研究生《应用数理统计基础》庄楚强 - 四五章部分课后答案

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49

试用W检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平??0.05）

（参考数据：）

4-45. 解：数据的顺序统计量为：

10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82

L的计算如下表： k 1 2 3 4 5 x(k) 10.18 10.32 10.38 10.41 10.49 x(n?1?k) x(n?1?k)?x(k) 10.82 10.77 10.67 10.64 10.59 a(k) 0.5601 0.3315 0.2260 0.1429 0.0695 a(k)[x(n?1?k)?x(k)] 0.64 0.45 0.29 0.23 0.10 0.3585 0.1492 0.0655 0.0329 0.0070 所以 L??ak?15(k)[x(n?1?k)?x(k)]?0.6131，

又 x?10.5264， 得

?(x?x)ii?1112?0.38197

故 W?L2?(x?x)ii?1112?0.984 ， 又 当n = 11 时，W0.05?0.85

即有 W0.05?W?1， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。

4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个

车间连续15天取得反映波动大小的数据如下表： 甲 乙 1.13 1.21 1.26 1.31 1.16 0.99 1.41 1.59 0.86 1.41 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95 在??0.05下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动

性情况的分布重合”。 （参考数据：） 4-47. 解： 在??0.05下， 检验假设 H0：F1(x)?F2(x)；H1：F1(x)?F2(x)

甲 乙 符号 1.13 1.21 － 1.26 1.31 － 1.16 0.99 ＋ 1.41 1.59 － 0.86 1.41 － 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95 － － ＋ － － － － － 由上表知：n??11,n??2，?查

n?n??n??13

n?13，??0.05的符号检验表， 得 临界值S??2.5，

n?,n?}?2， 即：S?S?， 故 拒绝H0 而 S?min{即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同．

4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单

位：小时）如下表所示： 甲 乙 7 3 26 150 10 42 8 84 27 72 30 28 25 101 35 29 在显著性水平??0.05下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一

种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：） 4-51. 解：（１）基于游程总个数R的检验法 设 甲仪器失效时间?服从分布F1(x)，乙仪器失效时间?服从分布F2(x)。 检验问题 H0：F1(x)?F2(x)

将?、?混排（?的样本值带下划线）得：

3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150 即 游程总个数 R = 5 而 当n1?n2?8，??0.05时，R1,0.05?6

0.05

所以 R?R1,，

故 拒绝H0，认为这两种维修方案有一种维修方案显著地优于另一种方案。

习题5：

5-5. 某建材实验室在作陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x (kg)对 28天后的混凝土抗压强度?(kgcm2)的影响，测得数据如下：

xi 150 56.9 160 58.3 170 61.6 180 64.6 190 68.1 200 210 220 230 240 250 260 yi 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7 （1）求?对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是多少？

（2）检验线性回归效果的显著性(??0.05)；

（3）求回归系数b的区间估计（置信度为1???0.95）；

（4）求x0?225kg时，?0的预测值及预测区间（置信度为1???0.95）。 （参考数据：） 5-5. 解：解：（1）计算得

112， ， x?518600x?x?205y?yi?72.6， ?i??i1212?xyii， ?182943?y2i?64572.84，

所以 lxx??xi2?nx2?518600 ?12?2025?14300

lxy??xiyi?nxy?182943?12?205?72.6?4347

?x?7206?0.304?205?10.28 ??lxy?4347有 b, a??y?b?0.304lxx14300 故 ?对x的回归直线方程为：y??10.28?0.304x 。 而 y?(x)?10.28?0.30x?(x?1)?10.28?0.304(x?1)， 4， y 所以 每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是：

?(x?1)?y?(x)?0.304 y （2）检验假设 H0：b?0. 用T检验法：

由 lyy??yi2?ny2?64572.84?12?72.62?1323.72

???*?2lSelyy?bxx??0.466

n?2n?2?b?0.304?78.0174

0.46614300 得 t? 而 t?*?lxx1??2(n?2)?t0.975(12?2)?t0.975(10)?2.228 1?2 即有 t?t1?(n?2)

所以 拒绝H0，即 认为线性回归效果显著。 （3）由于

??t(n?2)?b的1??置信区间为：(b?*lxx) ?1?2 所以 当??0.05时，有：(0.304?t0.975(10)??*lxx)

?*?(0.304?t0.975(10)?lxx)?(0.304?2.2281?0.46614300)?(0.304?0.00868)?(0.2953,0.3127) （4）当 x0?225时，?0的预测值为y?0?10.28?0.304?225?78.68

?0??(x0),y?0??(x0)) 由于 ?0的1??预测区间为：(y1(x0?x)21(x0?x)2 ??0???t?(n?2)1???0???t?(n?2)1???(y,y)1?1?nlnlxxxx22? 所以 当??0.05时，有：

1(x0?x)21(225?205)2?t?(n?2)1???(x0)???0.466?2.2281?1?? 1?nlxx12143002??1.09455即得 所求预测区间为：(77.5855,79.7746) 。

5-14. 在彩色显影中，根据以往的经验，形成染料光学密度?与析出银的光学密度x之间有

下面类型的关系：

y?ae通过11次试验得到下面数据： bx(b?0)

xi yi 0.05 0.10 0.06 0.14 0.07 0.23 0.10 0.37 0.14 0.59 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29 求未知参数a、b的估计值，并求回归方程的残差平方和。 5-14. 解：两边对y?ae取对数，有：lny?lna?bxb， x作变换z?lny，A?lna,t?1， 得 z?A?bt

x将数据整理如下表：

xi 0.05 0.10 20 0.06 0.14 16.67 0.07 0.23 14.29 0.10 0.37 10 0.14 0.59 7.143 0.20 0.79 5 0.25 1.00 4 0 0.31 1.12 0.38 1.19 0.43 1.25 0.47 1.29 2.128 0.255 yi ti?1xi 3.226 2.632 2.325 0.113 0.174 0.223 zi?lnyi -2.302 -1.966 -1.429 -0.994 -0.528 -0.236 111111计算得：t?zi??6.731； ?ti?7.947；z?11?11i?1i?1ltz??(ti?t)(zi?z)??tizi?11?tz??496.583；

i?1i?11111ltt??(ti?t)??ti2?11?t2?3406.681．

2i?1i?11111??所以 b得 换

ltzltt??496.583?t?0.532． ??z?b??0.146； A3406.681

??0.532?0.146?t ． z????ez??eA?1.73,x?1t y,a?0.146x??1.73?e故得 回归方程为： y

且 回归方程的残差平方和为：Se??(yi?y?i)2?0.006 .

i?111习题6：

6-2. 现有某种型号的电池3批，它们分别是甲、乙、丙3个厂生产的，为评论其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（h）如下表所示：

工厂 甲 乙 丙 40 26 39 48 34 40 寿 命 38 30 43 42 28 50 45 32 50 试在显著性水平??0.05下，检验电池的平均寿命有无显著差异。（略：若差异是显著的，检验哪些工厂之间有显著差异，并求?1??2、?1??3和?2??3的95%置信区间。） （参考数据：） 6-2. 解：检验问题 H0：?1??2??3 工厂 甲 乙 丙 40 寿 命 Ti? 213 150 222 ?T 或 ?i 2i?niSi2 63.2 40 113.2 Se??niSi2?216.4 i?1348 38 42 45 (1600 2304 1444 1764 2025 26 676 34 1156 30 900 28 784 32 1024 45369 22500 49284 242.6 30 44.4 39 40 43 50 50 1521 1600 1849 2500 2500) n =15 ST??3r =3 T=585 52ij??39 ????i?1j?13585T2?23647??832 ?15n12T25852SA??Ti???23430.6??615.6

n15i?15

Se?ST?SA?832?615.6?216.4

SA(r?1)615.6(3?1)??17.07

Se(n?r)216.4(15?3)所以 F?而 F,n?r)?F1?0.05(3?1,15?3)?F0.95(2,12)?3.89 1??(r?1即：F?F0.95 故 拒绝H0，即 认为电池的平均寿命有显著差异．

方差分析表如下：

方差来源 平方和S

自由度f

均方和S

F值 显著性

因素Ａ 误差ｅ 总和 或 Se?615.6 216.4 832 2i2 12 14 35307.8 17.07 18.03 * ?nSii?13?21.64， ST???(?ij??)2?832，

i?1j?1

SA?ST?Se?832?216.4?615.6

SA(r?1)615.6(3?1)??17.07

Se(n?r)216.4(15?3) 所以 F?而 F,n?r)?F1?0.05(3?1,15?3)?F0.95(2,12)?3.89 1??(r?1即：F?F0.95 故 拒绝H0，即 认为电池的平均寿命有显著差异．

6-3. 用3种不同的小球测定引力常数的试验结果如下表所示（单位：10?11N?m2kg2）：

铂 金 玻璃 6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 6.678 6.671 6.675 6.672 6.674 试问：不同小球对引力常数的测定有无显著影响？（显著性水平??0.01） （略：并求并求?2??1、?3??1和?2??3的95%置信区间。） （参考数据：）

6-3. 解：检验问题 H0：?1??2??3 元素 铂 金 玻璃 r =3 6.661 引力常数 Ti? 33.32 40.068 33.37 T 1110.22 1605.45 1113.56 2i??或 ?i 6.664 6.678 6.674 niSi2 0.000036 0.000075 0.000030 Se?36.661 6.667 6.667 6.664 6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 6.678 6.671 6.675 6.672 6.674 n =16 T= 106.758 52ij??6.672 ??nSii?12i ?0.000141 ST??3???i?1j?13T2?0.000709 ?n12T2 SA??Ti???0.000568ni?15

Se?ST?SA?0.000141

SA(r?1)0.000568(3?1)??26.2

Se(n?r)0.000141(16?3)所以 F?而 F,n?r)?F1?0.01(3?1,16?3)?F0.99(2,13)?6.7 1??(r?1即：F?F0.95

故 拒绝H0，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．

或 Se??i?13， niS?0.0001，4 1 ST???(?ij??)2?0.000709i?1j?12i35

SA?ST?Se?0.000709?0.000141?0.000568

SA(r?1)0.000568(3?1)??26.2

Se(n?r)0.000141(16?3)所以 F?而 F,n?r)?F1?0.01(3?1,16?3)?F0.99(2,13)?6.7 1??(r?1即：F?F0.95

故 拒绝H0，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．

方差分析表如下： 方差来源 因素Ａ 误差ｅ 总和 平方和S 0.000568 0.000141 0.000709 自由度f 2 13 15 均方和S 0.000284 26.2 0.00001085 F值 显著性 **

6-15. 选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大影响，为了提高回收率，分别选取油膏的3

种成分的2种水平，所选因素、水平如下表所示：

因素水平 1 2 3A B C 石蜡 12% 6% 机油 60% 50% 蓖麻油 10% 8% 选用正交表L4(2)来安排试验，结果由1到4号试验的回收率顺次为72，58，78，84，

试分析试验结果。

6-15. 解：选用正交表L4(23)来安排试验，由1到4号试验的回收率指标，可计算得分析数

据 k1j,k2j ，k1j,k2j，Rj，进而得到优方案A2B1C1，具体如下表：

因素 试验号 列号 A 1 B 2 1(10%) 2 1 2(8%) 150 142 75 71 8(4) A C B C 3 1(12%) 2 2(6%) 1 156 136 78 68 20(10) 回收率yi% 72 58 78 84 1 2 3 4 k1j k2j1(60%) 1 2(50%) 2 130 162 65 81 32(16) k1j k2jRj 因素主→次 优方案

A2B1C1

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