湘大加强版高数第一单元课后习题答案

1. 设商品的销售量Q (件)与单价P (元/件)的函数关系为Q?a?C (a,b,c均为正数P?b且a>bc),问(1) 单价为多少时,销售额最大,是多少?(2)单价在何范围变化,销售额随之增或减?

解 (1)销售额R?QP?(aaaP?C)P,求导得R??.令R??0,得驻点?C?2P?bP?b(P?b)abab ，P??bP???b (舍去),则销售额R?a?2abc?bc?12cc(2)因在驻点P??a?bc.

?2abab?b销售额为最大值,则当0?P??b时,销售额随着价格的增加ccab?b时,销售额随着价格的增加而减少. c而增加;当P?2.设某商品的销售量x与价格P之间的函数关系为P?7?0.2x (万元/吨),成本函数为C?3x?1 (万元),求(1)若每销售一吨商品需交税t(万元),求销售量为多少时,可使商家获利最大?(2)当t为何值时,税收总额最大? 解 (1)利润为销售收入减去成本以及税金, 即L?R?C?T?xP?(3x?1)?tx

?7x?0.2x2?(3x?1)?tx?(4?t)x?0.2x2?1,

求导得L??4?t?0.4x,令L??0,得x?10?55t,则当销售量为10?t吨时,利润最大. 22(2)此时,在利润最大的情况下要使税收总额最大,就必须让税收函数T?tx?t?10???5?t?取2?最大值,对税收函数求导得T??10?5t,令T??0,即得t?2.则当t?2(万元)时,税收总额达到最大.

3.求f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2在区域D?2??fx?3x?8x?2y?0解 解方程组?

??fy?2x?2y?0??x,y?|?1?x?4,?1?y?1?上的最大值.

得区域内部的驻点为?0,0?,且f(0,0)?0.

在边界?(x,y)|x??1,?1?y?1?上,可求f(x,y)在条件x??1??1?y?1?下的可能

2极值点.为此,将x??1代入函数f(x,y)可得f(?1,y)??1?4?2y?y,

求这个函数的驻点,即令f?(?1,y)??2?2y?0,得y??1,由于f??(?1,?1)??2?0,所以

(?1,?1)是函数f(x,y)在条件x??1??1?y?1?下的一个极大值,且f(?1,?1)?4

在边界?(x,y)|x?4,?1?y?1?上,可求f(x,y)在条件x?4??1?y?1?下的可能极值点.将x?4代入f(x,y)可得

f(4,y)?64?4?16?8y?y2?8y?y2,

求这个函数的驻点,即令f?(4,y)?8?2y?0,得y?4,由于f??(4,4)??2?0,可知(4,4)应为函数极大值点,但由于y的取值范围限制在?1?y?1,所以点(4,1)是函数在条件

x?4??1?y?1?下能取到最大的数值的边界点,且f(4,1)?7.

在边界?(x,y)|y??1,?1?x?4?上,可求函数f(x,y)在条件y??1??1?x?4?下的可能极值点.将y??1代入f(x,y)可得f(x,?1)?x3?4x2?2x?1,求这个函数的驻点,即令f?(x,?1)?3x2?8x?2?0,得x1?4?224?22,x2?, 33由于f??(4?224?22,?1)?222?0,可知(,?1)是函数的极小值; 33而f??(4?224?22,?1)??222?0,可知(,?1)是函数的极大值, 33且f(4?22,?1)??0.764 . 3在边界?(x,y)|y?1,?1?x?4?上,可求函数f(x,y)在条件y?1??1?x?4?下的可

32能极值点.将y?1代入f(x,y)可得f(x,1)?x?4x?2x?1,

求这个函数的驻点,即令f?(x,1)?3x?8x?2?0,得x1?24?104?10,x2?, 33由于f??(4?104?10,1)?210?0,可知(,1)是函数的极小值; 33而f??(4?104?10,1)??210?0,可知(,1)是函数的极大值, 33且f(4?10,1)??0.732 . 3综合上述各极大值,可知函数f(x,y)在区域D?值为f(4,1)?7.

??x,y?|?1?x?4,?1?y?1?上的最大

4.求由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10?0确定的函数z?f(x,y)的极值.

??2x?2z?zx?2?4zx?0解 将方程两边分别对x,y求导,得?

2y?2z?z?2?4z?0?yy?令偏导数zx?0, zy?0,可得到函数的驻点为?1,?1?,将?1,?1?代入方程,得z1??2,

zx?zy1?z2y1?zx2,zxy?,zyy?.由z2?6.对上述方程组再次分别对x,y求偏导,得zxx?2?z2?z2?z于在驻点?1,?1?处, A?1112?0,则在驻点,B?0,C?且AC?B?2?z2?z(2?z)2?1,?1?处f(x,y)有极值.

11??0,故在驻点?1,?1?处, z1??2为极小值. 2?z411???0,故在驻点?1,?1?处, z2?6为极大值. 将z2?6代入A中,得A?2?z4将z1??2代入A中,得A?2225.求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0确定的函数z?f(x,y)的极值.

??4x?2z?zx?8z?8x?zx?zx?0解 将方程两边分别对x,y求偏导,得?

4y?2z?z?8x?z?z?0?yyy?令偏导数zx?0,zy?0,并结合方程,可得到函数的驻点为(?2,0),??16?,0?,并且7??8z1?1,z2??.对上述方程再次分别对x,y求偏导,

72zxzy?8zy4?2z2y4?16zx?2z2x得zxx?,zxy?,zyy?.

1?8x?2z1?8x?2z1?8x?2z由于在驻点(?2,0)处, A?442,B?0,C?,并且AC?B?0,A?0,那么在驻点151544?16?(?2,0)处f(x,y)有极小值z1?1.由于在驻点?,0?处, A??,B?0，C??, 且

1515?7?8?16?AC?B2?0,A?0则在驻点?,0?处有极大值z2??

7?7?yy6.证明函数f(x,y)?1?ecosx?ye有无穷多个极大值,无极小值.

??y??fx??sinx(1?e)?0证 解方程组? yyyf?ecosx?e?ye?0??y得驻点?2k?,0??2k?1??,?2,k?Z.由k的任意性,可知驻点有无穷多个.因为

??fxx??cosx(1?ey),fxy??sinxey,fyy?eycosx?2ey?yey在驻点?2k?,0?,k?Z处,

A??2,B?0,C??1并且AC?B2?0,A?0那么在驻点?2k?,0?,k?Z处f(x,y)有

极大值z?2. 在驻点

??2k?1??,?2?,k?Z处,

A?1?e?2, B?0 ,C??e?2且AC?B2?0,则驻点

?2k?,0?,k?Z不是f(x,y)的极值点.

yy故函数f(x,y)?1?ecosx?ye有无穷多个极大值,无极小值.

??A组

3.已知函数y?3x3?a2x?4在x??1处取得极大值,求a及函数的极值. 解 函数y在???,???内连续, y??9x?a,令y??0,得函数的驻点?22a. 3由题意知a??3.在???,?1?内y??0;在(?1,1)内y??0;在(?1,??)内y??0.故x??1是函数的极大值点,且极大值y(?1)?2;x?1是函数的极小值点,且极小值y(1)??10. 7.某场生产一产品,需要的固定成本是2万元,每生产1百台产品,成本增加1万元,市场每年的

12??4x?x,0?x?4需求量是4百台,并且销售收入与产量x的函数关系为R(x)?? 2??8,x?4问年产量多少时,可使得平均利润最大?

解 由于销售收入为产量的分段函数,因此应该按不同产量的情况来分别讨论平均利润. 当0?x?4时,利润函数为

121x?(2?1?x)?3x?x2?2, 2212对该函数求导得L?(x)?3?x,平均利润为L(x)?3?x?.要是得平均利润最大,只需

2xL(x)?R(x)?C(x)?4x?L?(x)?L(x)即可,从而有x?2,x??2(舍去).

当x?4时,利润函数为L(x)?R(x)?C(x)?8?(2?1?x)?6?x,求导得L?(x)??1,平均

6?1.因L?(x)?0,故利润和平均利润随着x的增加而减少. x61因此,当x?4时,最大的平均利润为L(4)??1?;

42122??1. 当0?x?4时,最大的平均利润为L(2)?3??22利润L(x)?因此当年产量为2百台时,可是得平均利润最大.

9.将一个正数拆成三个正数之和,当乘积最大时求此三个数.

解 设正数为N,将N拆成三个正数分别为x,y,z,即N?x?y?z,x?0,y?0,z?0,于是乘积P?xyz?xy(N?x?y)?Nxy?x2y?xy2,

?Px?yN?2xy?y2?0?2要求乘积P最大.解方程组?Py?Nx?x?2xy?0

??N?x?y?z得到唯一驻点??NNN?,,?.故当三个数相等时乘积最大. 333??13,生产成本C元与两种型号的机器产量x1,x2台的函数关系为C?6x12?3x22,若限制产量18台,求两种机器各生产多少台时才能使成本最低?

解 所求问题为在产量Q?x1?x2?18的条件下,生产成本C?6x12?3x22的最小值.构造拉

?Lx1?12x1???0?格朗日函数L(x1,x2)?6x12?3x22??(x1?x2),解方程组?Lx2?6x2???0

??x1?x2?18得到唯一驻点?6,12?,即当x1?6,x2?12时能使成本最低.

15.抛物面z?x?y被平面x?y?z?1截成以椭圆,求原点到这个椭圆的最长与最短距离.

解 所求问题为在x?y?z?1和z?x?y的两个条件下,所截得的椭圆上的点与原点之间距离的最大值与最小值.

构造拉格朗日函数L(x,y)?x?y?z??(1?x?y?z)??(x?y?z),

222222222?Lx?2x???2?x?0?L?2y???2?y?0?y?解方程组?Lz?2z?????0

?22x?y?z?0???x?y?z?1得到两个驻点(?1?3?1?3?1?3?1?3,,2?3)与(,,2?3),则最大距离与最22小距离分别为9?53,9?53. 22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t11v.html