一次函数知识点、经典例题、练习

一次函数及其性质

? 知识点一 一次函数的定义 一般地，形如y?kx?b（k，b是常数，k?0）的函数，叫做一次函数，当b?0时，即y?kx，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是y?kx?b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当b?0，k?0时，y?kx仍是一次函数． ⑶当b?0，k?0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

? 知识点二 一次函数的图象及其画法

⑴一次函数y?kx?b（k?0，k，b为常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取?0，0?，?1，k?两点；

??②如果这个函数是一般的一次函数（b?0），通常取?0，b?，??，0?，即直

k??b线与两坐标轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y?kx?b的点?x，y?在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标?x，y?满足y?kx?b，也就是说，直线l与y?kx?b是一一对应的，所以通常把一次函数y?kx?b的图象叫做直线l：y?kx?b，有时直接称为直线y?kx?b．

? 知识点三 一次函数的性质

⑴当k?0时，一次函数y?kx?b的图象从左到右上升，y随x的增大而增大； ⑵当k?0时，一次函数y?kx?b的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．

? 知识点四 一次函数y?kx?b的图象、性质与k、b的符号

⑴ 一次 k?kx?b?k?0? 函数 k?0 k?0 k，b 符号 b?0 b?0 b?0 b?0 b?0 yyOOb?0 yOyOyOy图象 Oxxxxxx性质 ⑵一次函数y?kx?b中，当k?0时，其图象一定经过一、三象限；当k?0时，其图象一定经过二、四象限．

当b?0时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当b?0时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．

反之，由一次函数y?kx?b的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

? 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式

⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x，y的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

类型一：正比例函数与一次函数定义

1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x

+（m-4）是一次函数？

思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

举一反三： 【变式1】如果函数

是正比例函数，那么（ ）.

A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1

【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．

类型二：待定系数法求函数解析式

2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设

此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．

举一反三：

【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．

分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．

【变式2】已知直线y=2x+1．

（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．

【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．

类型三：函数图象的应用

3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程

中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)汽车共行驶了___________ km；

(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；

(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h； (4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.

举一反三：

【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

【变式2】（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )

A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟

【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：

根据图象解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？ （2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升. ①求排水时y与x之间的关系式； ②如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

分析：依题意解读图象可知：从0—4分钟在进水，4—15分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.

类型四：一次函数的性质

4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于

点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．

思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b），则OB=,由△AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值．

举一反三：

【变式1】已知关于x的一次函数

．

（1）m为何值时，函数的图象经过原点?

（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）? （3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行? （4）m为何值时，y随x的增大而减小？

在直角坐标系中的图象可能是（ ）．

【变式4】函数

类型五：一次函数综合

5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），

过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。

（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请直接 写出点P的坐标。

思路点拨：（1）由A，B两点的坐标知，△AOB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD与△BDE的面积相等，等价于△ACE与△AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0,0）时，∠APE=45°.

举一反三： 【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动（但不与A，D两点重合）。求△APD的面积y()与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。

【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。 （1）求的值；

（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积

S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。

一次函数练习

一、选择题

1.若y?x?2?3b是正比例函数，则b的值是（ ） A.0 B.

223 C.? D.? 3322.当x??3时,函数y?x2?3x?7的函数值为 ( )

A.-25 B.-7 C. 8 D.11

3.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.k?0 B.k?1 C.k?1 D.k?1

4.一次函数y??x?1不经过的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5.若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )

A、y=2x B、 y=2x－6 C、 y=5x－3 D、y=－x－3

6.一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8，2），此一次函数的解析式为：（ ）

A、y=2x-14 B、y=-x-6 C、y=-x+10 D、y=4x 7．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（ ）

A、±3 B、3 C、±4 D、4

8．点A（x1，y1）和B（x2，y2）在同一直线y?kx?b上，且k?0．若x1?x2，则y1，y2的关系是（ ）A、y1?y2 B、y1?y2 C、y1?y2 D、无法确定．

9.若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 y 10、一次函数y?kx?b（k，b是常数，k?0）的图象如图所示，则不等式 2 kx?b?0的解集是（ ）

A．x??2 B．x?0 C．x??2 D．x?0

0 ?2

2 111.已知函数y??x?2,当-1＜x≤1时，y 的取值范围是（ ）

253353535A.??y? B.?y? C.?y? D.?y?

2222222212．已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k的值为（ ）

A、3 B、1 C、2 D、－2

x

13．已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限

14.当a?0,b?0时，函数y=ax+b与y?bx?a在同一坐标系中的图象大致是（ ）

15．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k<0；②a>0；③当x<3时，y1

16.汽车由Ａ地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）

A．S=120－30t (0≤t≤4) B．S=120－30t (t>0) C．S=30t (0≤t≤40) D．S=30t (t<4)

二、填空题

1.若关于x的函数y?(n?1)xm?1是一次函数，则m= ，n . 2．在函数y?1中，自变量x的取值范围是 。 x?2xx?6的图像向 平移 个单位得到函数y?。

333．把函数y?4．直线y=2x+b经过点(1，3)，则b= _________

5. 已知一次函数y=-3x+2，它的图像不经过第 象限.

6.若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m= ．

7.函数y= -x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________.

8．已知函数y=－3x+b的图象过点（1，－2）和（a，－4），则a=__________ 9．某一次函数图象过点（－1，5），且函数y的值随自变量x的值的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式___________

?x?y?3?010．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组?的

2x?y?2?0?解是________．

11.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=______ ,b=______ .

12．直线y=2x+3与y=3x－2b的图象交x轴上同一点，则b=_______.

13．写出一个图象经过点（－1，－1），且不经过第一象限的函数关系式____________.

114．一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y?x的图象平行，且与直线y=－2x

2－1交于y轴上同一点，则这个一次函数的关系式为_________. 15.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 xy(元) （分钟）之间的函数关系用图象表示如图.小明打了2分钟需

1 付费______元；小莉打了8分钟需付费_______元.

0.7

0 3 4 x(分)

三、计算题

1．画出函数y=-2x+5的图象，结合图象回答下列问题：

（1）这个函数中，随着x的增大，它的图象从左到右是怎样变化的？ （2）当x取何值时，y=0？

（3）当x取何值时，函数的图象在x轴的下方？

2．已知一次函数y=（4m+1）x-（m+1）， （1）m为何值时，y随x的增大而减小？

（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴的下方？ （3）m为何值时，直线位于第二，三，四象限？

3．已知关于x的一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，

且当x1y2，求a的取值范围．

4.已知直线y?2x?1.

(1) 求已知直线与y轴的交点A的坐标;

(2) 若直线y?kx?b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值.

5．已知直线y=-

2x+3与y=2x-1，求它们与y轴所围成的三角形的面积． 36．如图，已知直线L1：y1=k1x+b1和L2：y2=k2x+b2相交于点M（1，3），根据图象判断： （1）x取何值时，y1=y2？（2）x取何值时，y1>y2？（3）x取何值时，y1

7.已知y?3与x成正比例,且x?2时,y?7. (1)求y与x的函数关系式; (2)当x??1时,求y的值; 2(3)将所得函数图象平移,使它过点(2,-1).求平移后直线的解析式.

8. 如图，直线y=2x?3与x轴交于点A，与y轴交于点B。 (1) 求A、B两点的坐标；

(2) 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的 面积。

9.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1）求两直线与y轴交点A，B的坐标; （2）求两直线交点C的坐标; （3）求△ABC的面积.

y A C B x

10.小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用

的时间x（小时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：①小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？②何时开始第一次休息？休息时间多长？③小强何时距家21㎞？（写出计算过程）

距离(km)3015jO10.511121315时间(h)

11.王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．

(1)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ (3)小强经过多少时间追上爷爷?

12．某水果店超市，营销员的个人收入与他每月的销售量成一次函数关系，其图象如下：请你根据图象提供的信息，解答以下问题：

（1）求营销员的个人收入y元与营销员每月销售量x千克（x≥0）之间的函数关系式；

（2）营销员佳妮想得到收入1400元，她应销售多少水果？

1200 800 400 x（千克）

1000 2000 3000 4000 y（元）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t036.html