【配套】2014届《创新设计&183;高考总复习》限时训练 北师大版(理) Word版含答案 第九篇 第2讲 圆与圆的方程

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第2讲 圆与圆的方程

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )． A．－1

B．1

C．3

D．－3

解析 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B

2．(2013·上饶质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ( )． A．原点在圆上 C．原点在圆内

B．原点在圆外 D．不确定

解析 将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外． 答案 B

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．

A．(x－2)2＋y2＝5

B．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5

解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5. 答案 D

4．(2013·汉中模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点

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P的轨迹方程为 ( )． A．x2＋y2＝32

B．x2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16

C．(x－1)2＋y2＝16

解析 设P(x，y)，则由题意可得：2 x－2 ＋y＝ x－8 ＋y，化简整理得x2＋y2＝16，故选B. 答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．

解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为 4－3 ＋ 2－1 ＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.

答案 (x－2)2＋(y－4)2＝2

6．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．

解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距|1－1＋4|离减去半径，即2＝2.

2答案

2

三、解答题(共25分)

7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

解 (1)法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， b＝－4a， 3－a 2＋ －2－b 2＝r2，则有

|a＋b－1| 2r，解得a＝1，b＝－4，r＝2. ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

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法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

∴半径r 1－3 ＋ －4＋2 ＝22， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(2)法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

1＋144＋D＋12E＋F＝0，则 49＋100＋7D＋10E＋F＝0， 81＋4－9D＋2E＋F＝0.

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二 由A(1,12)，B(7,10)，

1

得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－3， 则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0. 3x－y－1＝0， x＝1，联立 得

x＋y－3＝0y＝2，

即圆心坐标为(1,2)，半径r＝ 1－1 ＋ 2－12 ＝10. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.

8．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．

解 (1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. 又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a＋1)2＋b2＝40，

②

①

a＝－3， a＝5，

由①②解得或 b＝6 b＝－2.

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∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·榆林调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 ( )． A．8

B．－4

C．6

D．无法确定

解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心m m

－20 ，即－＋3＝0，∴m＝6.

2 答案 C

1

2．圆心为C －23 的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原

→·→＝0，则圆C的方程为

点，且满足OPOQ( )．

5 1

A. x－2 2＋(y－3)2＝2 25 1C. x＋22＋(y－3)24

5 1B. x－22＋(y＋3)2＝2 25 1D. x＋22＋(y＋3)2＝4

1

解析 法一 ∵圆心为C －2，3 ，

1∴设圆的方程为 x＋22＋(y－3)2＝r2.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0， 10－4r2

∴x1＋x2＝－2，x1x2＝5→·→＝0，得xx＋yy＝0，即： 由OPOQ121253910－4r15x－x＋x)＋

4124124440，

2

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25

解得r＝4，经检验满足判别式Δ>0.

2

25 1故圆C的方程为 x＋22＋(y－3)2＝4 1

法二 ∵圆心为C －2，3 ，

1∴设圆的方程为 x＋22＋(y－3)2＝r2，

1 2

在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即 x＋2 ＋(y－3)2

25

＝4C. 答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

x≥0，

3．已知平面区域 y≥0，

x＋2y－4≤0

恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2

及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．

解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角|PQ|

三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为25，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5

4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．

222

解析 设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y0＋(x0－1)2＋y20＝2(x0＋y0)＋2，欲求2d的最值，只需求u＝x20＋y0的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最

值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题(共25分)

5．(12分)(2013·大连模拟)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x

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＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

222

根据题意得： －1－a ＋ 1－b ＝r，

a＋b－2＝0，

解得a＝b＝1，r＝2，

1－a 2＋ －1－b 2＝r2，

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)因为四边形PAMB的面积

11

S＝S△PAM＋S△PBM＝2|AM|·|PA|＋2|BM|·|PB|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|， 而|PA|＝|PM|－|AM||PM|－4， 即S＝|PM|－4.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小， |3×1＋4×1＋8|所以|PM|min＝3，

3＋4所以四边形PAMB面积的最小值为

S＝2|PM|min－4＝23－4＝5.

6．(13分)(2013·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称． (1)求圆C的方程；

→·→的最小值． (2)设Q为圆C上的一个动点，求PQMQ

a－2b－2

222＝0，

(1)设圆心C(a，b)，则 b＋2

a＋21，

解

a＝0，

解得

b＝0，

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则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2， 故圆C的方程为x2＋y2＝2.

→·→＝(x－1，y－1)·

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQMQ(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 令x2cos θ，y＝2sin θ，

→·→＝x＋y－22(sin θ＋cos θ)－2 ∴PQMQ π＝2sin θ＋4－2，

→·→的最小值为－4.

所以PQMQ

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