高二同步学讲义 圆锥曲线专题复习

圆锥曲线

一、定义

【焦点三角形】

x2y2??1的左右焦点为F1、F2，P为椭圆上一点， 1、已知椭圆94（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积

（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积

x2y2??1的左右焦点为F1、F2，P为双曲线上一点， 2、已知双曲线54（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积

（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积

x2y23、例1：F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的

ab圆与椭圆的一个交点为M。若直线F2M与圆F1相切，求该椭圆的离心率。

x2y2??1的焦点为F1、F2。点P为其上的动点，当?F1PF2 为钝角时。点P4、椭圆94横坐标的取值范围为多少？ （2000年全国高考试题）

x2y2x2y25、椭圆2?2(a?b?0)和双曲线2?2(m,n?0)有公共的焦点F1(?c,0)、

abmnF2(c,0)，P为这两曲线的交点，求PF1?PF2的值． 二、方程

1、a、b、c、e几何意义，焦点坐标，准线方程 2、求方程直接法、代入法、定义法 2.1【直接法】

2.2【代入法】

已知圆x2?y2?9，从圆上任意一点P向x轴作垂线段PP/，点M在PP/上，并且PM?2MP/，求点M的轨迹。

2.3【定义法】（与两个定圆相切的圆心轨迹方程）

：一动圆与两圆：x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，则动圆的圆心

2222 1

y 的轨迹方程是什么？（2000全国高考试题）

M O 题型1：求轨迹方程

O1 x 例1．（1）一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

x2?y2?1有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求?PF1F2的重心M的（2）双曲线9轨迹方程。

3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆C1：x2?y2?9，圆C2：x2?6x?y2?0

三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量） 直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长.弦长公式：

(2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.

3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：

? 直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.

4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.

?x2?y2?1，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点。求：弦1、已知椭圆

69AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。

2

2、椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是线段AB的中点.若|AB|=22 ，

直线OC的斜率为

2，求实数a、b的值. 2?x2?y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，例1．已知椭圆：

69求弦AB的长.

y2?1截得的弦长； 1）求直线y?x?1被双曲线x?42

（一）中点问题

一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线例1、过椭圆

164的方程。

1、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________

x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程 2、过椭圆

1643、椭圆4x?9y?144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为

224、中心在原点，一焦点为F1（0，5

2）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，

12求此椭圆的方程。

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1y2x2??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中点例3、已知椭圆

27525M，求点M的坐标

3

y2x2??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 已知椭圆

7525

y2?1截得的弦中点轨迹方程. （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线x?42

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点的

横坐标为

1，求椭圆的方程。 2四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y2??1，试确定的m取值范围，使得对于直线y?4x?m，椭圆上总例6、已知椭圆43有不同的两点关于该直线对称。

解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y?4x?m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，则3x1?4y1?12，3x2?4y2?12 两式相减得，3(x1?x2)?4(y1?y2)?0 即3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0

22222222?x1?x2?2x，y1?y2?2y，

y1?y21??

x1?x24?y?3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。

它与直线y?4x?m的交点必须在椭圆内

联立??y?3x?x??m322，得? 则必须满足y?3?x，

4?y?4x?m?y??3m2即(3m)?3?32213213m，解得??m? 41313

（二）

1、已知抛物线y2?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为Q，直线l经过点Q与抛物线交于A、B两点；

4

.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于

A,B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=

四、求离心率的值或范围 1.1、已知a=2b，求e 1.2、已知b=2c，求e

1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求e 2、已知a<2b，求离心率的范围

x2y23、（2009江西）过椭圆2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2

ab为右焦点，若∠F1PF2=600，求离心率

x2y24、过椭圆2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，Q，F2为右焦点，

ab（1）若∠F1 F2P=450，求离心率

（2）若∠F1 F2P＜450，求离心率的范围 （3）∠P F2Q<900，求离心率的范围

x2y25、过双曲线2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，Q，F2为右

ab焦点，

（1）若∠F1 F2P=450，求离心率

（2）若∠F1 F2P<450，求离心率的范围 （3）∠P F2Q<900，求离心率的范围

（4）若△P F2Q为等边三角形，求离心率的值 （5）若△P F2Q为锐角三角形，求离心率的范围

36、已知双曲线的渐近线为y??x，则双曲线的离心率e

4x2y27、已知F1，F2是椭圆2?2?1的左右焦点，P是椭圆上的一点，（）

ab（1）∠F1PF2=600，求椭圆离心率的范围。

（2）∠F1PF2=900，求椭圆离心率的范围。 （3）∠F1PF2为锐角，求椭圆离心率的范围。

x2y28、椭圆2?2?1与圆x2?y2?c2，（a2?b2?c2）

ab（1）没有交点求椭圆离心率的范围

（2）两个交点求椭圆离心率的值 （3）四个交点求椭圆离心率的范围

5

x2y2a29、椭圆2?2?1的右焦点F2直线x?，若过F2且垂直于x轴的弦长等于

cab点F2到l1的距离，求椭圆的离心率。

x2y210、（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在

ab????????椭圆上，且BF?x轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）

21世纪教育网A．

1132 B． C． D．

32220

11、（2008全国）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120，则以A、B为焦点且过

点C的双曲线的离心率为

12、已知双曲线的两条渐近线的夹角为602，则离心率为 13、（2007福建）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

x2y214、（2007湖南）已知F1，F2是椭圆2?2?1的左右焦点，P是右准线上纵坐

ab标为3c（c为半焦距）的点，且|F1F2|=|F2P|，则离心率为

x2y215、（2007北京）已知F1，F2是椭圆2?2?1的左右焦点，两准线与x轴的交

ab点分别为M、N，若MN?2F1F2，则离心率为

x2y216、（2007湖南理）（较难）已知F1，F2是椭圆2?2?1的左右焦点，若右准

ab线存在点P，使线段PF1的中出现中垂线过点F2，则离心率的取值范围

x2y217、（2007全国理）已知F1，F2双曲线2?2?1的左右焦点，若双曲线上存在

ab点A，使∠F1AF2=900，且|AF1|=3 |AF2|，则双曲线离心率为 18、．F1、F2为椭圆

x2a2?y2b2?1的两焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=90°，求椭圆

的离心率的取值范围

x2y219、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2, 若P为其上一点，且

ab|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A、(1,3)

B、?1,3?

C、(3,+?) D、?3,???

6

五、直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l代入曲线C的方程，消去一个字母(如y)得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则（1）当a≠0时，则有Δ>0，l与C相交；Δ=0，l与C相切；Δ<0，l与C相离.（2）当a=0时，得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴.需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交.

五、最值问题

1、求圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值

2、求圆锥曲线上的点到定点与到焦点的距离和的最值 3、

圆锥曲线与向量的综合应用

1、过椭圆x24?y2?1的右焦点F 的直线l与椭圆交于A、B两点。 （1）若|AB|=2，求直线l的方程

（2）若AF?2FB，求直线l的方程

（3）若AF?2FB，求直线l的方程 （4）若OA?OB=0，求直线l的方程

（5）若OA?OB=3，求直线l的方程

2、已知过点P（1，0）的直线与双曲线x24?y2?1交于A、B两点， （1）若|AB|=2，求直线l的方程 （2）若PF?2PB，求直线l的方程 （3）若AP?2PB，求直线l的方程 （4）若OA?OB=0，求直线l的方程 （5）若OA?OB=3，求直线l的方程

7

3、已知过点P（-1，0）的直线与抛物线 y2?4x交于A、B两点。

（1）若|AB|=2，求直线l的方程 （3）若PF?2PB，求直线l的方程 （4）若AP?2PB，求直线l的方程

x2y24、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F，右顶点为A，点B在椭圆上，BF⊥x轴, 直

ab线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是 ( )

（A）

3 2（B）

2 2（C）

1 3（D）

1 2x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线5、（（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:2?????????????段AF交C于点B，若FA?3FB,则|AF|=( )

A. 2 B. 2 C.3 D. 3

????????【解析】过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,

故|BM|?2222.又由椭圆的第二定义,得|BF|????|AF|?2.故选A3233【答案】A

x2y26、（2009浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该

ab????1????直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是

2( )

A．2 B．3 C．5 D．10 【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，

?a2ab?a2abB?,,C(,?)则有 ?a?ba?b?a?ba?b???????ab????????2a2b2a2b???ab?22BC?(22,?22),AB???,?，因2AB?BC,?4a?b,?e?5．

a?ba?b?a?ba?b?【答案】C

8

x2y2??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其7、（2009四川卷文、理）已知双曲线

2b2一条渐近线方程为y?x，点P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

x2y28、（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率

ab为3的直线交C于A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为 ( ) A．

6759 B. C. D. 5585x2y2【解析】设双曲线C：2?2?1的右准线为l,过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于

abN, BD?AM于D,由直线AB的斜率为

3,知直线AB的倾斜角

60???BAD?60?,|AD|?由双曲线的第二定义有

1|AB|, 2??????????1???11???|AM|?|BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)?|AB|?(|AF|?|FB|).

e22????5????16又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? .

e25【答案】A

9、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a=（3，-1）共线，求椭圆的离心率

10、已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2Py，（P>0）交于A、B两点，O为坐标原点， ，求直线l和抛物线C的方程。 OA?OB=（-4，-12）

x2y2?1的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且11、设椭圆C：2?2a1AF2?F1F2=0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|

3（1）求椭圆的方程。

（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴

9

于点M，若iMQ?|2QF|，求直线l的斜率。

12、已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），点B为抛物线上任意一动点，点P满

1足BP?BA，当B点在抛物线上运动时，求动点P的轨迹方程。

2

13、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

3，过点C（-1，0）的直3线交椭圆于A、B两点，且CA?2BC，求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆的方程。

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2

007@163.com

邮编 422312 手机号码 13975987411

有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆

10

锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题：

这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线x2?y2?2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，又已知

????????点C的坐标是(1，（I）证明CA〃CB为常数；（II）若动点M满足0)．?????????????????，求点M的轨迹方程． CM?CA?CB?CO（其中O为坐标原点）

0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ◆解：由条件知F(2，（I）当AB与x轴垂直时，可求得点A、B的坐标分别为(2，2)，(2，?2)，

????????此时则有CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．代入

x2?y2?2，则有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．则x1，x2是上述方

程的两个实根，

4k24k2?2所以x1?x2?2，x1x2?2，于是

k?1k?1????????CA?CB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k2(x1?2)(x2?2)(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?1)??4k2?1?(k?1)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?4k?1?22k?1k?1222 11

?(?4k2?2)?4k2?1??1．

????????∴ 综上所述，CA?CB为常数?1．

?????????????（II）设M(x，y)，则CM?(x?1，y)，CA?(x1?1，y1)，CB?(x2?1，y2)，??????????????????????x?1?x1?x2?3，?x1?x2?x?2，即?于CBC?O得：?CO?(?1，0)，由CM?CA?y?y?yy?y?y?12?12是AB的中点坐标为??x?2y?，?． ?22?yyy?yy2(x当AB不与x轴垂直时，12?，即y1?y2? ?1?x2)．x?2x?2x1?x2x?2?2222又因为A、B两点在双曲线上，所以x12?y12?2，x2?y2?2，两式相减

得

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?2)?(y1?y2)y．

将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得x2?y2?4． x?20)，也满足上述方程．所以当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(2，点M的轨迹方程是x2?y2?4．

????????▲ 点拨：本题中“CA〃CB为常数”的证明，采用特殊位置“当????????AB与x轴垂直时”可轻易得出CA〃CB= -1；接下来再从一般情况“当

AB不与x轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容

易得多了！

x2y2x2y2★【例题2】已知A,B为椭圆2?2?1(a>b>0)和双曲线2?2?1的公

abab→→

共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且有AP+BP→→

=?(AQ+BQ)(?∈R,|?|>1),设AP,BP,AQ,BQ斜率分别为

12

k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.

→→→→

◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由AP+BP=?(AQ+BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O、Q、P三点共线；设P(x1,y1)、Q（x2，y2）,

2

x12y12ay1y12x1y1则2 - 2 =1,则x12-a2 = 2〃y12；∴ k1+k2 = + = 22 = abbx1+ax1-ax1-a

2b2x1

〃； a2y1

-2b2x2x1x2

同样有k3+k4= 2〃；由于 = ，∴ 所求的定值为0。

ay2y1y2

▲ 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。 二、最值问题：

常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。

★【例题3】、抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16

▲若将上题中点A的条件改为A(3,1),其它不变,

则应为____

13

◆ 解析：由抛物线定义，可知当A、P、（H如图1）三点共线时，|PA|+|PF|最小，其最小值为9。

▲条件改动之后，则当A、P、F三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。

▲ 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。

★【例题4】（2007年安徽高考题）设F是抛物线G:x2?4y的焦点．设

????????GA、B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA?FB?0，延长AF，BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值． ◆解：设A(x1，y1)，C(x2，y2)；由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k?0．

1)，所以直线AC的方程为y?kx?1．点A、C的因直线AC过焦点F(0，坐标满足方程组?2?y?kx?1，?x?4y，2

?x1?x2?4k，得x?4kx?4?0，由根与系数的关系知? 则有：

xx??4.?12AC?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?4(1?k2)．

因为AC?BD，所以BD的斜率为?，从而BD的方程为y??x?1．同理

可

求

得

??1?2?4(1?k2)BD?4?1??????2??k??k??1k1k．∴

SABCD18(1?k2)212?ACBD??8(k?2?)≥32．当k?1时，等号成立．所2k2k2 14

以，四边形ABCD面积的最小值为32．

▲ 点拨：本题首先通过计算，建立好四边形ABCD面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。

★【例题5】、（2007年全国高考题〃12分）在直角坐标系xOy中，以

O为圆心的圆与直线x?3y?4相切．

（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P????????使PA，PO，PB成等比数列，求PA?PB的取值范围．

◆解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?3y?4的距离，即r?4?2；得圆O的方程为x2?y2?4．（2）不妨设1?30)B(2，0)． A(x1，，0)B(x2，，0)x1?x2．由x2?4即得A(?2，，设

P(x，y)，由

P，A，PO成P等B比数列，得

(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?x2?y2，

????????即x?y?2．PA?PB?(?2?x，?y)?(2?x，?y)?x2?4?y2?2(y2?1).由于

22?????????x2?y2?4，?2点P在圆O内，故?22由此得y?1．所以PA?PB的取值范围为

??x?y?2.[?2，0)．

????????▲ 点拨：本题同样是先通过计算，建立好“PA?PB”的函数

表达式，然后依据“点P在圆O内”，得出相应的约束条件“y2?1”，从而得出所求。

三、求参数的取值范围范围问题：

求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/szg3.html