上海交通大学附属中学高二第二学期期末考试数学试卷（含参考答案

上海交通大学附属中学

高二第二学期期末考试数学试卷

（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1. 设复数z满足(1?i)z?2i,则z?______?1?i______。 2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。

3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180?的扇形，则这个圆锥的体积是 4. 如图,在正三棱柱ABC?A1所成角 1B1C1中,AA1?6,异面直线BC1与AA的大小为5.

23? 。 3A1 C1 B1 ?,该三棱柱的体积为 183 。 61(2x?)6的展开式中的常数项是 60 。

xA B C 第4题 6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。

7. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法

共有 12 种。

8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的

染色方法共有_____24________种。 9. 从n个正整数1,2,?,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 1,则n? 8 。 1413 。 25 A B 11. 设复数z?x?yi(x,y?R,y?0)，z?2z?R，z在复平面上所对应点在 直线y?x上，则z= 2 。

12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点， 则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为

2C D 10 。 5第12题 13. 在直三棱柱A1B1C1?ABC中，底面ABC为直角三角形，?BAC??2，AB?AC?AA1?1. 已知Ｇ

与Ｅ分别为A1B1和CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GD?EF，则线段DF的长度的最小值为

5 。 5 1

【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则F(t1,0,0)????1110,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0?t2?1）（0?t1?1），E(。所以EF?(t1,?1,?)，

222????????11GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以t1?2t2?1，由此推出 0?t2?。又DF?(t1,?t2,0)，

22????????2215222DF?t1?t2?5t2?4t2?1?5(t2?)?，从而有 DF。 ?min55514. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 723 ． [解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B1C1的中心，PO?面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．

1因VP?ABC?S?ABC?PD

1113111 ?4?VO?A1B1C1

1?4??S?A1B1C1?OD，

3故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r．

记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答12图2．记正四面体 1的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 1 因?MPP1?

面PAB?6，有PM?PP1?cosMPP1?22r?3?6r2，故小三角形的边长

PE?PA?2PM?a?26r． 1小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

S?PAB?S?P1EF?322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4又r?1，a?46，所以

S?PAB?S?P1EF?243?63?183．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

2

15. 已知m,n为异面直线,m?平面?,n?平面?.平面α与β外的直线l满足l?m,l?n,则（D ）

A．?//?,且l//?

C．?与?相交,且交线垂直于l

B．???,且l??

D．?与?相交,且交线平行于l

16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器

口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ A ）

A．

17. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为

A．

500?cm3 3B．

866?cm3 3C．

1372?cm3 3D．

2048?cm3 3第16题 （ B ）

297727 B． C． D． 2002518100

(C )

18.

812014除以100的余数是

B．79

A．1 C． 21 D． 81

0120132014 解：812014?(80?1)2014?C2014 8092?C20148091?...C201480?C2014=m?102?2014?80?1(m?N) =m?10?161120?14

即81

20142除以100的余数为21。

三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。 （1）求证：OB⊥AC；

（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解：（1）连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O 上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。 （2）在RtΔOA B中，AB＝3．

又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，??ACB?30?,BC?3,AC?23,

VA?BOC?113AB?S?BOC?AB?OB?BC? 3623

20. 如图,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。 （1）求证：直线AB1∥平面C1DB；

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。 证明：（1）连B1C交BC1于E，连DE, 则DE∥AB1， 而DE?面C1DB，AB1?面C1DB， ∴AB1∥平面C1DB

D A1 B1 A

B

C1

C

（2）由（1）知∠DEB为异面直线AB1与BC1所成的角，在?DEB中，DE?5，BD?43，BE?5

cos?DEB?

50?481?。

2?5?52521. 已知：对于任意的多项式f(x)与任意复数z，f(z)?0?x?z整除f(x)。利用上述定理解决下列

问题：

（1）在复数范围内分解因式：x?x?1； （2）求所有满足x?x?1整除x222n2?xn?1的正整数n构成的集合A。

13?i 22131322所以x?x?1?(x??)(x??)?(x??i)(x??i)

22222解：（1）令x?x?1?0解得两个根?,?，这里???（2）记f(x)?x2n13i，?3?1 ?xn?1。x2?x?1?0有两个根?,?2，这里????22

22. 设f(x)?(1?x)?Cn?Cnx?Cnx???Cnx012 （1）求S1?Cn?Cn?Cn?????Cnn；

n0122n?1n?1

nn，利用赋值法解决下列问题： ?Cnx（n是正整数）

4

135n?1 （2）n为偶数时，求S2?Cn； ?Cn?Cn?????Cn258n?1 （3）n是3的倍数时，求S3?Cn。 ?Cn?Cn?????Cn01nn解：令f(x)?(1?x)n?Cn?Cnx?????Cnx， 01n（1）f(1)?2n?Cn，所以S1?2 ?Cn?????Cn01n?1n（2）f(?1)?0n?Cn， ?Cn?????Cn?Cnn所以S1?Cn?Cn?Cn?????Cn（3）记???135n?1?f(1)?f(?1)?2n?1

213|n时，x2n?xn?1?0，当3|n时，x2n?xn?1?3， ?i，则?3?1。当3?2203n14n?225n?1记t0?Cn，t1?Cn，t2?Cn ?Cn?????Cn?Cn?????Cn?Cn?????Cn01n， f(1)?2n?Cn?Cn?????Cn01n012345n， f(?)?(1??)n?Cn??Cn??????nCn?Cn??Cn??2Cn?Cn??Cn??2Cn?????Cn01n012345n f(?2)?(1??2)n?Cn??2Cn??????2nCn?Cn??2Cn??Cn?Cn??2Cn??Cn?????Cn

?t0?t1?t2?2n? 则?t0??t1??2t2?(1??)n?(??2)n?(?1)n

?22nnnt??t??t?(1??)?(??)?(?1)012?2从上到下各式分别乘以1,?,?，求得

1n1n2n?(?1)nnn2n25n?1t2?(2?(?1)??(?1)?)?(2?(?1))。即S3?Cn?Cn?????Cn?

333

23. 宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表

面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。 （1）求AC两点间的球面距离； （2）求P点的经度；

（3）求AP两点间的球面距离。

解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’， （1）那么OO’=rsin60??所以AC=

31r。O’A=O’C=r。又因为∠AO’C=60°。 22171r。那么∠AOC=2arcsin（arccos）

48217两点间的球面距离为2rarcsin（rarccos）

48（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。 （3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。 由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么

DADO'1??。而O’C平行DBDO2 5

OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。

DCDO'1??。 DPDO2

6

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