高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：

一、关于sin cos 与sin cos (或sin2 )的关系的推广应用：

1、由于(sin cos )2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos 故知道(sin cos )，必可推出sin cos (或sin2 )，例如：

例1 已知sin cos ,求sin3 cos3 。 3

分析：由于sin3 cos3 (sin cos )(sin2 sin cos cos2 )

(sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ]

其中，sin cos 已知，只要求出sin cos 即可，此题是典型的知sin -cos ，求sin cos 的题型。

解：∵(sin cos )2 1 2sin cos

故：1 2sin cos (3211) sin cos 333

sin3 cos3 (sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ] 3114)2 3 ] 3 333339

例2 若sin +cos =m2，且tg +ctg =n，则m2 n的关系为（ ）。

A．m2=n B．m2=222 1 C．m2 D．n 2 nnm

分析：观察sin +cos 与sin cos 的关系：

(sin cos )2 1m2 1 sin cos = 22

而：tg ctg 1 n sin cos

m2 112 m2 1，选B。 故：2nn

例3 已知：tg +ctg =4，则sin2 的值为（ ）。

1111 A． B． C． D． 2424

11 4 sin cos 分析：tg +ctg =sin cos 4

1 故：sin2 2sin cos sin2 。 答案选A。 2

例4 已知：tg +ctg =2，求sin4 cos4

分析：由上面例子已知，只要sin4 cos4 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子，则即可根据已知tg +ctg 进行计算。由于tg +ctg =

sin cos 1 2 sin cos 1，此题只要将sin4 cos4 化成含sin cos 的式子即可： 2

解：sin4 cos4 =sin4 cos4 +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2

=（sin2 +cos2 ）- 2 sin2 cos2

=1-2 (sin cos )2 1 =1-2 ()2 2

1 =1 2

1 = 2

通过以上例子，可以得出以下结论：由于sin cos ，sin cos 及tg +ctg 三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin cos ，求含sin cos 的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sin cos ）2=1±2sin cos ，要进行开方运算才能求出sin cos

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg （或ctg ）与含sin （或cos ）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

sin 3cos 例5 已知：tg =3，求的值。 2sin cos

sin 分析：由于tg ，带有分母cos ，因此，可把原式分子、分母各项除以cos ，“造出”tg ，cos

即托出底：cos ；

解：由于tg =3 k cos 0 2

sin cos 3 cos tg 3 3 3 0 故，原式=cossincos2tg 12 3 12 cos cos

例6 已知：ctg = -3，求sin cos -cos2 =? cos cos 分析：由于ctg ，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没sin sin

有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin2 cos2 1及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin ，造出ctg ： sin cos cos2 解：sin cos 1 sin cos cos sin2 cos2 222

cos cos 2 ()ctg ctg2 2分子,分母同除以sin 2cos21 ctg 1 ()sin

3 ( 3)26 251 ( 3)

例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设0 x ,0 y ，且sinxsiny sin( x)sin( y) 2236

求：(ctgx 3)(ctgy )的值 3

分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于

0 x ,0 y ，故sinx 0,siny 0，在等式两边同除以sinxsiny，托出分母sinxsiny为底，得： 22

解：由已知等式两边同除以sinxsiny得： sin( x)sin( y)sincos cossinxsincosy cossiny 1 1 sinxsinysinxsiny

1cosx sinxcosy siny 14sinxsiny

1 (3ctgx 1)(ctgy 3) 1

4 33 (ctgx )(ctgy 3) 143

34 (ctgx )(ctgy 3) 33

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于sin cos tg ，ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通cos sin

过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。 而添加分母的方法主要有两种：一种利用sin2 cos2 1，把sin2 cos2 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：acosx bsinx的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式sinAcosx cosAsinx sin(A x)中得到启示：式子acosx bsinx与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如acosx bsinx的式子都可以变成含sin(A x)的式子，由于-1≤sin(A x)≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：3cosx 4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：

ab acosx bsinx a2 b2 cosx sinx 2 222a b a b

由于(a

a2 b2)2 (ba2 b2

a

a b2)2 1。 ba b22故可设：sinA 2，则cosA sinA，即：cosA ∴acosx bsinx a2 b2(sinAcosx cosAsinx) a2 b2sin(A x)

无论A x取何值，-1≤sin(A±x)≤1，

a2 b2≤a2 b2sin(A x)≤a2 b2 即： a2 b2≤acosx bsinx≤a2 b2

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：

例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数y 3cos2x sinxcosx的最大值为（AAAA ）

A．1 B．3 1 C．1 D．3 1 22

11ox的式子： 2sixncoxs si2nx，再想办法把cos2x变成含cs222

co2sx 1co2sx 2co2sx 1 co2sx 2

cos2x 11 sin2x 于是：y 22nco s分析：six

1cos2x sin2x 222

13cos2x sin2x) 222 (

由于这里：a 11,b ,则a2 b2 ()2 ()2 1 2222

∴y 1 (1 cos2x sin2x) 222

设：sinA a31 ,则cosA 122a2 b2

2∴y sinAcos2x cosAsin2x

2 sin(A 2x)

无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故 1

，即答案选A。 2≤y≤1 22∴y的最大值为1

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。 分析：首先，由于BC2 CA2 12 ()2 4 AB2，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角

BC1 ,故A 30 ，则∠B= AB2

90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=l，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EC=l²cosα，则BE=BC-EC=1-l²cosα。

而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α

∠B=60°，∠DEF=60∴在△BDE中，根据正弦定理：

BFDE1 l cos l sin BDEsin Bsin sin60 ∠C为直角，又由于sinA

3(1 l cos ) l sin l cos l sin 222

l cos sin 2

在这里，要使l有最小值，必须分母：3cos sin 有最大值，观察：2

3 cos sin ,a ,b 1 a2 b2 ()2 12 2222

∴372127cos sin (cos sin ) 2277

2127，则cosA 77设：sinA

故：cos sin (sinAcos cosAsin ) 22

7sin(A ) 2

∴7。 cos sin 的最大值为22

3

21即：l的最小值为： 77

2

而sin(A )取最大值为1时，A 2k

∴sin sin(2k 2 2k 2 A

2 A) cosA 2 7

即：sin 2721时，△DEF的边长最短，最短边长为。 77

从以上例子可知，形如acosx bsinx适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与a2 b2的最值有关；其中最大值为a2 b2，最小值为 a2 b2。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如acosx bsinx的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

倒数关系: 商的关系： 平方关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/szoe.html