人教B版(2019)必修第四册过关斩将(高手篇)第九章解三角形9.1.1正弦定理

高中数学高考同步试卷

人教B 版（2019）必修第四册过关斩将（高手篇）第九章解

三角形9.1.1正弦定理

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ?中，已知a =

_______，)

22cos 1cos 2A C B +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =?，那么缺失的条件是什么呢？

问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？

（2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？

（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？ 2．在ABC ?中，根据下列条件解三角形：

（1）2,30a b A ===?；

（2）2,45a b A ===?；

（3）5,2,120a b B ===?.

3．在ABC ?中，若cos a b C =，如何判断ABC ?的形状？

4．在ABC ?中，若2cos a b C =，如何判断ABC ?的形状？

5．在ABC ?中，若()()lg sin sin 2lgsin lg sin sin A C B C A +=--，判断此三角形的形状.

6．在三角形ABC 中，若()()cos sin cos sin a a B B b c C A -?=-，试判断三角形的形状.

7．某城市为进一步美化环境，准备在一块绿地中开辟一块三角形PMN 区域种植一种漂亮的花供市民观赏，其中一条边MN 的长度已经确定为90米，现要求120MPN ∠=?，并将边PM ，PN 建成小路，供市民沿小路步行赏花，可使得两条小路的长度之和最大？

8．在ABC ?中，若3C B =，求c b 的取值范围.

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9．在ABC ?中，若60,B b =?=

ABC ?的周长的最大值.

二、单选题 10．若满足60,12,B AC BC k =?==的ABC ?恰有一个，则k 的取值范围是（ ）

A ．{k k =

B ．{}012k k <≤

C ．{}12k k ≥

D ．{012k k k <≤=或

三、填空题

11．ABC ?中，已知2,60a b A ===?，则B =_____

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参考答案

1．（1）45,75B C =?=?；（2

）2b c =

=；（3

）用c 【解析】

【分析】

（1）根据降幂公式，以及三角形内角和为180?，可得结果. （2）利用正弦定理，可得结果.

（3）根据正弦定理，简单判断，可得结果.

【详解】

（1）由()22cos

=1+cos 2A C A C ++， 即()22cos =1+cos 1cos 2

A C A C

B ++=-

又)

22cos 1cos 2A C B +=

所以cos 2B =，又()

0,180B ∈ 所以45B =，则180456075C =--=

（2）由sin sin sin a b c A B C ==

且a =所以可知

2sin 2sin a B b A ===由

()6sin 75

sin 4530+=+=

所以

62sin sin 2a C c A +===

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（3）只能用c =

若用b =sin sin a B A b == 那么60A =或120，故有两个值，

所以不能用b =

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，还考查了降幂公式，属基础题.

2．（1）45,105,1B C c ??===或135,15,1B C c ??===；（21；（3）无解

【分析】

（1）利用正弦定理，然后进行验证，可得结果.

（2）利用正弦定理，以及大边对大角，可得结果.

（3）根据大边对大角，简单判断，可得结果.

【详解】

（1）由sin sin a b A B

=，可得

sin sin

2b A B a ?===， 所以45B =?或135B =?.

当45B =?时，1803045105C ????=--=， 由sin sin a c A C

=

可得sin 1sin sin 30a C c A

?

?===； 当135B =?时，1803013515C =?-?-?=?， 由sin sin a c A C

=，可得

sin

1sin sin 30a C c A ?

?===.

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所以45,105,1B C c ??===

或135,15,1B C c ??===

（2）由sin sin a b A B

=，可得

sin 1sin 2b A B a

===， 所以30B =?或150B =?.

因为b a <，所以B A <，

因此30B =?（150B =?舍去），

所以1804530105C ????=--=， 由sin sin a c A C

=可得， sin

sin a C c A ==2sin1051sin 45

?

?=. （3）由sin sin a b A B

=，可得

sin 5sin120sin 124

a B A

b ?===>， 所以角A 不存在，所以该三角形无解.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理解三角形，属基础题.

3．直角三角形

【分析】

根据正弦定理，边化角，然后利用两角和的正弦定理，可得结果.

【详解】

由cos a b C =得sin sin cos A B C =?，

所以()sin sin cos B C B C +=，

因此cos sin 0B C =，

必有cos 0B =，所以90B =?，

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故ABC ?为直角三角形

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属基础题.

4．等腰三角形

【分析】

根据正弦定理，边化角，然后利用两角和的正弦定理，可得结果

【详解】

由2cos a b C =得sin 2sin cos A B C =，

所以()sin 2sin cos B C B C +=，

因此()sin 0B C -=，

必有B C =，故ABC ?为等腰三角形

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属基础题.

5．直角三角形

【分析】

根据对数的运算以及正弦定理的应用，可得结果.

【详解】

由已知得

lg(sin sin )A C +lg(sin sin )2lgsin C A B +-=，

所以()222lg sin sin lgsin C A B -=，

因此222sin sin sin C A B -=，

由正弦定理可得222c a b -=，

即222c a b =+，故ABC ?是直角三角形.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属基础题.

6．等腰三角形或直角三角形

【分析】

根据正弦定理，把边化角，可得结果.

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【详解】

因为()()cos sin cos sin a a B B b c C A -=-，

所以

sin cos sin sin cos sin a B a B B b A c C A -=-，

由正弦定理可知sin sin a B b A =，

所以cos sin cos sin a B B c C A =，

即sin cos sin sin cos sin A B B C C A =?，

又sin 0A ≠，所以cos sin sin cos B B C C =，

于是sin 2sin 2B C =，

因此22B C =或22180B C +=?，

即B C =或90B C +=?，

故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属基础题.

7．【分析】

根据正弦定理，表示出PM PN +，然后结合正弦函数性质，可得结果.

【详解】 由正弦定理得sin sin PM PN N M =90sin120?

=，

所以)sin sin PM PN M N +=+，

则()sin sin 60PM PN M M +=+?-??

即1sin 2PM PN M M ?+=+???

化简可得：()60

PM PN M +=+ 所以当()sin 601M +=时，

()

max PM PN +=

故PM PN +的最大值为

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【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，这种类型问题一般会结合三角函数，属中档题. 8．()1,3

【分析】

利用正弦定理，把边化角，结合二倍角公式，可得结果.

【详解】

由正弦定理可得

sin sin c C b B =sin 3sin B B = 所以

c b sin 2cos cos 2sin sin B B B B B

+= 所以c b 22cos cos 2B B =+24cos 1B =- 因为3,180C B A B C ?=++=，

所以045B ??<<cos 1B <<， 因此214cos 13B <-<， 即13c b <<，故c b

的取值范围是()1,3. 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，还考查了二倍角公式，属中档题.

9．【分析】

根据正弦定理，将ABC ?的周长用角度来表示，利用正弦函数的性质，可得结果.

【详解】

由正弦定理可得

sin a A =sin sin sin 60c b C B ?

===

因此,a A c C ==，

所以ABC ?的周长

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)

sin sin l a b c A C =++=+因为60B =?，所以120A C +=?，

120C A =?-，

所以

()

sin sin 120l A A =+?-+??

1

sin sin 2l A A A ?=++???

所以l ()30A =+?+

又因为0120A ??<<，

所以30A ?<+30150??<，

因此当3090A +?=?，即60A =?时，

l 取得最大值，为

即ABC ?的周长的最大值为【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，这种类型问题一般会结合三角函数，属中档题. 10．D

【分析】

根据两边及其一边所对的角，利用AC 与sin BC B 进行比较，可得结果.

【详解】

因为ABC ?恰有一个,所以

当BC AC >时，则sin BC B AC =，

所以 k =

当BC AC ≤时，即012k <≤.

故选：D

【点睛】

本题主要考查两边及其一边所对的角判断三角形的个数，属基础题. 11．30

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【解析】

∵2,60a b A ===?，

∴由正弦定理可得：212bsinA sinB a ===， ∵b <a ,可得B <60?， ∴B =30.?

故答案为30.?

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