推荐K122019届高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第2讲基本

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第2讲 基本初等函数、函数与方程

高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x－2x＋a(e1A.－

2

2

2

x－1

＋e

－x＋1

)有唯一零点，则a＝( )

D.1

1B. 3

x－1

1C. 2

＋e

1－x解析 f(x)＝(x－1)＋a(e

2

)－1，令t＝x－1，

则g(t)＝f(t＋1)＝t＋a(e＋e)－1. ∵g(－t)＝(－t)＋a(e＋e)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.

∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1

∴2a－1＝0，解得a＝.

2答案 C

1

2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系是( )

23A.a>b>c C.c>b>a

B.b>a>c D.c>a>b

2

－tt－tt1

解析 c＝log1＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝

23ln 2<1，故c>a>b. 答案 D

??e，x≤0，

3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝?g(x)＝f(x)＋x＋a.若

?ln x，x>0，?

xg(x)存在2个零

点，则a的取值范围是( ) A.[－1，0) C.[－1，＋∞)

B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

1

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解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程

f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. 答案 C

4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.

解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×

600

x＋4x＝

3 600

x＋4x≥2

3 600

×4x＝

x3 600

240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.

x答案 30

考 点 整 合

1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a·a＝amnmnm＋n；

(2)(a)＝a；

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaM＝nlogaM； (6)alogNmnMNna＝N；

logbN(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).

logba2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝a(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0

3.函数的零点问题

(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数

xy＝g(x)的图象交点的横坐标.

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利

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用两个函数图象的交点求解.

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈

.

文字语言数学语言数学应用检验作答

热点一 基本初等函数的图象与性质

【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )

|x|

(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函1

4，x≤，??2

数，且函数g(x)＝?在R上有最大值，则a的取值范围为( )

1

??logx，x>2

x|a|

?

??C.?－?

A.?－

21?，－? 22?21?，－? 22?

|x|

1??B.?－1，－?

2??D.?－?

?2??1?，0?∪?0，2?

?2??

解析 (1)由于y＝a的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.

(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，

??a<0，1

∴?∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，

2?－2a－1≥0，?

1

4，x≤，??21?1?，1∴|a|∈?在R上?∪(1，＋∞).当x≤2时，g(x)＝4∈(0，2]，又g(x)＝??2?1??logx，x>2

xx|a|

1112?1?2

有最大值，则当x>时，log|a|x≤2，且|a|∈?，1?，∴log|a|≤2，∴|a|≤，则|a|≤，

2222?2?121

又a≤－，∴－≤a≤－. 222答案 (1)B (2) A

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3

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探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.

2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件. 【训练1】 (1)函数y＝ln |x|－x的图象大致为( )

2

2

2

35??x＋，x<1，f(t)(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝?44则满足f[f(t)]＝2的t的取值范围是

??2x，x≥1，________.

12

解析 (1)易知y＝ln|x|－x是偶函数，排除B，D.当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，

x12?2

?时，y′＝x－2x>0，y＝ln x－x单调递增，排除C.A项满足. 2?

t<1，????t≥1，

(2)若f(t)≥1，显然成立，则有?35或?t

?2≥1，t＋≥1???44当x∈?0，1

解得t≥－. 3

若f(t)<1，由f[f(t)]＝2

f(t)

??

，可知f(t)＝－1，

35

所以t＋＝－1，得t＝－3.

44

??1???. t＝－3或t≥－综上，实数t的取值范围是t?3?????1?

答案 (1)A (2)?t?t＝－3或t≥－?

3

?

?

?

热点二 函数的零点与方程

考法1 确定函数零点个数或其存在范围

1

【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )

x?1?A.?0，? ?2??1?B.?，1? ?2?

C.(1，2) D.(2，3)

π??(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]的零点个数为________. 6??解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.

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f ??＝log2－＝－1－2＝－3＜0， 2

111213

?1???

11212

f(1)＝log21－＝0－1＜0， f(2)＝log22－＝1－＝＞0，

f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，

1

∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.

12331122

xπ?πππkπ?(2)由题意知，cos?3x＋?＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，6?6293?π4π7π

当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)

999在[0，π]的零点个数为3. 答案 (1)C (2)3

探究提高 1.函数零点 (即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法：

(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；

(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.

?π?2

【训练2】 函数f(x)＝2sin xsin?x＋?－x的零点个数为________.

2??

解析 f(x)＝2sin xcos x－x＝sin 2x－x，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x的图象如图所示：

2

2

2

2

由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2. 答案 2

考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围

??x＋2ax＋a，x≤0，

【例2－2】 (2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝?若关于2

?－x＋2ax－2a，x>0.?

2

x的方程

f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.

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解析 当x≤0时，由x＋2ax＋a＝ax，得a＝－x－ax；当x>0时，由－x＋2ax－2a＝ax，

??－x－ax，x≤0，2

得2a＝－x＋ax.令g(x)＝?2 作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)

?－x＋ax，x>0.?

2

222

的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的

424实数解，则a<<2a，解得4

4

a2a2a2

a2

答案 (4，8)

探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.

解析 令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实7根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.

87

答案 － 8

热点三 函数的实际应用

【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热

3x＋5层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，

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6

2

2

2

2

2

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40

∴C(x)＝(0≤x≤10)，

3x＋5

20×40800

∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).

3x＋53x＋5800

(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.

3x＋5令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 800

则y＝2t＋－10≥2t800800

2t·－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，

tt此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.

∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点

(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.

(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.

【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站

M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建

管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为( ) A.52海里 C.5海里

5

B. 2海里 2D.10海里

解析 设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，y＝a(3x＋10＋

22?1

100－x)，0≤x≤100，则y′＝?3×2×2???3x－1?－1?a＝??a.令y′＝0，得

x2＋100??x2＋100?

x52522

3x＝x＋100，解得x＝.∴当x＝时，y取得最小值.

22答案 B

1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.

2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.

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(2)零点存在性定理注意两点：

①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：

(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.

(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.

一、选择题

1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10.则下列各数中与最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.10

361

33

80

361

axMNB.10

80

53

C.10

73

D.10

93

M3361

解析 M≈3，N≈10，≈80，

N10

361

M3M3618093

则lg≈lg80＝lg 3－lg10＝361lg 3－80≈93.∴≈10.

N10N答案 D

2

2

2?33?32??2.(2018·潍坊三模)已知a＝??，b＝??，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )

?3??4?43A.a2

B.b

232

解析 ∵y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，∴a1.因此c>b>a.

3443答案 A

3.函数f(x)＝ln x＋e(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )

x?1?A.?0，?

?e??1?B.?，1? ?e?

C.(1，e) D.(e，＋∞)

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解析 函数f(x)＝ln x＋e在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点. 1?1?＋

当x→0时，f(x)→－∞；又f ??＝ln＋ee＝ee－1>0，

e?e?

1

1

x?1?x∴函数f(x)＝ln x＋e(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是?0，?.

?e?

答案 A

4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( ) A.a＋b

B.ab

1111

解析 由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋

abab11a＋blog0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab

abab答案 B

??ln（x＋1），x≥0，5.(2018·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝?3若函数

?x－3x，x<0，?

y＝f(x)－k有三

个不同的零点，则实数k的取值范围是( ) A.(－2，2) C.(0，2)

3

B.(－2，1) D.(1，3)

2

解析 当x<0时，f(x)＝x－3x，则f′(x)＝3x－3，令f′(x)＝0，

∴x＝±1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f(x)＝ln(x＋1)在x≥0上单调

递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＝2，且f(0)＝0.故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同零点. 答案 C 二、填空题

6.(2018·浙江卷改编)已知λ∈R，函数f(x)＝?点，则λ的取值范围是________.

解析 令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4.当x<λ时，x－4x＋3＝0，

2

?x－4，x≥λ，?

2

??x－4x＋3，x<λ.

若函数f(x)恰有2个零

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则x＝1或x＝3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)

7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝

aaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值

4

为________.

解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 1nt5n∴函数y＝f(t)＝ae满足f(5)＝ae＝a，

2

t11?1?5

可得n＝ln，∴f(t)＝a·??，

52?2?因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，

4

kkaf(k)＝a·??＝a，即??＝，

22

∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案 5

??ln x，x>0，

8.(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝?若方程

?2x＋1，x≤0，?

?1?51

??4?1?51??4

f(x)＝ax有三个不同的实数

根，则a的取值范围是________.

解析 在同一坐标系内，作函数y＝f(x)与y＝ax的图象，当y＝ax是y＝ln x的切线时，设切点P(x0，y0)，∵y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x11＝，∴y0＝ax0＝1＝ln x0，x0＝e，故a＝.故y＝ax与y＝f(x)0x0e

1的图象有三个交点时，0

?1?答案 ?0，? ?e?

三、解答题

?log3（x＋1），x>1，?

9.(2018·雅礼中学月考)已知函数f(x)＝?

?log（5－x），x≤1.2?

(1)求方程f(x)＝3f(2)的解集；

(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数. 解 (1)f(2)＝log33＝1，

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当x>1时，由f(x)＝3f(2)＝3得x＋1＝27，即x＝26. 当x≤1时，由f(x)＝3得5－x＝8，即x＝－3. 故方程f(x)＝3f(2)的解集为{－3，26}.

(2)当x>1时，f(x)＝log3(x＋1)递增，且f(x)∈(log32，＋∞). 当x≤1时，f(x)＝log2(5－x)递减，且f(x)∈[2，＋∞). 由g(x)＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，

故当a∈(－∞，log32]时，g(x)的零点个数为0； 当a∈(log32，2)时，g(x)的零点个数为1； 当a∈[2，＋∞)时，g(x)的零点个数为2.

10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据

10统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故30

有a＋blog3＝0，

10即a＋b＝0；

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s， 90

故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.

10

???a＋b＝0，?a＝－1，

解方程组?得?

??a＋2b＝1，b＝1.??

Q(2)由(1)知，v＝－1＋log3

.

10

Q所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.

1010

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位. 11.(2018·江苏卷选编)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

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(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x＋2x－2不存在“S点”； (2)若函数f(x)＝ax－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值. (1)证明 函数f(x)＝x，g(x)＝x＋2x－2， 则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得

??x＝x＋2x－2，?此方程组无解， ?1＝2x＋2，?

2

2

2

2

因此，f(x)与g(x)不存在“S点”. (2)解 函数f(x)＝ax－1，g(x)＝ln x， 1则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.

2

x设x0为f(x)与g(x)的“S点”， 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得

ax0－1＝ln x0，2????ax0－1＝ln x0，

即?2 (*) ?1

?2ax＝1，2ax＝，00??x0?

1

1－

得ln x0＝－，即x0＝e2，则a＝

2

2

e＝. 1?22?2?e－??2?

1

1

e－

当a＝时，x0＝e2满足方程组(*)，

2

即x0为f(x)与g(x)的“S点”. e

因此，a的值为. 2

K12教育资料（小初高学习） 12

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