最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用复习》示范教案

第2课时

教学目标 知识与技能目标

1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．

2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用． 过程与方法目标

掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握． 情感、态度与价值观

培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．

重点难点

重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力． 难点：运用导数知识解决有关问题的方法．

教学过程

典型示例

类型一 求函数的导数

例1函数y＝x3lnx＋2x＋cos2x－3e＋sinπ的导数为________．

思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x，一般在不做任何说明的情况下，将x视为变量．

答案：y′＝3x2lnx＋x2＋2xln2－2sin2x

点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．

变式练习

1．函数y＝ex＋x2cosx＋lnx的导数为__________． 2．下列函数求导运算正确的是( )

111

A．(x＋)′＝1＋2 B．(log2x)′＝

xxxln2C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2sinx)′＝2xcosx 1

答案：1.y′＝ex＋2xcosx－x2sinx＋ 2.B

x

类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值) 例2设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2， (1)讨论f(x)的单调性；

31

(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．

44

思路分析：f(x)的单调性取决于f′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．

3

解：f(x)的定义域为(－，＋∞)．

2

4x2＋6x＋22?2x＋1??x＋1?2

(1)f′(x)＝＋2x＝＝. 2x＋32x＋32x＋3

311

当－0；当－1－时，f′(x)>0.

222

311

从而，f(x)在区间(－，－1)，(－，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－)上单调递减．

2223111

(2)由(1)知f(x)在区间[－，]上的最小值为f(－)＝ln2＋. 442431397131149

又f(－)－f()＝ln＋－ln－＝ln＋＝(1－ln)<0. 44216216722931117所以f(x)在区间[－，]上的最大值为f()＝＋ln. 444162

点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；

(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法． 变式练习：设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

解：(1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，

???f′?2?＝0，?3?4－a?＝0，?∴即?∴a＝4，b＝24. ?f?2?＝8，???8－6a＋b＝8.

(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点； 当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±a.

当x∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈(－a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

∴此时x＝－a是函数f(x)的极大值点，x＝a是函数f(x)的极小值点． 类型三 不等式证明

1

例3当x>0时，证明不等式ex>1＋x＋x2成立．

2

思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．

1

证明：设f(x)＝ex－1－x－x2，则f′(x)＝ex－1－x.

2

令g(x)＝ex－1－x，则g′(x)＝ex－1.当x>0时，g′(x)＝ex－1>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.

∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

11

又f(0)＝0，∴ex－1－x－x2>0，即x>0时，ex>1＋x＋x2成立．

22

点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，

其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．

变式练习：利用导数证明不等式lnx＋1≤x恒成立．

1

解：设函数f(x)＝lnx＋1－x(x>0)，则f′(x)＝－1，则00；当x>1时，

xf′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx＋1－x≤0，即lnx＋1≤x.

点评：一般地，证明f(x)

类型四 微积分基本定理及其应用

1x22例4(1)求∫21(＋x＋e＋cosx)dx的值；(2)求∫－24－xdx. x

思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．

(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积． 1xx

解：(1)∫21(＋x＋e＋cosx)dx＝(lnx＋

x

32

＋ex＋sinx)|21＝ln2＋＋e－e＋sin2－sin1. 22

2

点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式． (2)∫24－x2dx＝2π. －2

点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合． 变式练习：

1．求∫aa2－x2dx的值，其中a>0. －a

1

2．求由y＝，y＝1，y＝2，x＝0所围成的图形的面积．

x

3．物体A以速度v＝6t＋1在一直线上运动，同时物体B在A的正前方2米处以v＝6t的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A的出发地距离是多少？

答案：1.∫－aa

πa2

a－xdx几何意义为半径为a的半圆的面积，故其值为. 2

2212

2．本题以y为变量较好，故面积S＝∫21dy＝lny|1＝ln2－ln1＝ln2. y

3．解：设在时刻t0时相遇，则由题意，知∫t00(6t＋1)dt＝2＋∫t006tdt， ∴(3t2＋t)|t00＝2＋3t2|t00. ∴3t2＋t＝2＋3t2. ∴t＝2.

2

相遇处与物体A的出发地距离是s＝∫0(6t＋1)dt＝(3t2＋t)|20＝14(米)． 类型五 导数在实际问题中的应用

例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间1

的关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多

5少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)

思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值． 解：每月生产x吨时的利润为

1

f(x)＝(24 200－x2)x－(50 000＋200x)

5

1

＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．

5

3

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．

5

因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值1

为f(200)＝－×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．

5

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．

点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．

变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x件这样的1

产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，

36要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？

解：设生产x件产品的利润为L(x)元，则 L(x)＝500x－2 500－C(x)

1

＝300x－x3－2 500(x为正整数)．

361

∴L′(x)＝300－x2.

12

令L′(x)＝0，得到x＝60(x＝－60舍去)．

当0≤x<60时，L′(x)>0；当x>60时，L′(x)<0.

∴x＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．

拓展实例

π

1．已知函数f(x)＝sin2x－acos2x的图象关于直线x＝对称，则a的值为?( )

8A．1 B．0 C．－1 D．1或－1

ππ

思路分析：此题方法较多，可以利用定义f(＋x)＝f(－x)求解，也可以利用特殊值求

88π

解．例如用f(0)＝f()求解，若能抓住此类三角函数在对称轴处取到极值，则可利用该点处导

4数值为零解决．

ππ

解析：f′(x)＝2cos2x＋2asin2x，因为函数图象关于直线x＝对称，故f′()＝0，代入

88ππ

得cos＋asin＝0，所以a＝－1.

44

答案：C

π

2．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，求函数的单调递增区间．

6ππ

解：∵f(x)＝sin(2x＋)，∴f′(x)＝2cos(2x＋)．

66

πππ

令f′(x)>0，得2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z.

262

ππππ

解得kπ－

3636变练演编

1．已知f(x)＝xlnx＋ex，则下列关系正确的是( ) A．f′(x)＝1＋ex B．f′(1)＝1＋e C．f(1)>f(2) D．f′(1)>f′(2)

2．对R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1) ππ

3．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为__________．

44

24．求∫20(4－x＋|x－1|)dx的值．

5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

购地总费用

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积6．设函数f(x)＝ax3＋bx2－3a2x＋1(a，b∈R)在x＝x1，x＝x2处取得极值，且|x1－x2|＝2.

(1)若a＝1，求b的值，并求f(x)的单调区间； (2)若a>0，求b的取值范围． 答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.

5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则

2 160×10 00010 800

f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈Z*)．

2 000xx10 800

f′(x)＝48－2，令f′(x)＝0，得x＝15.

x

当x>15时，f′(x)>0；当0

答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 6．解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3a2.① (1)当a＝1时，

f′(x)＝3x2＋2bx－3.

4b2＋36

由题意知x1，x2为方程3x＋2bx－3＝0的两根，所以|x1－x2|＝.

3

2

由|x1－x2|＝2，得b＝0.

从而f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

当x∈(－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增． (2)由①式及题意知x1，x2为方程3ax2＋2bx－3a2＝0的两根， 4b2＋36a3所以|x1－x2|＝. 3a

从而|x1－x2|＝2b2＝9a2(1－a)，

由上式及题设知0

g′(a)＝18a－27a2＝－27a(a－)．

3

2224

故g(a)在(0，)内单调递增，在(，1)内单调递减，从而g(a)在(0,1]上的极大值为g()＝. 333324

又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g()＝为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)

3342323

＝0.所以b2∈[0，]，即b的取值范围为[－，]．

333

达标检测

1．函数y＝x3＋x的递增区间是( )

A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)

2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) 19161310A. B. C. D. 3333

3．当x≠0时，有不等式( ) A．ex<1＋x

B．当x>0时，ex<1＋x；当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x

D．当x<0时，ex<1＋x；当x>0时，ex>1＋x

4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为?( ) A．－12 D．a<－3或a>6

5．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．

4

6．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．

3

17

7．已知函数f(x)＝x3＋a2x2＋ax＋b，当x＝－1时，函数f(x)的极值为－，则f(2)＝

312__________.

55

答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7. 33

课堂小结

1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．

2．方法收获：转化化归的思想方法．

3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想． 设计意图

注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．

布置作业

1．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

从而|x1－x2|＝2b2＝9a2(1－a)，

由上式及题设知0

g′(a)＝18a－27a2＝－27a(a－)．

3

2224

故g(a)在(0，)内单调递增，在(，1)内单调递减，从而g(a)在(0,1]上的极大值为g()＝. 333324

又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g()＝为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)

3342323

＝0.所以b2∈[0，]，即b的取值范围为[－，]．

333

达标检测

1．函数y＝x3＋x的递增区间是( )

A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)

2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) 19161310A. B. C. D. 3333

3．当x≠0时，有不等式( ) A．ex<1＋x

B．当x>0时，ex<1＋x；当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x

D．当x<0时，ex<1＋x；当x>0时，ex>1＋x

4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为?( ) A．－12 D．a<－3或a>6

5．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．

4

6．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．

3

17

7．已知函数f(x)＝x3＋a2x2＋ax＋b，当x＝－1时，函数f(x)的极值为－，则f(2)＝

312__________.

55

答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7. 33

课堂小结

1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．

2．方法收获：转化化归的思想方法．

3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想． 设计意图

注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．

布置作业

1．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t0d.html