法向量在立体几何中的应用.

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，

∴ 0000=---++Cz By Ax Cz By Ax ，……①

设 000Cz By Ax D ---=，

则 ① 式可化为0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ，即为点P 的轨迹方程。 从而，任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ， 都表示一个平面的方程，其法向量为),,(C B A =。

2 法向量在立体几何中的应用

2.1 利用法向量可处理线面角问题

设 θ为直线l 与平面α所成的角，?为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之

2

间的夹角，则有θπ

?-=2

（图1）或θπ

?+=

2

（图2）

图1 图2

特别地 0=?时，2

π

θ=

，α⊥l ；2

π

?=

时，0=θ，α?l 或α//l

例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）

如图3，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο

90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面上的射影是ABD ?的重心G 。求B A 1与平面ABD （结果用反三角函数表示）

解 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，

设a CB CA ==， 则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）

（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,

2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（3

2

,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G ， ∴ ⊥GE 平面ABD ， ∴ 0=?BD GE ，解得 2=a 。

∴ ）（3

2

,31,31=

， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥GE 平面ABD ， ∴ GE 为平面ABD 的一个法向量。

由 3

2323

6

34,cos 111=

?=

>=

ωα

l v

n

ω

θαv

l

n

3

得 3

2arccos

,1>=

32arccos

2

-π

，即 3

7arccos 。 评析 因规定直线与平面所成角]2

0[π

θ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此

法向量求出的线面角应满足|2

|

απ

θ-=。

2.2 利用法向量可处理二面角问题

设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量

21,n n 的夹角为?，则有π?θ=+（图4）或 ?θ=（图5）

图4

图5

例2 （2003年，北京卷高考题）

如图6，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32

3

1=AA ， D 是CB 延长线上一点，且BC BD =。

求二面角B AD B --1的大小。（略去了该题的①，③问） 解 取BC 的中点O ，连AO 。

由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥，

∴⊥AO 平面11B BCC ，

以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6

则 ）（323,

0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,32

3

,231B ， ωθ

β

l α

n

n

C B 1

B

O

A 1

D

C 1

z

A

y

x

4 ∴ ）（323,0,29

-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）（0,32

3,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面ABD ， ∴ ）（0,323,

01=BB 为平面ABD 的法向量。 设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，

则 ?????⊥⊥B n n 122， ∴ ?????=?=?00122B n n ， ∴ ??

???=-=-03233032329y x z x ， 即 ?????==x

z y x 3323。 ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 2

1232332

3,cos 212

121=?=>==

评析 （1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得2

1,cos 21->=

不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。 例3（2002年，上海春季高考题） 如图7，三棱柱111B A O OAB -，平面⊥11O OBB 平面OAB ， ο601=∠OB O ，ο90=∠AOB ，且3,21===OA OO OB ，

求二面角O AB O --1的大小。（略去了该题的②问） 图7 O A 1B 1

A B y

z x O 1

5 αA n

B 解 以O 点为原点，分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系（如图7所示），

则)0,0,0(O ，)3,1,0(1O ，)0,0,3(A ，)0,2,0(B ， ∵ ⊥Oz 平面AOB ， ∴ 不妨设平面AOB 的法向量为 )1,0,0(1=n ， 设 平面1ABO 在此坐标系内的方程为：0=+++D Cz By x ，

由点A ，B ，1O 均在此平面内，得 ??

???=++=+=+,03,02,03D C B D B D

解得 23=B ，2

1=C ，3-=D ， ∴ 平面1ABO 的方程为：032

123=-++z y x ， 从而平面1ABO 的法向量为 )21,23,

1(2=n ， ∴ 4

2,cos 212

121==

， 评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。

2.3 可利用法向量处理点面距离问题

设 n 为平面α的法向量，A ，B 分别为平面α内，外的点，则点B 到平面α的距离 d =（如图8）。

略证： |,cos |||>

图8 ||

||AB =?=

6 例4 （2003年，全国高考题）

如图9，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点， 点F 为1BD 中点。求点1D 到平面BDE 的距离。

解 以D 为原点，建立如图9所示的直角坐标系，

则 )0,0,0(D ，)0,1,1(B ，)1,1,0(E ，)2,0,0(1D ，

∴ )0,1,1(--=，)1,0,1(-=，)2,1,1(1--BD ，

设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =， 则BD n ⊥，BE n ⊥， 图9

∴ ?????=?=?00BD n ， ∴ ???=+-=--00z x y x ， 即 ???=-=z

x y x ， ∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为

33

232

||1===n d ， 即为所求。 例5 （2003年，北京春季高考题）

如图10，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，

E ，

F 分别为棱AB ，CD 的中点，

G BD EF =?。

求三棱锥11EFD B -的体积V 。（略去了该题的①②问）

解 以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，

则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ， )0,2,22(E ， )0,22,2(F ，

∴ )4,2,22(1-=D ，)4,22,2(1-=D ， )0,22,22(11=B D ， 图10

∴ 13

12262624

||||,cos 111111=?=?>=

C D 1A 1

B 1

C 1z y

x E F

G

7 ∴ 13

5,sin 11>=

5262621,sin ||||211=???>=

?????=++=++=+022*******D B D B D C ， ∴

???????-===2

32431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-+

+z y x ，其法向量为 )243,1,1(=n ， ∴点1B 到平面EF D 1的距离51611==d ， ∴ 31651653131111=??=??=

-d S V EFD EFD B ? 即为所求。 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 222000|

|C B A D Cz By Ax d +++++= 计算得到。

（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。

法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视。

参考文献：

[1] 王敬庚. 空间解析几何. 北京，北京师范大学出版社，1999.8

作者简介：

查宝才（1978—），男，江苏高邮人，江苏扬州市新华中学二级教师。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t0fl.html