排列组合概率与算法

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排列组合与排列数和组合数复习排列、组合的定义及排列数和 组合数的计算

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一、基本内容

1、计数原理：加法原理(分类)与乘法原理(分步)使用原则：先分类后分步 应用示例 流量问题等\染色、花坛问题等等

2、排列与组合 1)排列与组合定义

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2)排列数与组合数

公式：Anm=

Cnm=

注意问题：(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 数与组合数性质；必胜429页例1、2

如：An6-n+Cn2n-5=2)计数原理与排列组合应用问题

排列问题：(1) “在”与“不在”(2) “邻”与“不邻”问题 (3) “定序” 组合问题: (1)分堆问题 (2)几何问题

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排列与组合综合：分配问题.原则：先组合后排 列 3、二项式定理

(a+b)n=原理：

引申：多项式1)特殊项问题：展开式的通项式、最大(小)项、 系数最大(小)项、二项式系数最大(小)项等 注意：特殊项的名称如有理项、常数项等

2)系数问题：(1)二项式系数及其性质

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3)整除与余数问题问题4)近似问题

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附：排列数组合数部分性质：1m m m 2 m An nAn 1 n m 1 An 1 An An 2 1 2 n An n! m m m Cn Am Am m!

2 3 4

n, m N , n m n 1 ! n 1 n! n n! n! n n! n 1 ! n! 1 Cnm Cnn mn n 1 1 1 1 n 1 ! n 1 ! n 1 ! n! n 1 !

2 Cnm 1 Cnm Cnm 1

n n n n 特例：Cn Cn 1 Cn 2 Cn m 0 1 2 m m 1 Cn Cn 1 Cn 2 Cn m Cn m 1 n n n n An An 1 An n A2 n 1 0 1 2 m An An 1 An 2 An m m 1 Cn m 1 0! 1! 2! m!

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二、基本问题与方法

1、排列数与组合数的计算

1 C 2C 3C 9C 1 2 3 8 9 2 C9 4C9 7C9 22C9 25C9 n n 1 2 2 3 3 2Cn 2 Cn 6 4Cn n 2 Cn1 9 2 9 3 9 9 9

例1、计算下列各式的值

例2、证明：

1 if

i, n, m Z ,1 i m n then n A m Ai i m i

i n

1 1 1 1 2 1 2 n 1 2! 3! n! 2

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练习：

55 1、 用 排 列 数 表 示 n 56 n 69 n n N且n 55 可 为 _____.5 4 2A8 7A8 38 n 3n 1 2、 计 算 ： C3n C 21 n 5 8!A 9 -

2 2 2 2 A 3 A 2 A 5 A100 4 3 2 2 3x 6 4x 2 3、 解 方 程 1 3Ax 2Ax 1 6Ax 2 C18 C18 : x 4、 解 不 等 式 : 9 6A9 -2 2 C 4 C6 1 A x x x

1 5、 证 明 ：A

m n 1

A mAm n

m 1 n

6、满足 C

n 5 n

C

3 n 2

2C

m 1 m 1 n 2 C n 1 C m 1 n n 1 n m2 n 2

n 2的n ___

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2、排列组合应用题

1)、从5位同学中选派4位同学在星期

五、星期六、 星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不 同的选派方法共有( ) A.40种 B.60种 C.100种 D.120种B 2)、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位 同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共 有( ) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种D

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3)、记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照， 要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同 的排法共有( ) A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 4)、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个 数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 ( )个 1 2 4 2 4 2 2 4 1 C 26 10 D A26104 A C 26 A10B A26 A10 C 5)、用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复 数字，并且比20000大的五位偶数共有( )个 (A)288(B)240(C)144(D)126 3、二项式定理的应用B

A

B

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2 例3、求证：n 1 n 5 1 例 4、已知等比数列a n 的首项是 x 2 展开 5x m 2m 8 m 式的常数项，公比为 C 4m A 4 , Sn 为数列 a n }的 { 24 前n项和.求C1n S1 C 2 S2 C n Sn n nn

1 例1、求和： 3C 9C 27C 3 C 5 2 1 1 例2、 2 3 的常数项为________ x x A1=1 1 Q=4 n 2 ( 2 x ) 的常数项为70,则n _______ x2 12 4 12 6 12 6 12 12

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1 例5、 求证： 31 27 6

2n 2 2 27

8n 9能被64 整除27 27

2 求C C C 除以9的余数 3 求0.998 的近似值，使误差小于 . 0.001(4)99 的个位和十位数分别是______33

例6、若 1 2

10

a b 2 , 则a ___, b ____ .

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概率与分布列1、复习古典概率、条件概率、几何概 型的有关概念与计算方法 2、复习分别列的特征与求法以及随机 变量的期望与方差的数学含义和求法

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一、基本内容

1、几个概念随机事件、必然事件、不可能事件、等可能事件、 互斥事件、互为独立事件、随机变量、离散型随 机变量及其概率分布、连续型随机变量及其概率 分布曲线、期望、方差、均方差、两点分布与成 功概率、超几何分布、二项分布、正态分布与正 态曲线及其表达式特点

2、概率及其计算1)等可能事件的概率计算方法

2)几何概型的计算方法

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3)条件概率及其计算 4)连续型随机事件的概率的计算：积分 3、基本公式m 1)古典概率 P A n

2)互斥事件的概率 P A B P A P B 3)相互独立事件的概率 P AB P A P B

P A 1 P A P AB 5)条件概率 P A | B P B n 6)离散型随机变量数学期望 E xi pi4)对立事件的概率i 1

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二项分布： B n

, p 中E np

D 7)离散型随机变量的方差： xi E pin 2

二项分布： B n, p 中D npq2

i 1

u N 0,1 8)正态分布 N u, 二、基本问题与方法 一)、概率问题m 1)古典概率： A 中m,n 的标准一致→等 P n 可能

取球问题：(1)一次性取：列举法或组合数法

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(2)分次取：有放回→先分类后分步计算、无放回 →列举或用排列组合例1、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从 中任意摸出4个球，求下列事件发生的概率： 1)摸出4个白球 少摸出1个黑球 2)摸出2个或3个白球 3)至

例2、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从 中任意摸出4个球，一次摸1个，摸出后不再放回， 求下列事件发生的概率： 1)摸出4个白球 少摸出1个黑球 2)摸出2个或3个白球 3)至

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例3、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从 中任意摸出4个球，一次摸1个，摸出后记下结果 后再放回，求下列事件发生的概率： 1)摸出4个白球 少摸出1个黑球 几何概型 例1、在等腰直角三角形OAB中，O为直角顶点. 1)过O作射线OC交AB于C,求使得∠AOC和 ∠BOC都不小于30°的概率 2)在斜边AB上取 一点C,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的 概率 . 2)摸出2个或3个白球 3)至

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条件概率：在某特定前提下的概率

例1、(1)设P(A|B)=P(B|A)=0.5,P(A)=0.25,则 P(B)=_______;(2)*P(B|A)=0.5,P(A)=0.6,则 P(A+B)=__________.例2、 抛掷红、蓝两颗骰子， 设事件A为“蓝色骰

子的点数为6”事件B为“两颗骰子的点数之 和大于8” .

1 求P A ,P B ,P AB 2 当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问 两颗骰子的点数之和大于 的概率为多少？ 8

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3 例3、某种元件用满 6000 小时而未坏大概率为 ， 4 1 某种元件用满 10000 小时而未坏大概率为 ，现 2 有 一个此种元件，已经用 6000 小时，求它能 过 用到10000 小时的概率. 例 4、袋中有4个白球、个黑球，从中依次取出 3 2 个，求取出的两球，在 第一次取得白球的情况 下第二次取得黑球概率 .

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2)知概率求概率问题：弄清复合事件的类型

事件和(互斥事件只是一个发生)、事件积 (相互独立事件同时发生)、n次独立实验中某 事件发生k次的概率

例、电报信号由“.”与“-”组成，设发报台传送 “.”与“-”之比为3:2,由于通讯系统存在干扰， 引起失真，传送“.”时失真的概率为0.2(传送 “.”而收到“-”),传送“-”时失真的概率为0.1. 若收报台收到信号“.”,求发报台确实发出“.” 的概率 (0. 923)

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