湖北省孝感市汉川市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年湖北省孝感市汉川市高二（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．在下列各数中，最大的数是（ ） A．85（9） B．210（5） C．68（8）

2．已知x与y之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 D．11111（2）

则y与x的线性回归方程=bx+必过点（ ）

A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）

3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）

A．25

B．30

C．31

2

D．61

4．已知集合A={x|x﹣x﹣2＜0}，则x∈A∩B的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，

5．某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

A B C 产品类别 2300 产品数量（件） 230 样本容量（件） 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本

容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（ ） A．80 B．800 C．90 D．900 6．在区域

内任意取一点P（x，y），则点P到原点距离小于1的概率是（ ）

第1页（共20页）

A．0 B．﹣ C． D．1﹣

7．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法： ①中位数为84； ②众数为85；

③平均数为85； ④极差为12．

其中，正确说法的序号是（ ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①③

8．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A．

9．设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a（），i=1，2，3，则实数a的值为（ ） A．1

10．如图给出的是计算1++++的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是（ ）

B．

C．

D．

i

B． C． D．1

第2页（共20页）

A．n=n+2，i＞5？

2

B．n=n+2，i=5？ C．n=n+1，i=5？ D．n=n+1，i＞5？

5

11．若（x+a）（﹣1）的展开式中常数项为﹣1，则的值a为（ ） A．1

B．8

C．﹣1或﹣9 D．1或9

12．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（ ）

A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．） 13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是 ．

14．已知P是△ABC所在平面内一点，则黄豆落在△PBC内的概率是 ．

15．设随机变量X～B（2，p），Y～B（3，P），若P（X≥1）=

，则P（Y=1）= ． ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，

16．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育排在下午（后2节），不同的排法种数是 ．

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：

（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；

（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率； （Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率．

18．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

第3页（共20页）

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 19．已知

=40

，设f（x）=（x﹣

）．

n

（1）求n的值；

（2）f（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）； （3）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

20．已知关于x的二次函数f（x）=ax﹣4bx+1．

（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

2

（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是

增函数的概率．

21．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望． 22．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x0＜x＜1 1＜x≤2 x＞2 0＜x＞2 x≤2 （年） 轿车数量（辆） 每辆利润（万元）

2 1 第4页（共20页）

3 2 45 3 5 45 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； （Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

第5页（共20页）

2015-2016学年湖北省孝感市汉川市高二（上）期末数学

试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．在下列各数中，最大的数是（ ）

A．85（9） B．210（5） C．68（8） D．11111（2） 【考点】进位制．

【专题】算法和程序框图．

【分析】欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．

【解答】解：85（9）=8×9+5=77；

2

210（5）=2×5+1×5=55； 68（8）=6×8+8=56；

43210

11111（2）=2+2+2+2+2=31． 故85（9）最大， 故选：A．

【点评】本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．

2．已知x与y之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程=bx+必过点（ ）

A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2） 【考点】线性回归方程．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．

【解答】解：由题意，=（0+1+2+3）=1.5，=（1+3+5+7）=4

∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4） 故选：B．

【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点．

3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）

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A．25 B．30 C．31 D．61 【考点】伪代码．

【专题】算法和程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作

用是计算并输出分段函数 y=

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=

的函数值．

的函数值．

当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31， 故选：C．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

4．已知集合A={x|x﹣x﹣2＜0}，则x∈A∩B的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2

，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，

【考点】几何概型；交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法． 【专题】概率与统计．

【分析】分布求解二次不等式及分式不等式可求集合A，B，进而可求A∩B，由几何概率的求解公式即可求解．

【解答】解：∵A={x|x﹣x﹣2＜0}=（﹣1，2），

=（﹣2，1），

所以A∩B={x|﹣1＜x＜1}，所以在区间（﹣3，3）上任取一实数x， 则“x∈A∩B”的概率为

，

2

故选A． 【点评】本题主要考查了二次不等式、分式不等式的求解及与区间长度有关的几何概率的求解，属于知识的简单应用

第7页（共20页）

5．某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

A B C 产品类别 2300 产品数量（件） 230 样本容量（件） 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本

容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（ ） A．80 B．800 C．90 D．900 【考点】分层抽样方法．

【分析】在分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，由B产品知比为，A产品的样本

容量比C产品的样本容量多10，得C产品的样本容量为80，算出C产品的样本容量，根据每个个体被抽到的概率，算出产品数． 【解答】解：∵分层抽样是按比抽取， 由B产品知比为

=

，共抽取样本容量是4000×

=400，

A产品容量比C产品的样本容量多10，400﹣230﹣2x﹣10=0 ∴得C产品的样本容量为80， ∴C产品共有80

=800，

故选B．

【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一． 6．在区域A．0

B．

﹣

内任意取一点P（x，y），则点P到原点距离小于1的概率是（ ） C．

D．1﹣

【考点】几何概型．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】首先根据题意，做出图象，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，易得其面积，x+y＜1

，

2

2

表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积由几何概型的计算公式，可得答案．

【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；

2

2

点P到原点距离小于1，即x+y＜1表示圆心在原点，半径为1的圆的内部，在正方形OABC的内部的面积为

，

第8页（共20页）

由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是故选：C．

22

．

【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

7．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法： ①中位数为84； ②众数为85；

③平均数为85； ④极差为12．

其中，正确说法的序号是（ ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【考点】茎叶图．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．

【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是∴①是正确的；

众数是83，②是不正确的；

=85，∴③是正确的．

极差是91﹣78=13，④不正确的． 故选D．

【点评】本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．

=84，

第9页（共20页）

8．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．1

【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计．

【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．

【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有∴基本事件总数为105；

设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A； 则A包含的基本事件个数为∴P（A）=

．

=50；

；

故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．

9．设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a（），i=1，2，3，则实数a的值为（ ） A．1

B．

C．

D．

i

【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】由已知条件组合随机变量ξ的分布列得实数a的值．

【解答】解：∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a?（），i=1，2，3， ∴解得a=

．

=1，

i

=1，由此能求出

故选：D．

【点评】本题考查实数值的求法，是基本题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．

10．如图给出的是计算1++++的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是（ ）

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（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G，用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的抽法有10种，由此求得所求事件的概率．

【解答】解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量

，

，

x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e， 分数在[90，100）有2人，分别记为F，G． 从竞赛成绩是8以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；

其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G）， （c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个， 所以抽取的2名同学来自不同组的概率

．

【点评】本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，属于中档题． 19．已知

=40

，设f（x）=（x﹣

）．

n

（1）求n的值；

（2）f（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）； （3）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项． 【考点】二项式定理的应用． 【专题】二项式定理．

【分析】（1）直接由已知=40

7

，利用排列数公式、组合数公式求得 n的值．

（2）根据f（x）=（x﹣得出结论．

）的展开式的通项公式，可得r=0，3，6 时为有理项，从而

（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为 和系数最小的项． 【解答】解：（1）由已知=40?

7

?（﹣1），可得展开式中系数最大的项

r

=40，可得n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）

，求得 n=7．

r

（2）f（x）=（x﹣

）的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）?，

令7﹣为整数，可得r=0，3，6，故第一项、第4项、第7项为有理项．

第16页（共20页）

（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为 ?（﹣1），故当r=4时，即第五项的系

r

数最大；故当r=3时，即第4项的系数最小．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

20．已知关于x的二次函数f（x）=ax﹣4bx+1．

（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

2

（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是

增函数的概率．

【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且 而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．

≤1的取法共有16种，

（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件

的区域的面积为S△POM=×8×=

，故所求的事件的概率为 P=，运算求得结果．

【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即

a＞0且2b≤a．

（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个， 所以，所求概率

．…

（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．

由，求得

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所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．

所以，所求概率．

【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．

21．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；

（Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等

价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选

代表队的概率为：1﹣=；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数， 则X的可能取值为：1，2，3， P（X=1）=

=，

P（X=2）==，

P（X=3）=X的分布列： X P =．

1 =2．

2 3 和数学期望EX=1×

第18页（共20页）

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力． 22．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 首次出现故障时间x（年） 轿车数量（辆） 每辆利润（万元） 甲 0＜x＜1 2 1 乙 1＜x≤2 3 2 x＞2 0＜x＞2 x≤2 45 3 5 45 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； （Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列． 【专题】计算题． 【分析】（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；

（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；

（III）由（II），计算期为E（X1）=1×=1.8×

+2.9×

+2×+3×

=2.86（万元 ），E（X2）

=2.79（万元 ），比较期望可得结论．

【解答】解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=（II）依题意得，X1的分布列为 1 X1 P X2的分布列为 X2 P （III）由（II）得E（X1）=1×E（X2）=1.8×

+2.9×

1.8 +2×

+3×

=2.86（万元 ）

2.9 2 3 =2.79（万元 ）

∵E（X1）＞E（X2）， ∴应生产甲品牌轿车．

【点评】本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求出概率，属于基础题．

第19页（共20页）

2016年2月27日

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