2014版高考一轮复习 第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲1.考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或 积、角的大小或三角函数值等综合考查. 2.考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题.

正弦定理和余弦定理

【2014年高考会这样考】

正弦定理和余弦定理

抓住3个考点

在△ ABC中，已知a ,b和A时，解的情况三角形中常用的面积公式，

助学微博 考点自测

考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 【训练1】

突破3个考向

考向二 判断三角形形状 考向三 与三角形面积有关的问题

【例2】 【训练2】

【例3】 【训练3】

揭秘3年高考 活页限时训练

解三角形与其他知识的交汇问题

A级

B级

选择题 选择题 1、 、 1 填空题 填空题 2 、 2、 解答题 解答题 3、 3、

考点梳理1.正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, a b c = = =2R sin A sin B sin C 内容 b2=a2+c2-2accos B, (R 为△ABC 外接圆半径) c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 常见变形 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab续表 解决 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(1)已知三边，求三个角； 的问 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边 (2)已知两边和它们的夹角， 题 和其他两角 求第三边和其他两角

考点梳理2.在△ABC 中，已知 a,b 和 A 时，解的情况A 为锐角 A 为钝角 或直角

图形 关系 a<b sin A a=bsin A bsin A<a<b 式 解的 无解 一解 两解 个数

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

3.三角形中常用的面积公式1 1 1 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). (2)S= bcsin A= absin C= acsin B. 2 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2

助学微博一个定律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值 也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A>B a>b sinA>sinB.

二种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转化。

考点自测1.(2012· 湖北改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 2.(2012· 天津)在△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 7 7 7 24 8b=5c,C=2B,则 cos C=( ).A. B.- C.± D. 25 25 25 25 3.(2013· 三亚模拟)在△ABC 中，若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状是 ( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角

形 D.等腰直角三角形 π 4.在△ABC 中，若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大小为________. 3 5.(2013· 郑州调研)已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接三角形的三边， 若 abc=16 2,则三角形的面积为________.

单击题号显示 结果 答案显示

1 C

2 A

3B

4

π/2

5 2

考向一 利用正、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2012· 北京)在△ABC 中，若 a=2,b+c (1)利用余弦定理； 1 (2) 利用正弦定理和 =7,cos B=- ,则 b=________. 4 三角形内角和定理求 (2)(2012· 重庆)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 解. 3 5 a, b, c, 且 cos A= , cos B= , b=3, 则 c=________. 【方法锦囊 】 5 13 2 解(1) 根 据 余 弦 定 理 代 入 b = 4 + (7 - b)2 - 1 2×2×(7-b)· -4 ,

【审题视点 】

解得 b=4.

4 12 (2) 由已知条件可得 sin A= ,sin B= , 5 13 而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B56 b c = , 根据正弦定理 = 得 65 sin B sin C 14 14 答案 (1)4 (2) c= . 5 5

(1) 正弦定理是一个 连比等式，在运用此 定理时，只要知道其 比值或等量关系就 可以通过约分达到 解决问题的目的，在 解题时要学会灵活 运用. (2) 运 用 余 弦 定 理 时，要注意整体思想 的运用.

考向一 利用正、余弦定理解三角形【训练 1】 (1)(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 b 2 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a,则a=( ). A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 (2)在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2, sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________.

解(1) ∵asin Asin B+bcos2A= 2a,

由正弦定理可得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, b ∴sin B= 2sin A,即a= 2. π (2) 由题可知，sin B+cos B= 2, 所以 2sin B+4 = 2, a b 2 2 π 可得 = , 所以 B= , 根据正弦定理可知sin A=sin B, sin A π 4 sin 1 π π 4 所以 sin A= ,又 a<b,故 A= . 答案 (1)D (2) 2 6 6

【例 2】 (2013· 临沂一模)在△ABC 中，a,b,c 分 (1) 由 正 弦 定 理 进 行 角 化 再用余弦定理求 cos A; 别为内角 A, B, C 的对边， 且 2asin A=(2b-c)sin B 边， +(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小； (2)由三角形内角和定理把角 (2)若 sin B+sin C= 3, 试判断△ABC 的形状. C 用角 B 表示，求角 B,从 解 (1) 由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 而确定三角形的形状.

考向二 判断三角形的形状

【审题视点 】

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即 bc=b2+c2-a2, 【方法锦囊】 2 2 2 b +c -a 1 解决判断三角形的形状问题， . ∴cos A= = , ∴A=60° 2bc 2 ∴B+C=180° -60° =120° . 一般将条件化为只含角的三 ∵A+B+C=180° , (2) 角函数的关系式，然后利用三

由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 即 sin(B+30° )=1. ∴ sin B+ cos B= 3, 2 2 <B+30° <150° . ∵0° <B<120° ,∴30° ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° , △ABC 为正三角形.

角恒等变换得出内角之间的 关系式；或将条件化为只含有 边的关系式，然后利用常见的 化简变形得出三边的关系.另 外， 在变形过程中要注意 A, B, C 的范围对三角函数值的影 响.

【训练 2】 (1)(2012· 上海)在△ABC 中，若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( ). A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 π π (2)在△ABC 中,acos 2-A =bcos 2-B ,则△ABC 的形状为_____. (2) 解析 (1)

考向二 判断三角形的形状

由 sin A+sin B<sin C,

2

2

2

由

π π acos -A =bcos -B , 2 2

得 a2+b2<c2, a2+b2-c2 所以 cos C= <0, 2ab 所以∠C 为钝角，

得 asin A=bsin B,

由正弦定理，得a2=b2,∴a=b,故△ABC 为等腰三角形.

即△ABC 为钝角三角形.

【审题视点 】 【例 3】 (2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个 (1)由正弦定理进 内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. 行边化角； (2)建立关于 b, c的 (1)求 A;(2)若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c. 由 acos C+ 3asin C-b-c=0,及正弦定理得 方程组，求 b,c. 解(1) sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 【方法锦囊】因为 B=π-A-C,所以 3· sin A· sin C-cos A· sin C-sin C=0. π 1 A - = . 注意角的 由于 sin C≠0,所以 sin 6 2 π π 5π 范围，以 又 0<A<π, 所以-6<A-6< 6 , 便确定A π 故 A= . 是否唯一 3 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsinA= 3, 故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.在解决三角形问题 中，面积公式 S= 1 1 absin C= bcsin A 2 2 1 = acsin B 最常用， 2 因为公式中既有边又 有角，容易和正弦定 理、余弦定理联系起 来.

考向三 与三角形面积有关的问题

cos A-2cos C 【训练 3】 在△ ABC 中， 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 cos B 2c-a sin C 1 = . (1)求 的值；(2)若 cos B= ,b=2,求△ ABC 的面积 S. b sin A 4 sin C (2) 由 解(1) =2. 得 c=2a. sin A a b c 由正弦定理，设 = = =k, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 及 cos B=1,b=2, = 则 b = 4 sin B ksin B 1 得 4=a2+4a2-4a2× . 解得 a=1, 4 cos A-2cos C 2sin C-sin A 1 所以 = , cos B sin B 因为 cos B = ,且 0<B<π, 从而 c=2. 4 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 1 15

因此 S = acsin B 所以 sin B= , 2 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 4 1 15 15 因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. = ×1×2× = . 2 4 4 sin C 因此 =2. 1 1 sin A 本问由 cos B = . 联想 S = acsin B, 进而寻 本问由果索因，为便于化 4 2 简，边化角是关键找与其相关的量，上问结果的利用是关键

考向三 与三角形面积有关的问题

揭秘3年高考 热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，除 了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、 角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三 角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难 度中等.

揭秘3年高考

【教你审题 】

【真题探究】 (2012· 陕西)在△ABC 中， 由已知等式和余弦 一审： 角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 定理消去 c; 若 a2+b2=2c2, 则 cos C 的最小值为( ). 二审： 用 a, b 表示出 cos C; 3 2 1 1 三审： 由基本不等式求最小值. A. B. C. D.- 2 2 2 2【解法】

1 2 又 c = (a +b2), 2 2 2 a + b 1 2 2ab 1 得 2abcos C= (a +b2), 即 cos C = 2 4ab ≥4ab=2,所以选 C.

由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,

2

[反思]

本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理 公式记错；二是不能消去参数c,无法得出关于a,b的代数式； 三是基本不等式用错.

揭秘3年高考→ → 【试一试】 (2012· 湖南)在△ABC 中，AB=2,AC=3,AB· BC=1, 则 BC=( ).A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23

解析

设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. .A→ B· B→ C =1,即 accos B=-1.

.在△ABC 中， 再根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

及 AB=c=2,AC=b=3,可得 a2=3,即 a= 3. 可得 a2=3,即 a= 3.答案 A

A级

基础演练

= , B= , 则 BCC 边上的高等于 ( A= ). a2 - b =60° 3bc ,sin =2 3sin B,则 ( ). 3 ED,则 sin∠CED=( ). = ( .30° A. 2 B. 3 D.2 A . 60° C . 120° . 150° 3 + 6 C.D 3 + 39 3 ). B 3 3 2 3 10 B. 10 C. 5 5 D. A. 2 C 成等差数列， 42B,∴B=60° 解析 ∵A, B, . A. 2 B. C. 2 D. ∴A+C= 10 10 10 15 2 2 2 a b=2 h 解析 设 AB = c , BC 边上的高为 . 解析 由 a - b = 3 bc , sin C 3sin B ,得 a = 3bc 2 2 又 a依题意得知， =1,b= 3, ∴ = , 解析 CD = 1 , CE = CB + EB = 2 2 2 5, 2 DE = 2 2 A sin 2 B sin b2- + c- c - 3bc 由余弦定理得 AC = c + BC - 2BC · ccos 60° , 2 2 a 2 c CE + ED CD 3 10 sin B 3 1 1 2, 2 2 a3. + b = 2 由余弦定理， 得 cos A = = 2 EA + = 2c , cos ∠ b 2, bc = 10 ,所以 2bc ∴ sin A= = ×CED == , 即 7 = cAD + 4 -b 4 cos 60° ,即 c -22 cCE -3 =0 · ED 2 2 3 c 3 3 3 3 A. 3 答案 3 10 1 3 2 = - = 3

- = ,所以 A = 30° ,故选 A ∴∠ c = 3= (负值舍去) .又 h△ = c · sin 60° = 3 × = , ∴ A 30° ∴ C = .CED ∴ = × 1× 3 = . 答案 C sin CED =, 1 - cos ∠ = ,选 B. 答案 B 2 b 2 290° 2S ABC 2 2 2 102 故选 B.

案 单击显：题干 32.(2012· .(2012· 天津模拟 )在正方形 △ ABC 中， 角A ,B, C 所对应的边分别为 a, 四川 ) 如图， ABCD 41 . (2012· 湖南) 在△ABC AC = 7, BC .在△ ABC 中，内角 A中， , B, C的边长为 的对边分别是 a,b,c,若 /详解 b1 , A, B, 依次成等差数列，且 a= ,延长 至 EC ,使 AE= 1,连结 EC 、1,b= 3,则 S△ ABC 2c,若角 2 BA

一、选择题

1 点击题号出答 A

题号

2 B

3 C

4 B

A级 基础演练二、填空题

题号

5 π或2π 63 3

点击题号出 答案 单击详解 6.(2012· 福建)已知△ ABC 的三边长成公比为 2的等比 5.在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 数列，则其最大角的余弦值为 ________. 2 2 2若(a +c -b )· tan B= 3ac,则角 B 的值为________.

2 - 4

解析 依题意得，△ 的 2 三边长分别为 a, 2 a2ABC +c2-b 解析 由余弦定理，得 =cos B,结合已知等式得 a, 2a(a>0) ,则最大边 2 2a ac 所 对 的 角 的 余 弦 值 为 ： 2 a2+ 2a 2- 2 a 2 3 3 π2 2π cos B· tan B= ,∴ sin B= ,∴B = 或 . =- . 答案 - 2 2 3 4 4 3 2a· 2a答案 π 2π 或 3 3

A级 基础演练

三、解答题

7

8

7.(12 分)(2012· 浙江)在△ ABC 中，内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B.(1)求角 B 的大小； (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.解 (1) 由 bsin A= 3acos B,可得 sin Bsin A= 3sin Acos B, π 又 sin A≠0,可得 tan B= 3,所以 B= . 3

(2)由 sin C=2sin A,可得 c=2a,在△ ABC 中， 9=a2+c2-2accos B=a2+4a2-2a2=3a2,解得 a= 3, 所以 c=2a=2 3.

A级 基础演练

三、解答题

7

8

8.(13 分)(2012· 浙江)在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 2 c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值；(2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 2 解 (1)因为 0<A<π,cos A= ,得 sin A= 1-cos A= .又 3 3 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 5 2 = cos C+ sin C. 所以 tan C= 5. 3 3 5 1 5 (2)由 tan C= 5,得 sin C= ,cos C= .于是 sin B= 5cos C= . 6 6 6 a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3.设△ABC 的面积为 S, sin A sin C 1 5 则 S= acsin B= . 2 2

B级 能力突破一、选择题

题号

1

2

A 点击题号出答 C 案 3 单击显：题干 / 1 .在△ ABC 中， A = 60° ,且最大边长和最小边长是方程 2. (2013· 豫北六校联考 )已知△ ABC 的面积为 ， AC= 3 , 2 详解 x -7x+11=0 的两个根，则第三边的长为 ( 2 ).π ∠ ABC ,则 ABC ( A. 2= B

. 3 △C .4 的周长等于 D. 5 3 ). 3 3 解析 由 A = 60° ,不妨设 △ ABC 中最大边和最小边分 A.3+ 3 B.3 3 C.2+ 3 D. 2 2 2 2 2 2 别为 由余弦定理得 b,c,故 b+b c= = 解析 =7 a, +bc c- 211. accos B,即 a + c -ac=3. 2 2 πc - 32bccos 60° 由余弦定理得 a1 =b2+ =(b+c)2-3bc= 又△ 2 ABC 的面积为2acsin 3 = 2 ,即 ac=2, 7 -3× 11 =16,∴a=4.答案 C 2 2所以 a + c +2ac=9,所以 a+c=3,即 a+c+b= 3+ 3, 故选 A. 答案 A

B级 能力突破二、填空题

题号

3(1, 2]

4①②③

点击题号出答 案 4.(2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题正确的是________(写出 :题干 / 中，C=90° 3.(2012· 金华模拟 )单击显 在 Rt△ ABC ,且 A,B, 所有正确命题的编号 ). π π π π ①若 ab>c ,则 C< ②若 a+ b, >2c,则 C<详解 ③若 a+ b= =ccx ,则 C< ④若(a+bx )c<2 ab,则 C> ⑤若 C 所对的边 a , b c 满足 a + b ,则实数 的取值范 3 3 2 22 3 3 3

围是________. a +b -c 2ab-ab 1 解析 ①由 ab>c ,得- c > - ab ,由余弦定理可知 cos C = a+b sin A+sin B 2ab > 2ab =2,因为 C∈(0,π),函数 a+b 解析 x= = =sin A+cos A a + b - c a +b -c π sin C 2 y=cos x 在(0,π)上是减函数，所以 C< ,即①正确.②由余弦定理可知 cos C= > 3 2ab 2ab π π 2 π b 3 a + b -2ab 4ab 1 π 4 a +b - a+ = = 2sin A = ≥ = , 所以 C < , 即②正确. ③若 C 是直角或钝角， + . 又 A ∈ 0 , ,∴ <sin A + 8ab 2 3 ≤ 1 则 a +b ≤c , 8ab 8 ab 2 2 a b 4 a 4 a b b a b 即 c + c ≤1,而c , c∈(0,1),而函数 y=a (0<a<1)在 R 上是减函数，所以 c + c < c + c ≤1 与 a + 即 x∈(1, 2].答案 (1, 2](a2+b2)c2<2a2b2,则 C>2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

π 3

x

3

3

2

2

3

π 2ab 2ab b3=c3 矛盾，所以假设不成立，所以 C< ,即③正确.④因为(a+b)c<2ab,所以 c< ≤ = ab,即 2 a+b 2 ab 2 2 2a2b2 2 2 2 2 2 2 2 2a b ab>c ,转化为命题①,故④错误.⑤因为(a +b )c <2a b ,所以 c < 2 ≤ =ab,即 ab>c2,转化为 a +b2 2ab 命题①,故⑤错误.答案 ①②③

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t0i4.html