血样分组检验的数学模型

血样分组检验的数学模型

刘学

江南大学 食品学院 食品质量与安全0902班

摘 要： 本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值等知识对如何分组检验以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释，并且可以结合实际情况，将该模型进行深入和推广。

关键词：血样分组检验，数学模型，概率统计, 数学期望值

问题提出：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽查N个人的血，可以有两种方法进行：（1）将每个人的血分别去捡；（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明这k 个人的血液呈阴性反应，这样这k个人的血就只需验一次；如呈阳性，则再对这k 个人的血分别化验。这样这k 个人的血总共要化验k+1次。假如每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的。

（1）试讨论什么条件下按第二种方法可减少化验次数，并论证你们的结论； （2）对给定的p值（足够小），讨论k取何值最适宜。

问题分析：本问题在现今医学研究、病毒检验等诸多医学问题中是一个很普遍的问题。由于进行某种疾病的调查需要大量的统计数据，为了提高检验的效率，以最少的检验次数达到最终的检验效果，就必然要面临如何对人群分组这个难题。

本文对血样分组检验建立数学模型，目的就是要找到一种最佳的分组方案，对于一个数量固定的人群（假定人群数量为N 人），我们在决定哪一种分组方案最好或者需不需要分组时，可以引入数学期望。

如果不分组，每个人都参加检验，则总共需要检验N次，如果分组后计算出平均检验次数小于N次，则认为分组比不分组好，需要分组;反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，哪一种分组计算出来的平均检验次数最小，则认为这种分组时最优的分组方案。这也是数学概率模型的基本思路。

1

模型假设

1、血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常

2、血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响. 3、阳性血样与阳性血样混合也为阳性 4、阳性血样与阴性血样混合也为阳性 5、阴性血样与阴性血样混合为阴性 6、血样阴性的概率q?1?p

7、每个人检验一次是阳性的概率相互独立（即不考虑是否有遗传性与病毒的传染）

8、为了简化模型便于讨论分析，假设每次分组时都能达到平均分配，而且在进行再次分组时采用的对呈阳性的组进行组内分组的形式。这在实际中是普遍采用的一种方法，它比把呈阳性的组的人重新打乱再进行分组的效率高出很多而且易被人接受。

模型的建立及求解

问题（1）：利用概率中的数学期望来计算平均检验次数。

在一次分组的情况下，如上所示变量假设，分成N/k组，每组的人数为kn（2?k?）；阳性的先验概率为p；另设变量?表示每组的检验次数；X表示

2总的检验次数；q?1?p，即q为每个人检验一次呈阴性的概率。因此，如果一组检验为阴性，则其中每个人均不是病毒的感染者，在由每个人是否是感染者是相互独立的，可得出现此种情况的概率为qk，检验次数为1；如果一组检验为阳性，该组中有病毒感染者，可知出现此种情况的概率为1?qk，该组每个人又被一一检验，所以检验次数为k+1。故可得?的分布律为

1 K+1 qk 1?qk 由上表可得：

E(?)?qk?1?(1?qk)?(k?1)?(1?qk)?k?1

N1所以对于N个人平均检验次数E(X)??E(?)?N?(1?qk?)次。所以只要

kkE(X)?N，即分组后平均检验次数小于不分组检验的次数，就进行分组检验。由E(X)?N，可得以下约束条件：

1111?qk??1?q?k?p?1?k，

kkk此时对于不同疾病，p不同，调整k满足上式，即可认为分一次组比不分组好。

1由于本题的人数是离散变量，k只能取整数，所以1?k也是一个离散型变k量，无法直接采用数学分析的方法，应先把离散变量连续化。故采用与离散变量变化趋势相同的连续性函数，即设

2

p(x)?1?1xx,(x?1)

因为p?1?k1k，根据上述条件及假设，对p(x)求导：

1'1')??() xxxxp'(x)?(1?设 y?1 xx1则 p'(x)??(x)'??y'

x1对 y?x两边求对数有:

x1lny?lnx ，

x1对 lny?lnx两边求导有：

x1'1111'(lny)?(lnx)?(ln()x)'?(ln)'

xxxxy'1111111即 ??2ln?x(?2)??2ln?2

yxxxxxxx111111111111y?(?2ln?2)y?(?2ln?2)x?(?2ln?2)()x

xxxxxxxxxxx1'11111111''x所以 p(x)??(x)??y??(?2ln?2)()?()x?2?(1?lnx)

xxxxxxx11x1'即 p(x)?()?2?(1?lnx)

xx由此可以看出，当x?e时，函数p(x)单调减少，而1?x?e时，函数p(x)单调增加，在x?e时取得最大值。做出函数p(x)的图像

'0.350.30.250.20.150.10.05012345678910 3 对于本题所讨论的离散值，由于实际检验分组时每组的人数k只能取整数，不可能取自然对数e（自然对数e约等于2.71828），故算出接近最大值p(e)的两个实际值：

p(2)?0.292893；p(3)?0.306639，

则可知当k?3时，p取得满足条件p?1?k1k时的最大值，也就是只有在

p?0.306639时，调整k的值总能满足上述约束条件。即只有p?0.306639时，

分一次组才比不分组平均检验次数少。而当p?0.306639时，无论怎么调整k都不能满足分组检验的约束条件p?1?1，故不分组比分一次组平均检验次数少。kk问题（2）：对给定的p值（足够小），k多大可使检验次数最小。

因为p值足够小，即p?0.306639，需要分组。要使总人群的检验次数

N1?E(?)?N?(1?qk?)最小，因为k只能取整数，所以E(X)是一个离kk1散型变量，为了更形象地讨论问题，故引入与E(X)?N?(1?qk?)变化趋势相

k1同的连续性函数连续性函数f(x)?1?qx?，

x11则f(x)?1?qx??1?(1?p)x?,(2?x?N,0?p?0.306639)，

xx1对函数f(x)?1?(1?p)x?,(2?x?N,0?p?0.306639)求导可得：

x1f'(x)??(1?p)xln(1?p)?2，

xE(X)?因为p是给定的固定值，且0?p?0.306639,故-0.361

4

f'(x)??(1?p)xln(1?p)?1=0时的实数解x，由于实际检验中每组的人数k只x2能为整数，所以要对计算出来的x取整，记作[x]，再比较一下f([x])和

f([x]?1)，若f([x])f([x]?1)，则k=[x]+1，此

时的k值即为每一个给定的p所对应的可使总检验总次数最少的每组人数。下面给出数值解法解出的对于不同的先验概率，相对应的最小检验次数的每组人数：

p k p k 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 结果分析：

32 23 19 16 15 13 12 12 11 10 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 0.110 8 6 6 5 5 4 4 4 4 4 由模型求解知，在满足模型假设的前提下，当所给定的阳性先验概率

p?0.306639时，不分组每个人都检验一次可以使总检验次数最少；当所给定的

阳性先验概率0?p?0.3066时，要使总检验次数比不分组时总检验次数少，需要分组检验。

当 p固定时(足够小)，为了使人群总的检验次数最小，就需要确定每组的

1人数k。要使人群总的平均检验次数E(X)最小，通过引入E(X)?N?(1?qk?)k变化趋势相同的连续性函数连续性函数

f(x)?1?qx?11?1?(1?p)x?,(2?x?n,0?p?1) ， xx 5

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