第3章一阶电路暂态响应

第三章 一阶电路暂态响应 换路定则 — 确定初始值

一阶电路的暂态响应分析 三要素公式 一阶电路的矩形波响应

3.1 换路定则日常生活中的暂态现象前面几章我们分析讨论的是电路的稳定状态。所谓 稳定状态，就是电路中的电流和电压在给定的条件下 已到达某一稳态值，稳定状态简称稳态。自然界事物的运动，在一定条件下有一定的稳定

状态，当条件改变时，就要过渡到新的稳定状态。 例如：匀速行驶的汽车突然刹车；电动机起动到稳 定转速等等。

这种从一种稳定状态转换到另一种稳定 状态往往不能跃变，而是需要一定时间(过 程)的，这个物理过程就称为过渡过程。在电路中也同样存在过渡过程，当电路 换路时，即电源的突然接通或切断，电源 瞬时值的突然改变，某个元件的突然接入 或拆除等，都会引起一个过渡过程。

由于电路中的过渡过程往往为时短暂， 因此又称为暂态过程。电路在暂态过程中 的工作状态称为暂态。

电路中暂态产生的原因暂态过程产生的内部原因是：由于电路 中含有储能元件(L或C),因物质所具有的 能量不能跃变而造成的。产生暂态的外部原 因是：由于电路发生了换路，即电源的接通、 切断；电源电压的改变；某个元件被短路； 或元件参数的改变等等。 即在含有储能元件的电路中发生换路，

从而导致L或C中储存的能量发生改变，是电路中产生暂态的根本原因和条件。

换路定则内容由于电路的换路，使电路中的能量发生变化，而这 种变化是不能跃变的——必须是连续的。 设 t=0为换路瞬间，t=0–表示换路前的终了瞬间， t=0+表示换路后的初始瞬间，0–和0+在数值上都等于0, 但0–是 t 从负值趋近于0,0+是t从正值趋近于0,从 t=0–到t=0+瞬间，电感元件中储存的磁场能量WL ,和 电容元件中储存的电场能量WC是不能跃变的，即 WL (0 ) WL (0 ) WC (0 ) WC (0 )

W L

1 2

Li

2 L

WC

1 2

CuC

2

对于线性电路，元件L、C均为常数，所以 当换路时，WL不能跃变，则其电感中的电流iL 不能跃变；WC不能跃变，则其电容上的电压uc 不能跃变，所以通常换路定则又表示为： iL (0 ) iL (0 ) uC (0 ) uC (0 ) L (0 ) L (0 ) qC (0 ) qC (0 )

注 : Li

q Cu

如果换路发生在任意时刻t=T,则换路定则 表达式为： WL (T ) WL (T ) WC (T ) WC (T )

iL (T ) iL (T ) uC (T ) uC (T ) L (T ) L (T ) qC (T ) qC (T )

电路中初始值的确定换路定则仅适用于换路瞬间，结合基本定律可用 来确定t=0+时电路中

的电压、电流值。即暂态过程的 初始值，其方法如下：

1.由t=0–时的等效电路求出uC(0–)和iL(0–)。如果 换路前电路处于稳态，则电感视为短路，电容视为 开路。 2. 用换路定则确定uc(0+)和iL(0+),作出t=0+时 的等效电路 ，用电压源U0=uc(0+)代替电容，用电 流源I0=iL(0+)代替电感。3. 通过t=0+时刻的等效电路，结合基本定律，求出 电路中其他各电量在t=0+时刻的初始值 。

初始值确定举例例1: 如图1所示电路，求换路后电容电压的初 始值uC(0+)、iR(0+)。换路前开关S闭合，电路 R1 S 处于稳态。4K t=0 8k R2 iR 2 F uC

解：由于换路前电路处 于稳态，电容相当于开 路，作出 t=0– 等效电路 如图所示。

12V

R1 4k

图1Uc(0-)

12V

8k

t=0-的电路

根据t=0–时的等效电路及换路定则便可计算出 电容电压初始值为:R1 4K 12V S t=0 8k R2

iR 2 F uC

u C (0 )

8 4 8

12 8V

u C (0 ) u C (0 ) 8V

R14k

用8V电压源代替uC(0+)画出t=0+ 的等效电路见图所示。Uc(0-) iR (0+) R2+

12V

8k

iR (0 )

uC ( 0 ) R2

8 8

8k

1mA

–

uC(0+)

t=0+的电路

例2:如图 2所示电路，计算开关S闭合后各元件的 电压和各支路电流的初始值。开关闭合前电容电压 为零值。解：因为 uC(0–)=0,根 据 换 路 定 律 ， uC(0+)=0 , 作出 t=0+ 电路如图所示 。 应用基尔霍夫定律列出电 路方程如下：E t=0

iR1

i1uR1

iC R2C

uR2

E

uC

图2iC (0+ )

i (0+ )R1

i1 (0+ ) R2

u R 2 (0 )u C (0 ) 0

u R1 (0 )

i( 0 ) i1 ( 0 ) ic ( 0 )t=0+电路

i (0 ) i1 (0 ) ic (0 ) u R1 (0 ) i1 (0 ) R1i (0 + )

E R1

E R2

u R 2 (0 ) iC (0 ) R2iC (0 + )

i1 (0 + )R1

R2

u R 2 (0 )u C (0 ) 0

E

u R1 (0 )

t=0+电路

例 3 在 图 3 所 示 电 路 中 ， 已 知 ： R1=4Ω , R2=6Ω ,R3=3Ω ,C=0.1µ F,L=1mH,US=36V,开 关S闭合已经很长时间，在t=0时将开关S断开， 试求电路中各变量的初始值。

t=0

解：画出t=0-的电路如图3图(b)所示： 电容C 以开路代替，电感L以短路代替。

求出uC(0-)和iL(0-)t=0uC ( 0 ) 12V R2 // R3 R1 R2 // R3 US

i L (0 ) 4A

uC ( 0 ) R3

画出 t=0+的电路如图(c)所示：电容C以电压源代 替，电感L以电流源代替。

3 4

36V

6

由此计算出t=0+时，电路中各量的初始值如下表所示。iL t=0iC iR uC uL

4A4A

0-6A

2A2A

12V12V

00

t=0+

例4. 电路如图4所示，求开关s闭合瞬间(t=0+) 各元件中的电流及其两端电压，当电路到达稳态 时又各等于多少?设t=0-时，电路中的储能元件 均未储能。R1S (t 0)

2 L1 1H

解：因为换路前电容元件 和电感元件均未储能，即：C1

U S 10V

R2

1 F

C2

8 2 F L2

i L1 (0 ) i L 2 (0 ) 0 2 H u ( 0 ) u ( 0 ) 0 C1 C2

图4

i L1 (0 ) i L1 (0 ) i L 2 (0 ) i L 2 (0 ) 0 u C1 (0 ) u C1 (0 ) u C 2 (0 ) u C 2 (0 ) 0

画出t=0+时的等效电路如下图4a所示R1S (t 0)

iR1 R1L1 1HR2C1

2

U S 10V

1 F

S (t 0 )

C2

8 2 F L2 2 H

U S 10V i C2

iL1 (0 ) 2 C1 uC1 (0 ) L1 iR 2 R2

iC 1

C2

8 uC 2 (0 )

iL 2 (0 )L2

图4

图4a

t 0 时

i R1 iC1 i R 2 iC 2

US R1 R2

1A

uR 2 uL1 uL2 i R 2 R2 8V

uR1 i R1 R1 2V

iR1 R1S (t 0 )

U S 10V iC 2

iL1 (0 ) 2 L1 i R C1 uC1 (0 ) 2 R2

iC 1

i R1 i R 2 iC 1 iC 2 1A

C2

8 uC 2 (0 )

u R 2 u L1 u L 2 8V

iL 2 (0 )L2

uR1 i R1 R1 2V

图4aiR1 t=00 iR2 0 iL1 0 iL2 0 iC1 0 iC2 uR1 uR2 uL1 uL2 uC1 uC2 0 0 0 0 0

0 0

0 0

t=0+ 1A -1A

0

0

1A 1A

2V -8V 8V

8V

由此可见电路在换路瞬间，除C元件的uC、和L元件 的iL不能跃变(突变)外，其它各物理量 在t=0+时刻的初始值都是可以突变的(也 可以不突变),这些电流、电压的初始值， 不能用换路定则来直接确定，需要结合基 本定律来求取。

3.2 一阶电路的暂态响应分析 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元 件的线性电路，不论是简单的或复杂的，它 的微分方程都是一阶常系数线性微分方程。 这种电路称为一阶线性电路。

对于一阶线性电路，我们可以利用经典法— 列写电路的微分方程并求解，来获得电路的 暂态响应。最后归纳总结出用于分析求解一 阶线性电路暂态响应最重要的方法—三要素 法(重点掌握)。

一阶电路的暂态响应分析在图示电路中，设t=0时将开关S合于位置2,且uC (0 ) 0, 即电容C的初始储能为零，这种由外加电源

激励引起的电路响应，称为零状态响应。

S (t 0)2

t 0时有 u R u C U SR1 uR

iC1

uR Ri

i C

duC dt

USC

uC

RC

duC dt

uC U S

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