第八章 二元一次方程组

第八章 二元一次方程组

题型一：二元一次方程（组）的概念

例1、下列方程①3x?6?2x，②xy?3，③

y?x2?4，④10x?y14?2y，⑤x?y?2，⑥2x?3xy?5，⑦3x?y?z?0 ，⑧3x2?y?13中，二元一次方程有 个。

例2、方程ax?4y?x?1是二元一次方程，则a的取值范围为 .

例3、已知方程mx??m?2?y?3m?1是关于x,y的二元一次方程，则m的取值范围是 . 例4.若关于x，y的方程xm?1?yn?2?0是二元一次

方程，则m?n的和为 . 例5、若xa?2?y4?3b?1是关于x，y的二元一

次方程，其中a?b?3，则a?b? ．例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 . ??x2?y2?1?x?y?1?xy?1?1；?????x?y?2??x?y?1；?2??x?y?1；2?1??x?y?1?x??1??x?y?4?x?0；??y；?11??x?2y?1y?z?2；???9；??x?y?1?2??xy（8）??x?y?xy??x?y?1?x?x?y?1.；（9）? ?2?3?x?y??y?2例5、若方程组??x??c?3?xy?3?xa?2?yb?3?4是关于x,y的二元一次方程组，则代数式a?b?c的值是 ．

题型二：二元一次方程（组）的解的概念

例1、若??x?2?y??2是二元一次方程ax?by?3的一 个解，则a?b?1? .

例2、如果??x?m?y?n是方程2x?y?0的一个解

（m?0），那么（ ） A、m≠0，n=0 B、m，n异号C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 例3、方程组??2x?y??3?3x?y?8和??ax?by?2?ax?by?4同解，求

a、b的值。

例4、已知??x?2?y?1是二元一次方程组??mx?ny?8?nx?my?1的解，则2m?n的算术平方根为 . 例5、若??x?a?y?b是方程2x+y=0的解，

则6a?3b?2? .

例6、已知?x?2??y?1是二元一次方程组??ax?by?7?ax?by?1的

解，则a?b的值为 .

题型三：解多元一次方程（组）的问题

例1、把方程2x?y?3改写成用含x的式子表示y的形式，得y? .

例2、写出满足方程x?2y?9的一对整数值 . 例3、二元一次方程x?3y?10非负整数解有 对． 例4、方程?x?1??y?3??7的整数解有 对. 例5、方程x?4y?20的非负整数解有 . A、4组 B、5组 C、6组 D、无数组 例6、若4x?3y?0且x?0，则4x?5y4x?5y? .

例1、由方程组??x?m?6?y?3?m可得出x与y的关系式是 例2、方程组??x?y?2?2x?y?4的解是 .

例3、若二元一次联立方程式?2x?y?4??x?2y?7的解为

x?a,y?b，则a?b的值为 . 1

例4、方程2x?y?1和2x?y?7的公共解是.

例4、若3a?4b?c?1?c?2b?2?0，则4?4x?2y?6①例5、用“代入消元法”解方程组?时，

6x?5y?2②?可先将第 方程（填序号即可）变形

为 ，然后再代入． 例6、 解下列方程组： （1）??a:b:c? ．

题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用

例1、已知a?1?3a?2b?5?0，则ab? . 例2、若3a?b?5?2a?2b?2?0，则

?3x?4y?10x?5y?0；

（2）?；

?3x?2y?17?5x?6y?42

3）整体思想：

?例3、已知方程组?5m?4n?8?1m?4??2m?n?5的解是???n?3，求

?5?x?3??4?y?2?方程组??8?1??2?x?3???y?2??5的解。

4）换元法：

例1、解下列方程组：

?（1）?3x?2y2x?5y???10?43

?3x?2y?2x?5y??52?1③参数方程组： 例1、已知方程组??2x?y?3?x?y?6的解满足方程x?2y?k，则k? .

例2、已知方程组??2x?3y?k?3x?4y?k?11的解x,y满足方

程5x?y?3，求k的值.

例3、如果方程组??x?2y?4?ax?y?4a的解是方程

3x?5y?28?0的一个解，则a? .

2?a?b??3ab的值为 . 例3、方程3x?2y?a的解x、y的值也满足

2x?y?1??x?2y?2?0，且a?a?0，求a

例4、如果3x2n?1ym与?5xmy3是同类项，那么

m和n的取值分别是 .

例5、若4x1?2ay2与-3xyb?3是同类项，则

a? ，b? .

题型五：模糊以及抄错题问题

例1、 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本 上，结果二元一次方程组中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是??x?1?y?2你能由此求出原来的方程

组吗？

例2、甲乙两人解方程组??ax?5y?15,①?4x?by??2，②，由于

甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为

??x??3,?y??1;乙看错了方程②中的b，而得到的解为

??x?5,?y?4.假如按正确的a,b计算，求原方程组的解。

例4、已知方程组??ax?by??16的解应为

?cx?20y??2242

??x?8y??10，小明解题时把c抄错了。因此得到的解?是??x?12，则2?y??13a?b2?c2的值。

题型六：方程及方程组的应用问题

列方程组解应用题的一般步骤：

工作量问题

例2、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

例3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

行程问题

例2、甲、乙两从A地出发，向同一方向前进，甲步行先走1小时后，乙骑自行车追赶，当乙骑了2小时后，乙还在甲的后面1.5千米处，再走1小时后，乙在甲的前面2.5千米处，求甲、乙两人的速度．

例3、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.

分配问题

例1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？

例2、 某服装厂要生产一批服装，已知3米长的某 种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

盈亏问题

例1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。则商贩在这次买卖中盈亏了多少？

例2、新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，为了发展农业科技，乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利2500，乙种书籍亏本1000，试问该书店一天共盈利（亏本）多少元？

数字问题

例1、如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是_______

例3、 一个两位数的数字之和是7，这个两位数减 去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是多少？

例4、 一个两位数，十位上数字是个位上数字的两 倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27，求原两位数.

年龄问题

例1、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

例2、 甲乙两人在聊天，甲对乙说：\当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”你能算出他们两人各几岁吗？

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航行问题

例1、甲乙两港间的水路长280千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水14小时到达。从乙港返回甲港，逆水20小时到达。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。

例2、一只小船往返于长江上的AB两地之间，从A到B需要6小时，从B到A需要8小时，一个木排从A到B需要多长时间？

方案选择问题

例1、班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元。 （1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？

（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。

例2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？

例5、 已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型 号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．

3．已知方程2x2m+3+3y4n-7

=4是关于x、y的二元一次方程，则m为多少？

4．方程（k2

-4）x2

+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x、y的方程，则：当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？

7．已知??x?2?ax?by?y?1是方程组?7的解，求a?b

??ax?by?1

8．已知等式y?kx?b，当x?2时，y?1；当x??1时，y?3；求k，b的值．

10．若方程组??3x?5y?k?2的解x和y的和为0，

?2x?3y?k求k的值。

3x?5y?m?211．已知方程组?2x?3y?m的解适合方程x?y?8，求m的值

?ax?by?4?3x?y?512．已知方程组ax?by?6与方程组4x?7y?1的解相同，求a,b的值

13．若方程组??4x?y?5by?1与方程组?ax?by?3?ax??有

?3x?2y?1相同的解，求a，b的值。

15．若3|a2?b7?|5(?2a?)1b?0?2，则a?b的

值为多少？

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