2011届高考数学集合第一轮复习

广东省2011届高三数学一轮复习：必修1复习讲义

第一章 集合

一、内容提示：

1. 集合中元素的表示和性质： （1）元素与集合：“∈”或“?”.

（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系. 2. 集合间的运算关系：

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为

S

A，即

S

A={x|x∈S且x?A}.

二、例题分析：

2

【例1】 设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）

A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q

322

【例2】 已知A={x|x＋3x＋2x＞0}，B={x|x＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.

三、典题精练：

1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是 （ ） A.（1，－1）

?x?1B.? C.{（1，－1）}

y??1? D.{1，－1}

2.设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是 （ ） ．．A.（

I

A）∪B=I B.（

2

I

A）∪（

2

I

B）=I C.A∩（

I

B）=? D.（

I

A）∩（

I

B）=

I

B

3.已知集合M={x|x＜4}，N={x|x－2x－3＜0}，则集合M∩N等于 （ ）

A. {x|x＜－2} B. {x|x＞3} C. {x|－1＜x＜2} D. {x|2＜x＜3} 4.已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（

R

A）∩B等于

A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {3，4} D. {4}

5.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x?N}，则M－（M－N）等于 （ ） A. N B. M∩N C. M∪N D. M

6.设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.

*

7.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ｝，C＝｛x｜x?A｝，则A、B、C之间的关系是___________________.

8.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.

2

9.已知集合A={x∈R|ax+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值为__________________. 10.记函数f（x）=log2（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）= (x?3)(x?1)的定义域为集合N.求：

（1）集合M、N；

（2）集合M∩N、M∪N.

2

11.已知A={x∈R|x+2x+p=0}且A∩{x∈R|x＞0}=?，求实数p的取值范围.

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12.若B={x|x－3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x－（a+a）x+a＜0}且A∩B=A？请说明你的理由.

四、方法反馈：

1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.

2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算. 3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.

4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.

5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.

五、答案参考： 例题分析

2

【例1】剖析：Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，

对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；

2

②m＜0时，需Δ=（4m）－4×m×（－4）＜0，解得-1＜m＜0. 综合①②知-1＜m≤0，∴Q={m∈R|-1＜m≤0}.∴P=Q 答案：C

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视. 【例2】 解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0， ① 由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1. ② 由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.

评述：集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法. 典题精练

?x?y?0?x?1,1.解析：?答案：C ??y??1.x?y?2??2.解析一：∵A、B、I满足A?B?I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的.

B A I

解析二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A?B?I.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的. 答案：B

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3.解析：M={x|x＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，

x-20123-1 ∴M∩N={x|－1＜x＜2}. 答案：C 4.解析：

R

A={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（

R

A）∩B={4}.答案：D

5.解析：M－N={x|x∈M且x?N}是指图（1）中的阴影部分.

M NM N(1) (2)

同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分. 答案：B

6.解析：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.∴A={5，2}，B={1，2}. ∴A∪B={1，2，5}.答案：{1，2，5} 7.解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛?，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案：BA，A∈C，B∈C

8.解析：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a≤1.

9.解析：若a=0，则x=－

a 1 2 答案：a≤1

1.若a≠0，Δ=4－4a=0，得a=1. 答案：a=0或a=1 2310.解：（1）M={x|2x－3＞0}={x|x＞}；

2N={x|（x－3）（x－1）≥0}={x|x≥3或x≤1}. （2）M∩N={x|x≥3}；

3}. 211.解：∵A∩{x∈R|x＞0}=?，

∴（1）若A=?，则Δ=4－4p＜0，得p＞1； （2）若A≠?，则A={x|x≤0}，

M∪N={x|x≤1或x＞

即方程x+2x+p=0的根都小于或等于0. 设两根为x1、x2，则

2

?Δ?4?4p?0,??x1?x2??2?0, ∴0≤p≤1. ?xx?p?0.?12综上所述，p≥0.

2

12.解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，则A={x|（x－a）（x－a）＜0}.

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（1）若a=a，即a=0或a=1时，此时A={x|（x－a）＜0}=?，满足A∩B=A，∴a=0或a=1.

?a?122

（2）若a＞a，即a＞1或a＜0时，A={x|0＜x＜a}，要使A∩B=A，则?2?1≤

?a?2a≤2，∴1＜a≤2.

2

2

（3）若a＜a，即0＜a＜1时，A={x|a＜x＜a}，要使A∩B=A，则?∴a∈?.

?a?2?a?12?1≤a≤2，

综上所述，当1≤a≤2或a=0时满足A∩B=A，即存在实数a，使A={x|x－（a+a）x+ a＜0}且A∩B=A成立.

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