二次函数2015年中考试题汇编

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二次函数

一.选择题

1.（2015?山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示，

则一次函数的图象不经过( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象

2．（2015·湖南省益阳市，第8题5分）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则

m 的取值范围为（ ）

A ． m ＞1

B ． m ＞0

C ． m ＞﹣1

D ． ﹣1＜m ＜0

3．(2015?江苏苏州,第8题3分)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为

A ．120,4x x ==

B ．121,5x x ==

C ．121,5x x ==-

D ．121,5x x =-=

4．（2015?广东梅州,第10题4分）对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22

+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两

个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

5. （2015?四川乐山,第6题3分）二次函数的最大值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

6.（2015湖北荆州第4题3分）将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）

A ． y =（

x ﹣1）2+4

B ．

y =（x

﹣4）2+4

C ． y =（x +2）2+6 D

． y =（x ﹣4）2+6

7.（2015?福建泉州第7题

3分）在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8. （2015?四川乐山,第9题3分）已知二次函数

的图象如图所示，记

，

．则下列选项正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．m 、n 的大小关系不能确定

9. （2015?浙江嘉兴，第10题4分）如图，抛物线y =－x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x >0时，y >0；②若a =－1，则

b

=4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m =2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（▲）

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（A ）①

（B ）②

（C ）③

（D ）④

10. （2015?浙江宁波，第11题4分）二次函数)0(4)4(2≠--=a x a y 的图象在2

A . 1

B . －1

C . 2

D . －2

11. （2015?四川凉山州,第12题4分）二次函数（）的图象如图所示，下列说法：

①

，②当

时，，③若（，

）、（

，）在函数图象上，当时，

，④，其中正确的是（ ）

A ．①②④

B ．①④

C ．①②③

D ．③④

12．(2015·贵州六盘水，第10题3分)如图5，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ）

A ．60m 2

B ．63m 2[

C ．64m 2

D ．66m 2

13.（2015?山东临沂,第13题3分）要将抛物线平移后得到抛物线

，下列平

移方法正确的是（ ）

(A ) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B ) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位.

(C ) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D ) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位.

14．（2015?山东日照 ，第12题4分）如图是抛物线y 1=ax 2

+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B

两点，下列结论：

①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2

+bx +c =3有两个相等的实数根；④

抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ）

A ．

①②③ B ．

①③④ C ． ①③⑤ D ． ②④⑤

15．（2015·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）

A ． x =4

B ． x =﹣4

C ． x =2

D ．

x =﹣2

16．（2015?四川广安，第10题3分）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （c ≠0）过

点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a +b +c ，则P 的取值范围是（ ）

A ． ﹣3＜P ＜﹣1

B ． ﹣6＜P ＜0

C ． ﹣3＜P ＜0

D ． ﹣6＜P ＜﹣3

17．（2015·山东潍坊第12 题3分）已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣10），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac =0；③a ＞2；④4a ﹣2b +c ＞0．其中

正确结论的个数是（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

18．（2015·山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处

分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个

无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）

A ． cm 2

B ．

cm 2 C ．

cm 2 D ．

cm 2

19．（2015?安徽省,第10题，4分）如图，一次函数y 1＝x 与二次

函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2

＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（

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20．（2015?山东日照 ，第12题4分）如图是抛物线y 1=ax 2

+bx +c （a ≠0）

图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，

其中正确的是（ ）

A ． ①②③

B ． ①③④

C ． ①③⑤

D ． ②④⑤ 21．（2015·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）

A ． x =4

B ． x =﹣4

C ． x =2

D ． x =﹣2

22．（2015?四川广安，第10题3分）如图，抛物线y =ax 2

+bx +c （c ≠0）过点

（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a +b +c ，则P 的取值范围是（ ）

A ． ﹣3＜P ＜﹣1

B ． ﹣6＜P ＜0

C ． ﹣3＜P ＜0

D ． ﹣6＜P ＜﹣3

23．（2015·山东潍坊第12 题3分）已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图

所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac =0；③a ＞2；④

4a ﹣2b +

c ＞

0．其中

正确结论的个数是（ ）

A ． 1

B ．

2

C ． 3

D ． 4

24．（2015·山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）

A ． cm 2

B ．

cm 2 C ． cm 2 D ．

cm 2 二 填空题

1.（2015?山东临沂,第19题3分）定义：给定关于x 的函数y ，

对于该函数图象上任意两点（x 1，

y 1），（x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，都有y 1﹤y 2，称该函数为增函数. 根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有______________（填上所有正确答案的序号）.

① y = 2x ； ② y =x ＋1； ③ y = x 2

(

x ＞0)； ④ .

2.（2015上海,第12题4分）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________．

3. （2015?浙江衢州,第16题4分）如图，已知直线分别交

轴、轴于点

、，是抛物线

上的一个动点，

其横坐标为，过点

且平行于

轴的直线交直线

于点，则当

时，的值是 ▲ .

4. （2015?浙江湖州，第15题4分）如图，已知抛物线C 1：y =a 1x 2+b 1x +c 1和C 2：y =a 2x 2+b 2x +c 2都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和

_________________________

5．（2015?四川资阳,第16题3分）已知抛物线p ：

y =

ax 2+bx

+c 的顶点为

C ，与

x 轴相交于

A 、

B 两点（点A 在点B 左侧），点

C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点

且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的

“

梦

之星”

直线．若一条抛物线的

“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2

＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，

A ．

B ．

C ．

D ．

第10题图

则这条抛物线的解析式为_____________________．

6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）

①b＞0

②a﹣b+c＜0

③阴影部分的面积为4

④若c=﹣1，则b2=4A．

7.（2015湖南邵阳第18题3分）抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是．

8. （2015山东菏泽，14，3分）二次函数的图象如图，点O

为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在二次函数的

图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积

为．

9. （2015?四川眉山，第17题3分）将二次函数y=x2的图象沿x轴向左

平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为．

10. （2015?四川乐山,第16题3分）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标

为；

（2）若点P 在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是．

三.解答题1. ．（2015山东菏泽，21，8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当次方程有一根为零时，直线与关于x的二

次函数的图象交于A、B两点，若M是线

段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图

象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；

（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折

到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原

图象x轴上方的部分组成一个“W”

形状的新图象，若直线

与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

2. （2015呼和浩特，25，12分）(12分)已知：抛物线y = x2+(2m－1)x + m2－1经过坐标原点，且当x < 0时，y随x的增大而减小.

(1)求抛物线的解析式，并写出y< 0时，对应x的取值范围;

(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D 再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.

①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长;

②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a

判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由.

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3. （2015山东省德州市，24，12分）已知抛物线y =－mx 2+4x +2m 与x 轴交于点A (α,0), B (β,0),

且.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的对称轴为l ，与y 轴的交点为C ，顶点为D ，点C 关于l 的对称点为E . 是否存在x 轴上的点M 、y 轴上的点N ，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

(3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标.

4. （2015山东济宁，22，11分） (本题满分11分)

如

图，⊙E 的圆心E (3，0)，半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，与x

轴的正半轴相交于点C ；直线l 的解析式为y ＝x ＋4，与x 轴相交于点D ；以C 为顶点的抛物线经过点B .

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；

(3) 动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时，求出点P 的坐标及最小距离.

5．（2015?广东梅州,第21题，9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件）

200

180

160

140

… 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元．

（1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

6．（2015?安徽省,第22题，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2

．

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；

(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

第22题图

7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4A C．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5

4，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

8. （2015?四川乐山,第26题13分）如图1，二次函数的图象与轴分别交于A、B两点，与轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程的两根为－8、2．

（1）求二次函数的解析式；（2）直线绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，与线段BC交于点D，P是AD 的中点．

①求点P的运动路程；

②如图2，过点D作DE垂直轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连结，求△PEF周长的最小值．

10. （2015?四川眉山，第26题11分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，

0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．

（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）若动点P满足∠P AO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范

围；

（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：

是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

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11. （2015?四川乐山,第23题10分）如图1，四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，

tanA =．

（1）求CD 边的长；

（2）如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q （点Q 运动到点B 停止），设DP =x ，四边形PQCD 的面积为，求

与的函数关系式，并求出自变量的取值

范围．

12. （2015?四川广安，第26题10分）如图，边长为1的正方形ABCD 一边AD 在x 负半轴上，直线l ：y =x +2经过点B （x ，1）与x 轴，y 轴分别交于点H ，F ，抛物线y =﹣x 2

+bx +c 顶点E 在

直线l 上．

（1）求A ，

D 两点的坐标及抛物线经过A ，D 两点时的解析式；

（2）当抛物线的顶点E （m ，n ）在直线l 上运动时，连接EA ，ED ，试求△EAD 的面积S 与m 之间的函数解析式，并写出m 的取值范围；

（3）设抛物线与y 轴交于G 点，当抛物线顶点E 在直线l 上运动时，以A ，C ，E ，G 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E 点坐标；若不能，请说明理由．

13. （2015·四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y =ax 2

﹣5ax +2（a ≠0）与y 轴交

于点C ，与x 轴交于点A （1，0）和点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC 的解析式；

（3）若点N 是抛物线上的动点，过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，

以B ，N ，H 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．

14. （2015?山东潍坊第24 题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =mx 2﹣8mx +4m +2（m ＞2）与y 轴的交点为A ，与x 轴的交点分别为B （x 1，0），C （x 2，0），且x 2﹣x 1=4，直线AD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E （t ，0）过点E 作平行于y 轴的直线l

与抛物线、直线AD 的交点分别为P 、Q ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t ≤8时，求△APC 面积的最大值；

（3）当t ＞2时，是否存在点P ，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

15．（2015?山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E （5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接P A，PC，当P A=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

16．（2015?山东日照，第22题14分）如图，抛物线y =x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B 两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y 轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA 以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

17.（2015?江苏泰州,第22题10分）已知二次函数的图像经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线。

（1）求、的值

（2）如图，一次函数的图像经过点，与轴相交于

点，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P

的右侧，

，求一次函数的表达式。

18.（2015?江苏泰州,第25题12分）如图，正方形ABCD的边长

为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且

AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；

（3）求四边形EFGH面积的最小值。

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19. （2015?浙江湖州，第24题12分）在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端

点A (0，2)，B (1，0)分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B

按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y =ax 2

+

bx +c (a ≠0)经过点D .

①求点D 的坐标及该抛物线的解析式.

②连结CD ，问：在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由.

(2)如图2，若该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点E (1，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.

20．(2015江苏南京,第27题10分)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价

（单位：

元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系． (1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2）求线段AB 所表示的

与x 之间的函数表达式；

(3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

\

21．(2015江苏苏州,第27题10分)如图，已知二次函数()2

1y x m x m =+--(其中0＜m ＜1)

的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =P C ．

(1)

∠ABC

的度数为 ▲ °；

(2)求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；

(3)在坐标轴上是否存在点Q (与原点O 不重合)，使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理

由．

22．(2015江苏无锡,第27题10分)一次函数y =x

的图象如图所示，它与二次函数y =ax 2﹣4ax +c 的图象交于A 、B 两点（其点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．

(1）求点C 的坐标

(2）设二次函数图象的顶点为D ．

①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD =AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．

23. （2015?浙江嘉兴，第23题12分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第X 天

生产的粽子数量为y 只，

y 与x 满足如下关系：（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画.若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价－成本）

y x

O P

C

B

A l （第27题）

24.某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元．电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度；月用电量不超过4万度时，单价都是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y与月用电量x的函数关系可以用如图来表示．（效益＝产值－用电量×电价）；

（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电

量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取

值范围；

（2）求工厂最大月效益．

25. （2015?四川南充,第25题10分）已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相

交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M

（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当

最小

时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．26. （2015?浙江滨州,第22题10分）一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件.为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x

并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？

27.根据下列要求,解答相关问题.

（1）请补全以下求不等式的解集的过程.

①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中(见图1)画出二次函数的图象（只画出图象即可）.

②求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程的解为；并用锯齿线标示出函数图象中y≥0的部分.

③借助图象,写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为. （2）利用（1）中求不等式解集的步骤,求不等式的解集.

①构造函数，画出图象：

②求得界点，标示所需：

③借助图像，写出解集：

（3）参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的

求根公式，直接写出关于x 的不等式

的解集.

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27. （2015?浙江宁波，第23题10分）已知抛物线)()(2m x m x y ---=，其中m 是常数（1）

求证：(1)不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线2

5

=

x ， ①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y

轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？ 28. （2015?浙江宁波，第24题10分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形。记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数.

（1）在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；

（2）利用（1）中的格点多边形确定m ，n 的值.

29.（2015?江苏徐州,第28题12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接AB 并延长至C ，使BC =AB ，过C 作CD ⊥x 轴于点D ，交线段OB 于点E ，已知CD =8，抛物线经过O 、E 、A 三点． （1）∠OBA = °． （2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、

O 、A 、E 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？

30. （2015?绵阳第24题，12分）已知抛物线y =﹣x 2﹣2x +a （a ≠0）与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y =x ﹣a 分别与x 轴、y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线MA 相交于N 点． （1）若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求

a 的取值范围，并用a 表示交点M ，A 的坐标 （2）将△NAC 沿着y 轴翻转，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积；

（3）在抛物线y =﹣x 2

﹣2x +a （a ＞0）上是否存在点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

31. （2015?四川省内江市，第28题，12分）如图，抛物线与x 轴交于点A （﹣，0）、点B （2，

0），与y 轴交于点C （0，1），连接B C ． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）点N 为抛物线上的一个动点，过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，设点N 的横坐标为t （﹣＜t ＜2），求△ABN 的面积S 与t 的函数关系式；

（3）若﹣＜t ＜2且t ≠0时△OPN ∽△COB ，求点N 的坐标．

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32.如图，抛物线y= –1

2x 2+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P .

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H

①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标； ②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

33. （2015?浙江省台州市，第20题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y （m ）与旋转时间x （min ）之间的关系如图2所示 （1）根据图2填表：

x （min ） 0 3 6 8 12 … y （m ）

… （2）变量y 是x 的函数吗？为什么？

（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径

34.（2015?山东东营,第25题13分）如图，抛物线经过A （），B （），C （

）三

点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标； （3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H 满足？若存在，请求

出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．

35．（2015?广东梅州,第22题9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件）

100 110 120 130 … 月销量（件）

200

180

160

140

… 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元．

（1）请

用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？36．（2015?广东广州,第25题14分）已知O 为坐标原点，抛物线y 1=ax 2

+bx +c （a ≠0）与x 轴相

交于点A （x 1，0），B （x 2，0），与y 轴交于点C ，且O ，C 两点间的距离为3，x 1?x 2＜0，|x 1|+|x 2|=4点A ，C 在直线y 2=﹣3x +t 上．

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（1）求点C 的坐标；

（2）当y 1随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；

（3）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直

线y 2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n 2

﹣5n 的最小值．

37．（2015?广东佛山,第24题10分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二

次函数y =﹣x 2

+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y =x 刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；

（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ，求△POA 的面积；

（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．

38．（2015?甘肃武威,第28题10分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0

），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M ．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

39.在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y =－2x －1与y 轴交于点A ，与直线y =－x 交于点B , 点B 关于原点的对称点为点C .

（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q . ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；

②若点P 的横坐标为t （－1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大，并说明理由.

40．(2015·黑龙江绥化，第29题 分)如图 ，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B ，与

直线AC :y =－x －6交y 轴于点C 、D ，点D 是抛物线 的顶点 ，且横坐标为－2．

（1）求出抛物线的解析式。

（2）判断△ACD的形状，并说明理由。

（3）直线AD交y轴于点F ,在线段AD上是否存在一点P ,使∠ADC=∠PCF．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。

41．如图，顶点M在轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在轴上，点B 的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

42.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

43.（2015湖南邵阳第23题8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．

（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

43.（2015?福建泉州第24题9分）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

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44.（2015湖北鄂州第23题10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格

为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；x =50时，

y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）（3分）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（2）（3分）求该公司销售该原料日获利w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．

（3）（4分）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

45.抛物线y =x 2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y =﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．

如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx +1与y 轴交于C 点，与函数y =x 2

的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作直线y =﹣1的垂线，交于E ，F 两点． （1）写出点C 的坐标，并说明∠ECF =90°；

（2）在△PEF 中，M 为EF 中点，P 为动点．

①求证：PE 2+PF 2=2（PM 2+EM 2

）；

②已知PE =PF =3，以EF 为一条对角线作平行四边形CEDF ，若1＜PD ＜2，试求CP 的取值范围．

46.（2015湖北荆州第25题12分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形ABCD 的边BC 在x 轴上，D 点在y 轴上，C 点坐标为（2，0），BC =6，∠BCD =60°，点E 是AB 上一

点，AE =3EB ，⊙P 过D ，O ，C 三点，抛物线y =ax 2

+bx +c 过点D ，B ，C 三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED 是⊙P 的切线；

（3）若将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，E 点的对应点E ′会落在抛物线y =ax 2

+bx +c 上吗？请说

明理由；

（4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

47.（2015湖北鄂州第24题12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）（4分）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）（4分）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，P C．求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）（4分）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

48.（2015湖南岳阳第24题10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM 为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

49. (2015山东青岛，第24题,12分)

已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM 停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

50.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角

坐标系，抛物线可以用c bx x y ++-=2

6

1表示，且抛物线上的点C

到OB 的水平距离为3m ，到

地面OA 的距离为2

17

m 。 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

51.（2015?淄博第24题,10分）（1）抛物线m 1：y 1=a 1x 2

+b 1x +c 1中，函数y 1与自变量x 之间的部

分对应值如表：

x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 5 … y 1

…

﹣5

4

3

﹣5

﹣12

…

设抛物线m 1的顶点为P ，与y 轴的交点为C ，则点P 的坐标为 （1，4） ，点C 的坐标为 （0，

3） ．

（2）将设抛物线m 1沿x 轴翻折，得到抛物线m 2：y 2=a 2x 2

+b 2x +c 2，则当x =﹣3时，y 2= 12 ．

（3）在（1）的条件下，将抛物线m 1沿水平方向平移，得到抛物线m 3．设抛物线m 1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线m 3与x 轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧）．过点C 作平行于x 轴的直线，交抛物线m 3于点K ．问：是否存在以A ，C ，K ，M 为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t0oq.html