2020-2021学年高一下学第一次模块考试(期中)数学试题 答案和解析

高中数开学考试月考单元卷期中期末真题卷 一课一练调研联考模拟预测自主招生专题汇编 一轮二轮三轮复习 高考真题实验模拟试题

试卷第1页，总4页 【全国校级联考】山东省淄博市实验中学、高青一中【最新】

高一下学第一次模块考试（期中）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知角α的终边经过点()2,3,P -则cos α的值是 （ ）

A ．32

B ．32- C

．13 D

．13- 2．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(2,1)OC m m =+．若AB OC ，则实数m 的值为（ ）

A ．15

B ．35

C ．3-

D ．17

- 3

=（ ） A ．1-

B

C ．1 D

4．已知24sin 225α=-

，(,0)4πα∈-，则sin cos αα+等于（ ） A ．1

5- B ．15 C ．75

- D ．75 5．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=（ ） A

B

C ．3 D

6．已知tanα=–2，则212sin sin cos 45

ααα+的值为( ) A ．125

B ．257

C ．725

D ．

2517 7．圆221:20O x y x +-=和圆222:430O x y y +-+=的位置关系是（ ） A ．外切

B ．内切

C ．相交

D ．相离 8

．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）

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试卷第2页，总4页 A ．12π B ．

6π C ．3π D ．56π 9．已知点P 是圆()2231x y -+=上的动点，则点P 到直线1y x =+的距离的最小值是

（ ）

A ．3 B

．C

．1 D

．1 10．已知函数π()sin()(0,0,||)2

f x A x A ω?ω?=+>><

的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）

A ．1()2sin()26

f x x π=+

B ．1()2sin()26f x x π=-

C ．()2sin(2)6f x x π

=-

D ．()2sin(2)6f x x π=+

11．已知向量,,2,,,a b a OA a b OB a b ==-=+若AOB ?是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ?的面积为（ ） A ．8 B ．4

C ．2

D ．1 12．已知,a b 是关于x 的方程2sin cos 04x x π

θθ+-=的两根，则过两点

()()22,,,A a a B b b 的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ） A ．相交

B ．相离

C ．相切

D ．不能确定

二、填空题

13．已知,AB AD AC +=且,,AC a BD b ==用,a b 表示AB =__________． 14．向量()()2,3,1,a b m =-=，若,a b 夹角为钝角，则实数m 的范围是__________．

15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆225x y +=上有且仅有三个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则

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试卷第3页，总4页 实数c 的值是__________．

16．给出下列五个命题： ①函数2sin(2)3y x π

=-的一条对称轴是512

x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2

π,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12sin(2)sin(2)44x x ππ

-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有__________（填写正确命题前面的序号）

三、解答题

17．设向量12,e e 的夹角为060且121,e e ==如果

()121212,28,3.AB e e BC e e CD e e =+=+=-

（1）证明：,,A B D 三点共线.

（2）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量122e e +与向量12e ke +垂直. 18．已知α是第三象限角，()sin()cos(2)tan()tan()sin()f παπααπααπα----=

---. (1)化简()f α；

(2)若31cos()25

απ-=，求()f α的值； 19．已知圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，且圆心C 在直线l :x-y +1=0上.

（1）求圆C 的方程；

（2）若直线m 过点(1，4)，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程.

20．已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x R =-+∈．

（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4

π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．

21．已知()()()2,0,0,2,cos ,sin A B C αα，且0απ<<.

（1）若7OA OC +=，求OB 与OC 的夹角；

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试卷第4页，总4页 （2）若AC BC ⊥，求tan α的值． 22．已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （Ⅰ）当切线PA

的长度为P 的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．

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答案第1页，总12页 参考答案

1．C

【解析】

因为角α 的终边经过点()2,3P -

，故OP =

，由三角函数的定义知cos 13α=

，故选C.

2．C

【分析】 根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.

【详解】

因为//AB OC ，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ?+=∴=-选C.

【点睛】

本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.

3．C

【解析】

tan 60tan151tan 60tan15

tan151-=++ ()tan 6015tan 451=

-== ,

故选C.

4．B

【解析】

试题分析：(,0)cos 14π

ααα∈

-?<<<?sin cos 0αα+> sin cos αα?+=15=

,故选B ． 考点：三角恒等变换． 5． D 【分析】 由()22a b a b +=+得出32a b ?=

，再由()

22a b a b -=-化简得出答案. 【详解】

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答案第2页，总12页 ()223,2,4,a b a b a b a b

==+=∴+=+22=2a a b b +?+ 即316=9+24,2

a b a b ?+∴?=，()22223292410,102

a b a b

a a

b b a b -=-=-?+=-?+=∴-= 故选D.

【点睛】 本题主要考查了数量积公式的应用，属于基础题.

6．A

【解析】

tan 2α=- ，所以原式222221212sin +sin cos tan +tan 4545==sin +cos tan +1

αααααααα ()124+2145==4+125

??- ，故选A. 7．D

【解析】

圆221:20O x y x +-= 的标准方程为()2

211x y -+=，圆心为()11,0O ，半径为R 1= ，圆222:430O x y

y +-+

= 的标准方程为()2

221x y +-=，圆心为()202O ， ，半径为1r = ，则1211R OO r ==>+=+ ，故圆1O 和2O 的位置关系是相离，故选D.

8．B

【解析】

【详解】

试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3y x x x ，令,32x k k Z π

π

π+=+∈，

可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z π

π=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对

称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6

π，故选B ．

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答案第3页，总12页 考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．

【方法点晴】

本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3

y x π

=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．

9．C

【解析】 依题意可知，圆()2

231x y -+= 的圆心3,0 ，半径为1

，圆心到直线的距离，=，点P 到直线1y x =+

的距离的最小值是1 ，故选C. 【方法点晴】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系及解析几何中的最值问题，属于中档题.解决解析几何中中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是根据的这种思路，利用平面几何知识解答的.

10．D

【分析】

根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可．

【详解】 由函数的图象得524126A T πππ==?

-=，（）， 即2 π

πω

=， 则2ω=， 则22f x sin x ?=+（）（） ，22266f sin ππ

?=?+=（）（）， 则13sin π?+=（）， 则 232k ππ

?π+=+， 则26k k Z ，，π

?π=+∈

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答案第4页，总12页 ∵2π

?<，∴当k=0时，6，π

?=

则函数()2sin 26f x x π??=+

???

． 故选D.

【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键． 11．C

【解析】

根据题意，画出图形，如图所示，,,?0OA OB OA OB OAOB

⊥=∴= ， 即()()

0,2a b a b a b -+=∴== ，由OA OB = 得，=+?=0a b a b a b ，

-∴ ， 221=+=+=22222AOB a b a b a b S ，?∴-∴=??= ，故选C. 12．A

【解析】

由题意知，cos ,?sin 4sin a b a b θπθθ+=

-=- ,过两点()(

)22,,,A a a B b b 的直线为 2

22y a x a b a b a

--=-- ，即()0x a b y ab -++= ，圆心在原点的单位圆的圆心到直线AB

= =sin =14sin 4ππθθ?<，而单位圆的半

径r 为1 ，故单位圆和此直线相交，故选A.

13．()

12b α- 【解析】

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答案第5页，总12页 AC AB AD a =+= …（1） BD AD AB b =-= …(2）,由（1）

、（2）可得()12AB a b =- ，故答案为()

12

a b -. 14．23,32m m <≠- 【解析】

,a b 夹角为钝角，则·230a b m =-+< ，解得23

m < ，但当32

m = 时，向量,a b 反向，此时向量,a b 夹角为平角，故,a b 夹角为钝角，则实数m 的范围是23m <且32

m ≠，故答案为23m <且32m ≠. 15

．)

131±- 【解析】

如图，由题意可知，原点到直线1250x y c -+=

1 ，由点到直线的

)1,131c =∴=±

，故答案为 )

131± . 【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.

充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解，本题通过图象将交点个数问题转化为点到直线的距离是解题的关键.

16．①②

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答案第6页，总12页 【解析】

分析：利用三角函数的图象与性质处理有关命题的正误.

详解：把x=

512

π代入函数得 y=1，为最大值，故①正确． 结合函数y=tanx 的图象可得点（2π，0）是函数y=tanx 的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如390°＞60°，都是第一象限角，但

sin390°＜sin60°

． 若 122244sin x sin x ππ?

???-=- ? ????

?，则有 2x 1﹣4π=2kπ+2x 2﹣4π，或 2x 1﹣4π=2kπ+π﹣（2x 2﹣

4

π），k ∈z ， ∴x 1﹣x 2=kπ，或x 1+x 2=kπ+34π，k ∈z ，故④不正确． 故答案为①②．

点睛：本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．

17．（1）见解析（2）54k =-

【解析】

试题分析：

（1）利用向量的加法求出BD ，据此，结合12AB e e =+ ，可以得到AB 与BD 的关系；（2）根据题意可得()()

12122?0e e e ke ++= ，再结合12e e ， 的夹角为60 ，且12==1e e ，即可得到关于k 的方程，求解即可.

试题解析：（1） 1212,55AB e e BD BC CD e e ∴=+=+=+

5BD AB ∴=即,AB BD 共线，

,AB BD 有公共点B

,,A B D ∴三点共线.

（2）()()12122e e e ke +⊥+

()()1212

20e e e ke ∴+?+=

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答案第7页，总12页 22112122220e ke e e e ke +++= 121,e e ==且012121cos602

e e e e ?==

1202

k k ∴+++= 解得54

k =

- 18．（1）cos α-

（2） 【详解】

第一问利用()3sin()cos()tan()22tan()sin()

f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )

(tan )sin cos αααααα--=

-=-

第二问∵31cos()25πα-=∴1sin 5α-=从而1sin 5

α=-，从而得到三角函数值． 解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()

f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )

(tan )sin cos αααααα--=

-=- （2）∵31cos()25πα-

= ∴1sin 5α-=从而1sin 5

α=-

又α为第三象限角

∴

即()f α的值为

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答案第8页，总12页 19．（1）()()223225x y +++=；（2）x =1或512430x y -+=

【分析】

（1）根据圆心C 在直线l :x-y +1=0上，设圆心为：(),1a a +，再根据圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，由()()()2222123a a a a +-=-++求解.

（2）当直线m 的斜率不存在时,方程为x =1，验证即可，当直线m 的斜率存在时,设方程为()41y k x -=-

4==求解.

【详解】

（1）因为圆心C 在直线l :x-y +1=0上.

设圆心为：(),1a a +

又圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，

所以()()()2222123a a a a +-=-++，

解得3a =-， 所以圆心为 ()3,2--， ()2

22125r a a =+-=， 所以圆的方程为：()()223225x y +++=；

（2）若直线m 的斜率不存在时,方程为x =1,被圆C

截得的弦长为6=，符合， 若直线m 的斜率存在时,方程为()41y k x -=-，即 40kx y k -+-=，

4， 解得512

k =， 所以直线方程为512430x y -+=，

综上：直线m 的方程为x =1或512430x y -+=.

【点睛】

方法点睛：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内

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答案第9页，总12页 切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解． 20．（1）388k k k Z ππππ??-

+∈????，（）；（2） |24x x k k Z ππ??=+∈????（），()g x 的最大值为

.

【详解】

（1

）先化简()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π??=-+=-=

- ???f x x x x x x x ， 再由()22224

2k x k k Z π

π

πππ-≤-≤+∈ 即得()f x 递增区间为3,()88k k k Z π

πππ?

?-+

∈????. （2

）由已知()4g x x π??=+ ??

? 解：（1

）()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π??=-+=-=

- ???f x x x x x x x ， 当222,()242ππ

π

ππ-≤-≤+∈k x k k Z ，即3,()88ππππ-

≤≤+∈k x k k Z ， 因此，函数()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z π

πππ?

?-+∈????

. （2

）由已知，()4g x x π??=+ ??

?， ∴当4sin 14π??+

= ???x 时，即242πππ+=+x k 则2()4ππ=+∈x k k Z

，max ()g x = ∴ 当2(),()4∣ππ?

?=+∈????

x x k k Z g x

. 21．（1）

；（2）47+-

. 【解析】 试题分析：（1）根据所给的点的坐标写出要用的向量的坐标，因为向量的模长是已知数值，代入坐标进行运算，得到关于角的关系式，结合同角的三角函数的关系，得到角

的值，

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答案第10页，总12页

从而得到向量夹角的值；（2）根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件，写出角的三角函数式之间的关系，通过三角变换得到要求的角的余弦值，本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理． 试题解析：（1）

，

，，

又

，

即

又,

与

的夹角为.

（2）

，

，

,

,

①，

，,又由

，,

② 由①、②得

，

从而

.

考点：（1）向量的模；（2）数量积表示两个向量的夹角；（3）数量积判断两个向量的垂直关系.

【方法点晴】本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量垂直的充要条件为条件，得到三角函数的

关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现，也可以以解答题形式出现．熟练应用向量加法及模长的运算公式，是解决第一问的保障，向量夹角的定义是根本；利用整体代换思想是第二问的主线，求出及

，再求出正弦和余弦，最

后得解. 22．（Ⅰ）；（Ⅱ）84(0,4),,55??

???

；（Ⅲ）AB 有最小值

【解析】 【详解】

试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点P (,)x y 是直线l ：

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答案第11页，总12页 20x y -=上的一动点，得2x y =，由切线PA

的长度为

=168(0,0)(,)55

P P 或（Ⅱ）设P （2b,b ），先确定圆N 的方程：因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424

b b b x b y +-+??-+-= ???，再按b 整理：()22(24)40x y b x y y +--+-=由22240{40x y x y y +-=+-=解得0{4x y ==或8

5{45

x y ==，所以圆过定点84(0,4),,55?? ???（Ⅲ）先确定直线AB 方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆N 方程为

()()2

22244424b b b x b y +-+??-+-= ???及 圆M ：()2244x y +-=，相减消去x,y 平方项得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-

=，相交弦长即：

AB ===45b

=时，AB 有最小

试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M 的半径r ＝2，设P （2b,b ），

因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°

, 所以MP ＝()()

22220244b b AM AP -+-=+=，解得 所以168(0,0)(

,)55P P 或4分 （Ⅱ）设P （2b ，b ），因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，

其方程为：()()2

22244424b b b x b y +-+??-+-= ??? 即()

22(24)40x y b x y y +--+-= 由22240{40

x y x y y +-=+-=， 7分

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本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第12页，总12页 解得0{4x y ==或8

5{45x y =

=，所以圆过定点84(0,4),,55?? ???9分 （Ⅲ）因为圆N 方程为()()2222

44424b b b x b y +-+??-+-= ???

即222(4)40x y bx b y b +--++=①

圆M ：()2

244x y +-=，即228120x y y +-+=② ②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为： 2(4)1240bx b y b +-+-=11分

点M 到直线AB

的距离d =

13分

相交弦长即：

AB ===当45

b =时，AB

16分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程

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