数学模型第三版课后习题集答案解析

《数学模型》作业解答

第二章(1)（2008年9月16日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;

（2）. §1中的Q 值方法；

（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分

配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

,432 ,333 ,235321===p p p

∑==31.1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i i p

N

p q ,33.33122==∑=i i p N p q 32.43133==∑=i i

p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n

方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

4 ,3 ,2321===n n n

第10个席位：计算Q 值为

,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.93315

44322

3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n

方法三（d ’Hondt 方法）

此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n

此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的

i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i

i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型.

解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n

t dn wkn r k vdt 00)(2π )22 2

n wk k(r n πvt +=∴ .2 22

n v

k w n v rk t ππ+=∴ 第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.

解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为:

[P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.

量纲矩阵为：

A=)

??????????---ρ()()

()()()()(001

310013212s v P T M L

齐次线性方程组为： ??

???=--=+=-++030

032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y

由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.

16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,

ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()

()()(210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即

?????==+=+02y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

由量纲i P 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρ

μλg v =∴，其中λ是无量纲常数.

16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为

[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2

其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)()()()()

()()()(21001

110011311g v T M L μργ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 即 ??

???=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为

??

???---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量

???==-----2/112/32

2

/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(12

1-=π?π ∴ )(12/12/3-=

μργ?γυg g , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为

0),,,,(=k g m l t f

其量纲表达式为：

1

12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t

10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ????

??????-- 齐次线性方程组

?????=--=+=+0200541

5342y y y y y y y 的基本解为

??

???--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴g l t =1π, )(21π?π=, 2/12

/12mg

kl =π ∴)(2/12

/1mg kl g l t ?=

，其中?是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2

/12

/1g m l k g l t '''='? 当无量纲量l l m m '='时， 就有 l l l g g l t

t '=?'='. 《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

???==---2

2/112/112/12/1ππk g m l g tl

1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．

01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

kr rT c T c T C ++=2

)(21 2221

r c T

c dT dC +-= 令0=dT

dC ， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c r c rT Q =

=** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

??

????+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 222332

2221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C --+--=?? T

k rT Q c c rT Q c Q C ++-=??332 令???????=??=??00Q

C T C ， 得到驻点： ???????+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，

r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间

)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.

解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：

贮存费为 ∑?=→??-==?n i T i i t T T r k c dt t g c t g c 102

02022

)()()(lim ξ 又 )()(00T T r T r k -=-

∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 k

T T r k r c 2)(2?-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 k

T r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+= k r k r c T

c dT dC 2)(221

-+-=. 0=dT dC 令 , 得)

(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )

(221r k r c k c T -=* r

c c ，T r k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）

3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1

)(+=b k b λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011

b b 而加的. 总费用函数()x

c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=β

ββββββ 最优解为 []

k b k c b b b c kb c x ββ)1(2)1()1(223221+++++= 5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t T T t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为

??

???<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21 又 t q t q β+=0)(.于是总利润为

[][]??--+--=2

02221121)()()()(),(T T

T dt bp a t q p dt bp a t q p p p =2

2)(022)(20222011T T t t q t p bp a T t t q t p bp a ??????---+??????---ββ =)8

322)(()822)((2

0222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2

)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=??β

)(2

)8322(22022bp a T T t q T p b p -+---=??β 0,02

1=??=??p p 令, 得到最优价格为: ???

???????

???++=??????++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为

??+-

=-+-=20221210)(2

)()(T T T p p bT aT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：

)8

322)(()822)((),(m ax 2

022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---= t s . 021)(2

Q p p bT aT =+- 利用拉格朗日乘数法，解得：

??

???+-=--=880201T bT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？

解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;

每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）

根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=

2121)( 得：k T T

T C 10092500)(++=

令 0=dT

dC ， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=

T （即订货周期为3

50）时，总费用将最小. 又k T C 1003

5095025003)(*+?+?=＝300＋100k k T C 10030930

2500)(0+?+==353．33＋100k )(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）3

2＝53．33. 故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.

《数学模型》作业解答

第四章（2008年10月28日）

1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克, B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？

解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S

则此问题的数学模型为：

max S=20x+30y

s.t. ??

???∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202

这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解

可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70

2l

925002+-=T

dT dC

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