测试技术基础习题答案-江征风

第二章部分题目答案

2?2-21．求正弦信号x(t)?Asin(t)的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时T/4T后，其各频谱如何变化？

2?2??解： (1)由于x(t)?Asin(t)?Acos(t?)，符合三角函数展开形式，则 TT22?处：An?1，所以，单边频谱图为图1的（a）。 T2?2?jt2?jA?jTtT2?t)?(e?e) 对x(t)?Asin(t)进行复指数展开：由于x(t)?Asin(TT22?jAAA?所以，在?处：Cn?，CnR?0，CnI?，|Cn|?，?n?

2T2222?jAAA?在处：Cn??，CnR?0，CnI??，|Cn|?，?n??

T2222在

所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

AnACnRA2CnI2?T|Cn|02?T?2??T02?T??T2?0A?2??2?TA20A22?T??2?2?T0?n2?T??2?

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图

图1 正弦信号x(t)的频谱 （2）当延迟T/4后，x(t)变为x(t)?Asin?T??2?(t?)?，由于

4??TT?T???2??2??2??x(t)?Asin?(t?)??Acos?(t?)???Acos?t???，符合三角函数

4?42??T?T?T?展开形式，则

2?处：An?1，所以，单边频谱图为图2的（a）。 TT?2?T2??2?对x(t)?Asin?(t?)??Asin(t?)??Acos(t)进行复指数展开，

4?T2T?T在

jt2??A?jTtTt)?(e?e) 由于x(t)??Acos(T22?AAA所以，在?处：Cn??，CnR??，CnI?0，|Cn|?，?n??

T2222?2? 1

在

2?AAA处：Cn??，CnR??，CnI?0，|Cn|?，?n?? T222AnCnR?2?T2?T所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

ACnI|Cn|A2002?T?A?2A202?T?A?2???2?T0?n2?T02?T??2?T?

?2?T?

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图

图2正弦信号x(t)延迟后的频谱

2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为

4A?11?f(t)?0?cos?0t?cos3?0t?cos5?0t???

??35?求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。

解：均值a0=0；该方波各谐波的频率分别为?0、3?0、5?0…；对应的幅值分别为

4A0?、

4A04A4A、0…，即(?1)n?3?5?n?12,n?1,3,5,...，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

An4A?4A3?4A5?4A7?0?03?05?07?0...9?0...?

4A9?图3 方波的单边幅频谱

2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将f(t)看成矩形窗函数与?(t?2)、?(t?2)脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23

解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：

??1t?1 w(t)??0t?1??即，f(t)?w(t)*[?(t?2)??(t?2)]

2

j2?f?2?(t?2)?e而w(t)?W(jf)?2sinC(2?f)，根据时移特性：；?(t?2)?e?j2?f?2

则f(t)的频谱函数为：

f(t)?w(t)*[?(t?2)??(t?2)]?W(jf)?[F(?(t?2)?F(?(t?2)]?2sinC(2?f)?(ej2?f?2?e?j2?f?2)?2sinC(2?f)?(ej4?f?e?j4?f)设?0??m[?m为f(t)中最高频率分量的角频率]，试出x(t)和x(t)的双边幅频谱X(j?)的示意图形，当?0??m错误！未找到引用源。时，X(j?)的图形会出现什么样的情况？

f(t)F(j?)

2-24．一时间函数f(t)及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数x(t)?f(t)cos?0t

0t

??m0?m?

(a) f(t)的时域波形 (b) f(t)的频谱

图2.56 f(t)的时域波形及其频谱

解：令x1(t)?cos?0t，则x(t)?f(t)x1(t)，即为f(t)和cos?0t的乘积，所以其图形如图4(a)所示。

若x1(t)?X1(j?)，f(t)?F(j?)，则x(t)?f(t)x1(t)?X(j?)?X1(j?)*F(j?)

1由于X1(j?)?[?(???0)??(???0)]，其双边幅频图如图4(b)所示。

2根据x1(t)x2(t)?X1(j?)*X2(j?)，则

1X(j?)?X1(j?)*F(j?)?[?(???0)??(???0)]*F(j?)

2根据x(j?)*?(j?)?x(j?)，x(?)*?(???0)?x(???0)和x(?)*?(???0)?x(???0)则

11X(j?)?X1(j?)*F(j?)?[?(???0)??(???0)]*F(j?)?[F(???0)?F(???0)]

2211|X(j?)|?|X1(j?)|*F(j?)?[|?(???0)|?|?(???0)|]*F(j?)?[|F(???0)|?|F(???0)|]22 111F(???0)表示把F(?)的图形搬移到?0处，图形的最大幅值为F(?)；

222111F(???0)表示把F(?)的图形搬移到??0处，图形的最大幅值为F(?)；

222111|F(???0)|表示把|F(?)|的图形搬移到?0处，图形的最大幅值为|F(?)|；

222111|F(???0)|表示把|F(?)|的图形搬移到??0处，图形的最大幅值为|F(?)|；

222由于x1(t)的频谱图用双边幅频图表示，所以x(t)的双边幅频图|X(j?)|如图4(c)所示，当

?0??m时，x(t)的双边幅频图|X(j?)|如图4(d)所示。

3

x(t)0t

12??00|X1(j?)|12?0?

(a) x(t)的时域波形 (b) x1(t)?cos?0t的频谱

|X(j?)||F(j?)|2??0?(???0m|X(j?)||F(j?)|2|F(j?)|2|F(j?)|20)0?0??m?0?

??0?0?

(c) x(t)的频谱 (d)

?0??m时，x(t)的频谱

图4 习题2-23的示意图

2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为

4AT?A?t??t?0??T2x(t)??

4AT?A?t0?t???T2 求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。

x(t)A......T0?T00?At

图2.57 周期性三角波

解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：

8A11x(t)?2(cos?0t?2cos3?0t?2cos5?0t??)

?35其单边频谱图如图5所示。

An8A

?2?n8A32?28A52?28A72?2......?00?03?05?07?0?03?05?07?0......?

(a) 幅频图 (b) 相频图

图5 周期性三角波的频谱

补充：画出、sin?0t复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双cos?0t边相频谱，并验

4

证是否满足信号的时移定理。

1?j?0te?ej?0t 2111在??0处：Cn?，CnR?，CnI?0，|Cn|?，?n?0

222111在?0处：Cn?，CnR?，CnI?0，|Cn|?，?n?0

222解：cos?0t???12CnR012CnI???0012|Cn|12?n??0?0?0???00?0???00?0? (a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频

图

图6

j?j?0te?ej?0t 2j11?在??0处：Cn?，CnR?0，CnI?，|Cn|?，?n?

2222j11?在?0处：Cn??，CnR?0，CnI??，|Cn|?，?n??

2222sin?0t???CnR12CnI?00??00?0???01?2?12|Cn|?12?n?00?2??0??00?0??2?

(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频

图

图7

?????sin?0t?cos(?0t?)?cos??0(t?)?，则t0?

22?2?0??0在??0处：相移：?(??0)t0??(??0)在?0处：相移：??0t0???0??? 2?02??? 2?02???和?，因此满

22有图6和7比较可知，sin?0t比cos?0t在??0、?0处的相移为足信号的时移定理。

5

第三章部分题目答案

3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC，若压力变化25MPa，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？

解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：S?S1?S2?S3??y=50mm，则S3??y，其中S1=90 pC/MPa，S2＝0.05V/pC ，?x=25MPa，?x?y50mm4mmmm ???0.4444?x?S1?S225MPa?90pC/MPa?0.05V/pC9VV3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。

图4.24 习题3-20图

解：第一个框图为一阶系统，由于敏度为3;

第二个框图的灵敏度为7.3;

66/23K3，而，所以其灵???15s?215/2s?17.5s?1?s?17.5s?122K?n3.3?n?2第三个框图为二阶系统，由于2，所以其灵敏度为3.3； 22s?2??ns??ns?2??ns??n系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。

2100?n1.53-21 由传递函数为H1(s)?和H2(s)?2的两个环节，串联组成一个测2s?1.4?ns??n3.5s?0.5试系统，问此系统的总灵敏度是多少？

解：显然，H1(s)和H2(s)和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则

K1.53 K=3 H1(s)????s?13.5s?0.57s?1K?n2100?n2100?n2H2(s)?2?? K=100

s?2??ns??n2s2?1.4?ns??n2s2?2?0.7?ns??n2而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.

3-22 用时间常数为2s的一阶装置测周期为2s、4s的正弦信号，试求周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的几倍？

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s时，

A(?1)?11?(??1)2?12?21?(?)T1?12?1?(2?)22?0.1572

6

?(?1)??arctan(?正弦信号周期为4s时，

2?2?)??arctan(2?)??80.97o T12A(?2)?11?(??2)2?11?(?2?2)T2?11?(2?2?2)4?0.3033

2?2?)??arctan(2?)??72.32o T24A(?2)?(?2)?72.32由于?2，??0.8936，则周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后

A(?1)?(?2)?80.97?(?2)??arctan(?量分别是2s装置的2和0.8936倍。

3-23用时间常数为2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s，最大幅值1000，最小幅值500

，

则

该

装

置

所

指

示

的

最

大

值

为

：

1000?A(?1)?该

装

10001?(??1)2置

所

?10001000??996.93 2?22?21?(?)1?(2?)T160指

示

的

最

小

值

为

：

500?A(?1)?5001?(??1)2?500500??498.465 2?22?21?(?)1?(2?)T160

3-24 设用时间常数为0.2s的一阶装置测量正弦信号：x(t)=sin4t+0.4sin40t (K=1)，试求其输出信号。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin4t和x2(t)=0.4sin40t的叠加。

对x1(t)：角频率ω1=4，幅值A1=1，初相位φ1=0；则

11A(?1)???0.78

221?(??1)1?(0.2?4)?(?1)??arctan(??1)??arctan(0.2?4)??38.66o

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.78*1=0.78 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-38.66o 其输出信号为：y1(t)=0.78sin(4t-38.66o) 对x2(t)：角频率ω2=40，幅值A2=0.4；则

A(?2)?11?(??2)2?11?(0.2?40)2?0.124

?(?2)??arctan(??2)??arctan(0.2?40)??82.875o

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.124*0.4=0.05 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-82.875o 其输出信号为：y2(t)=0.496sin(4t-82.875o)

所以，x(t)为输入信号时，输出信号为： y(t)= y1(t)+ y2(t)= 0.78sin(4t-38.66o)+0.05sin(4t-82.875o)

7

3-25 用一阶系统对100Hz正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？

1．解：(1) 因为??1?A(?)，故当|?|≤5%?0.05时，即要求1?A(?)≤0.05，所以1?1≤0.05。化简得(??)2≤?1?0.108，则 220.95(??)?111?1.08??5.23?10?4s（2分） 2?f2??100s1?≤1.08?(2) 当作50Hz信号测试时，有（4分）

111??1??1??1??1?0.9868?1.32%(??)2?1(2?f?)2?1(2??50?5.23?10?4)2?1

??arcta?n?(??)

arc?tfa?n?(2?11?0.01?2)a?rc?t?an(?2?4?50o?2? 10)5.?3??919503-26 已知某线性装置A(?)?，?(?)??arctan0.1?，现测得该系统稳态输出

y(t)=10sin(30t-45°)，试求系统的输入信号x(t)。

解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：

1A(?)??0.3162 ?(?)??arctan(0.1?30)??71.56o5 21?0.01?30则输入信号的幅值和相位分别为：

A=10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)=-45o+71.565o=26.5651o

则输入信号为：x(t)=31.6256sin(30t+26.5651o)

3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s，则2s后的温度计指示值是多少？

3-28 某测量装置的频率响应函数为H(j?)?1，试问：1)该系统是什么系统? 2)

1?0.05j?若输入周期信号x(t)?2cos10t?0.8cos(100t?30)，试求其稳态响应y(t)。

答: 1)一阶系统， 2) 一阶系统:A(?)?11?(??)2 ?(?)??arctan(??) 111?(0.05*10)2当?=10时，A(?)?A(10)?1?(??)2??0.8944

?(?)??(10)??arctan(??)??arctan(10*0.05)??26.57o

当?=100时，A(?)?A(100)?11?(??)2?11?(0.05*100)2?0.1961

?(?)??(100)??arctan(??)??arctan(100*0.05)??78.69o

所以，

y(t)?2A(10)cos(10t??(10))?0.8A(100)cos(10t?300??(100))?1.78cos(10t?26.56)?0.156cos(10t?108.69)00

3-29 用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和5s，问幅值误差是多少？

8

解：由题意可知：τ=0.5s, δ=|1-A(2?f)|×100％=(1-A(2?f))×100％<2% 则

11??0.02,即f<0.0646Hz 21?(0.5?2?f)被测参数的周期是2s时，f=1/2=0.5Hz, δ=(1-A(2?f))×100％=(1-A(2×?×0.5))×100％=46.3% 被测参数的周期是5s时，f=1/5=0.2Hz, δ=(1-A(2?f))×100％=(1-A(2×?×0.2))×100％=15.3%

13-30 已知某测试系统传递函数H?s??，当输入信号分别为x1?sin?t，x2?sin4?t时，

1?0.5s试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin?t时，信号的角频率ω1=?，幅值A1=1，初相位φ1=0；则

A(?1)?11?(??1)2?11?(0.5??)2?0.537

?(?1)??arctan(??1)??arctan(0.5??)??57.52o

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.537*1=0.537 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-57.52o；其输出信号为：y1(t)=0.537sin(?t-57.52o) 当输入信号为x2(t)= sin4?t时，其角频率ω2=4?，幅值A2=1，初相位φ1=0；则

A(?2)?11?(??2)2?11?(0.5?4?)2?0.1572

?(?2)??arctan(??2)??arctan(0.5?4??)??80.96o

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.1572*1=0.1572 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-80.96o 其输出信号为：y2(t)=0.1572sin(4?t-80.96o)

可以看出，对于信号x1?sin?t，其幅值由1变为0.537,相位由0 o变为-57.52o；对于信号x2?sin4?t，其幅值由1变为0.1572,相位由0 o变为-80.96o；信号x2?sin4?t的幅值和相位变

化大于信号x1?sin?t的幅值和相位的变化。

3-31 对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

答: 由于静态增益为3，则Mmax?M/3?1.5/3?0.5 则 ??1??????1lnMmax??2?1??????1ln0.5??2?0.2155

从而，?n??d1??2?2?Td1??2?2?6.281?0.21552?1.02

1.022于是，H(s)?2 2s?2?0.215?1.02s?1.02当???n时，A(?n)?1???2???[1???]?4?2????nn????22?14?2?11??2.32 2?2?0.2155 9

???2????n?2??? ?(?n)??arctan??arctan??21?12???1????n??

3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800 Hz，阻尼比为0.14，

问使用该传感器作频率为500Hz和1000Hz正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少? 答: f=500Hz时， A(f)?A(500)?1?f??f?[1???]2?(2????fn??fn?22?1?500?22?500?[1???]?(2?)???800??800?22?1.5625

?f??500?2???2???fn?800????(f)??(500)??arctan??arctan?-16.023o 22?f??500?1??1????800??f?n?f=1000Hz时， A(f)?A(1000)?1?f??f?[1???]2?(2????fn??fn?22?1?1000?22?1000?[1??]?(2?)????800??800?22?1.4599

?f??1000?2???2???fn?800????(f)??(1000)??arctan??arctan?31.8908 22?f??1000?1??1????800??f?n?

第五章部分题目答案

5-21 已知直流电桥Rl=9725?，R2=8820?，R3=8550?，R4=9875?，若激励电压Ui=24V，

试求输出电压Uo，若R4可调，试求电桥平衡时的R4值。

R1R3?R2R4Ui??0.2774(V) 答： Uo?(R1?R2)(R3?R4)R4=R1*R3/R2=9427.3Ω。

5-22选用电阻值R=100?，灵敏度S=2.5的电阻应变片与阻值R=100?的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V，当应变片应变为1000μ?时，若要使输出电压大于10mV，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。 解： dR/R??R/R?SUo?K而，

??2.5?1000?10?6?2.5?10?3

?RUi?K?2.5?10?3?Ui?K?2.5?10?3?10?K?25(mV)，要使Uo大于10mV，R0则要求K>0.4。当为半桥单臂时，K=1/4=0.25；当为半桥双臂时，K=1/2=0.5；当为全桥时，K=1。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/syx6.html