂 , . . .c,，?+,...c1 (2一3)

其中，1Cl是位于

我们建立了三维元胞自动机模型。 2.1.2三维元胞自动机的组成

三维元胞自动机包括六个基本的组成部分，它们分别是时间、状态、元胞、 领居、元胞空间和演变规则。

元胞是元胞自动机的最基本的组成部分。元胞可以在状态集中选取一个状态 值。元胞空间则由所有的元胞按一定的空间排列方式构成。空间排列方式可以是 三角网格划分，四方网格划分，六边形网格划分及正方体划分。从理论上讲，元 胞空间是无边无界的，但是，计算机的存储是有限的，所以从实践角度上讲，边 界是有限的。边界条件包括周期型、随机型、定值型和反射型。另外，在元胞自 动机启动后的任一时刻，整个元胞空间中所有元胞的状态的空间分章组合成了一 个构形。它的数学本质是一个多维的整数矩阵。每个元胞在局部范围内都有一定 数目的元胞作为其邻居。邻居有冯一诺依曼型、摩尔型、扩展的摩尔型和马哥勒斯 型等。

元胞自动机的前四个构成部分是静态成分。演变规则的加入使系统动了起来。 演变规则是状态转移函数，使系统在时间维上动态演化。2.2焊接过程中的演化动力学 焊接是应用最广泛的金属不可拆卸连接方法。通常是借助加热或加压。 焊接接头的成形过程为金属的结晶过程，统筹于金属凝固学。金属凝固涉及 很多学科，过程非常复杂。既涉及像传质、冲击流和传热的宏观过程，又涉及微观 现象，包括晶粒形核和生长等。金属凝固过程就是晶粒的形成和长大过程。 焊接过程中的演化动力学是焊接模拟及可视化研究的理论基础。宏观的物理过程 可以简略地描述为:铸模内外发生热交换，使金属液体温度下降，然后晶粒形核

并且生长;与此同时，溶质的扩散确保固液界面稳定。在凝固过程中，相变带来 的结晶潜热会使周边温度升高，所以晶粒的生长遭到抑制，甚至重新变成液态。 另外，相变发生时溶质是重新分配的，这样使得固液界面前沿的液体中溶质深度

升高，使得界面不稳定。下面介绍焊接过程中的形核动力学和生长动力学。2.2.1形核动力学

形核阶段是在过冷液体当中，形成晶核的阶段。形核有两种方式，一种是均质形核，也叫做自发形核;另一种方式是异质形核，也叫做非自发形核。均质形

核是处于过冷的液体在一定条件下靠自身的能量起伏和结构起伏形成稳定的新相 核心的过程。异质形核是液体依附现成的异质质点作为衬底的形核过程。 (一)自发形核动力学

自发形核是指完全依靠液态金属中的晶胚形核的过程，液相中各个区域出现 新相晶核的几率相同。

当晶核出现时，系统自由能变化包括两个能量差，一个是液相和固相的自由 能差4G,,，另一个是系统增加的界面能4Gi o 4价是相变的驱动力;4Gi是由于 固液界面的出现造成的，它是相变的阻力。因此，系统总的自由能变化为: 4‘二4Gv + 4叹二4喘. V + PLC . A (2-4) 其中，V-一一晶胚体积;

A一一新晶胚与液相的界面面积; 6L:一一固液界面张力。

△喘是单位体积的固液相自由能差，它正比于过冷度4T , 4喘= 4SM . 4T ,

当把晶胚近似为球形时，V正比于半径r的立方，而A则正比于r的平方。所以， 在晶胚小时，4氏绝对值小于4叹;但在晶核变大时，4G。会大于4叹。总的来 看，总自由能会随r的变化而变化。

如图2-2所示，当半径为临界值界时，4G得到极大值，随后4G随:的增大而 减小。所以说当晶胚的尺寸达到r时，会发生形核。为使4G取极大值，运用求极 值的方法，求出r _.一，r，__，，一_，._4

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的三分之一能量由能量起伏得到。 (二)异质形核动力学

异质形核是指晶胚依附于液态金属中的固态杂质表面形成晶核的过程。异质 形核是最常见的形核方式。

均质形核需要的过冷度很大，一般在0.2倍的液相线温度左右。而在实际工 业生产中，为了得到高性能的固态金属，需要提高凝固速度，一般采取的方法是 在铸模中加入一些固态杂质。所以在凝固过程中，还没有达到一定的过冷度，异 质形核就己经发生了。因为液相金属原子很容易着落在诸如杂物，或者铸型表面 上的不光滑地方，所以实际中更多的是发生异质形核。异质形核中的球冠状晶粒 的形态[Zs]如图2-3 a)所示。 图2-2白由能的变化和晶核半径的关系 Fig.2-2 Relation between free energy change and radius of nuclei

a}球冠状晶粒的示意图b)异质形核儿何模型示意图 图2-3界面张力和接触角的关系

Fig.2-3 Relation between interfacial tension and contact angle

在图2-3 b)中，6LC ` 6SL与6sL分别为液相和晶核、液相和衬底与晶核和衬 底之间的界面自由能，e为基底与新相之间的湿润角，r为球冠状晶核的曲率半 径，则三个界面张力的平衡关系为

6sL二}S} + }L} cos a (2-5) 形成固相球冠后，自由能的变化量为

0G一△G,. } v +艺6s (2-6) 其中，4G} } V体积自由能的变化量。

艺6S是界面能的变化总量，它由三部分组成

艺二S一二LcSLc+二。S。一二Ls Scs (2-7) 、一fB0二(一in 9)2、(一。)-夸(2一3一。一。) (2一8) 门fe。.。，，。、。z，，。、

J，二=.}}rsm d} rud)=}}r m一cos d， 石‘ Jo (2-9)

Scs=}z(rsin9)2=}zr2 sine 8 总自由能变化△G}}为

4Gi}几二一耳f4氏+6LCSLC + (6cs一6LS )Scs (2一10)

r-4}cr}‘_月:1}2一3cos9+cos} 91 二}—凸0.，十件万r一 6，二}}—} [3“‘」[4」

=△叭.f (e>

4Gv一一结晶过程中单位体积自由能变化; 4G};}一一液相中形成的球形晶核。 (2一11) 啦村功毗钟

令d}G/dr=0，则非均质形核的临界晶核半径为 261. 261凡 △氓，L·OT (2一12)

r,}}与ra均的计算结果相同，这表明均质形核和异质形核的临界晶核半径相同。 2.2.2生长动力学

晶粒在晶核出现后就进入了生长阶段。从微观的角度看，晶粒的生长过程就 是液相的原子逐个向固相界面的堆砌过程;从宏观的角度看，晶粒的生长过程就 是晶粒的表面逐渐膨大的过程。

金属凝固的重要组成部分是枝晶生长。枝晶生长包括定向生长的柱状晶和自 由生长的等轴晶。

(一)晶体长大的微观层面

固液界面从微观上看包括粗糙界面和光滑界面。那么，如何判断哪些界面属 于光滑界面，哪些属于粗糙界面?Jackson针对这个问题，提出了Jackson因子。:

a_二.N} k凡N (2一13)

式中e一一固相原子间的键能;

Trn一一液相线温度; 从一一界面处的原子在固相界面内的近邻数; N一一固相原子的近邻数。

计算得到因子。后，可以根据其值得到界面的类型:当。>_5时，界面为光滑界 面;当。c2时，界面为粗糙界面。

当界面类型确定以，界面接收液相原子的能力根据界面的微观结构也就确定 了。晶体的长大有两种机制[26]:(1>螺形位错长大机制。一般情况下，光滑界面 带来的晶粒长大速度比较快，这是因为晶体在长大时，会出现如位错、挛晶等情 况，这将加快长大速度，因为原子会被卡在角落等不平整的台阶上。(2>二维晶 核长大机制。当界面为光滑界面时，它捕获液相流动原子的能力比较弱，因为原 子带来的界面能的增加远大于自由能的降低。界面可以依靠能量起伏向前推进。 整个界面铺满一层原子后，便又变成了光滑界面。这种生长方式缓慢，过冷度要 求较大。(3)连续的生长机制。当为粗糙的界面时，界面的细缝中会很容易滞留 经过的原子。当然，界面的各个位置有相同捕获原子的可能性，所以当原子不断 地添加到界面，界面仍然是粗糙的。这种生长方式所需的过冷度较小。界面推进 速度较快。

不同的生长方式具有不同的生长速度[27]，二维晶核生长速率为: 、一B1会exp(一Bz4TH 、一B}潇(4T2， (2一14)

螺形位错生长速率为: (2一15)

连续生长机制的生长速率为: v}二一 D, 4h4T akh暇 (2一16)

式中DL一一液相原子的扩散系数;

DLM一一固相界面的原子扩散系数; “一一原子层间距;

BI B2 B3一一与合金性能相关的常数。 (二)晶体生长形态

晶体的生长形态涉及很多方面的因素，包括界面前端的温度、晶粒的生长机 制和界面的结构等。

当界面前沿的温度梯度为正时，晶体的光滑界面会规则地长大。晶体的粗糙 界面向前的推进速度比较慢，界面保持平面状

当温度梯度为负时，界面如果粗糙的话，那么界面将不再保持平面方式了。因为界面前沿的液体温度低，界面在突出处会迅速向液体方向生长。突出尖端也

会横向生长，但是由于尖端深入液体内部，散热速度很快，所以生长速度也很快， 尖端很快长大，最后形态是一个长长的主轴。这要主轴被称为一次枝晶。另外， 一次枝晶上也会长出小的尖端，这是因为主干周围的液体也是过冷的，这些小的

本章首先将传统的二维元胞自动机扩展到三维，重点介绍了三维元胞自动机 新的特征，然后讨论了金属凝固学理论中与焊接接头性能联系紧密的形核动力学 与生长动力学，及凝固过程中传热和传质的数学物理模型。最后，提出了

3DCA-MSV藕合模型，该模型通过统一的时间空间分辨率将宏观现象和微观组织 结构相联系，使焊接的金属学原理平稳过渡到三维元胞自动机。该模型可以根据 需要扩展和移植到相关领域。

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