切比雪夫I型低通滤波器设计

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实践教学

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兰州理工大学

计算机与通信学院

2013年春季学期

信号处理课程设计

题 目：切比雪夫I型低通滤波器设计 专业班级： 通信工程三班 姓 名： 学 号： 指导教师： 蔺莹 成 绩： 1

摘要

本次课程设计将完成一个数字切比雪夫低通IIR滤波器的设计，利用双线性变换和冲激响应不变法完成设计，并利用MATLAB进行仿真。

已知数字滤波器的性能指标为：通带截止频率为:

?p?0.4?,通带波动为Rp?1dB,?s?0.45?,阻带波动为RP?15dB，要求设计满足以上技术指标的切比雪夫I型低通滤波器。绘制出理想冲激响应和实际冲激响应结果图。并且给出幅度响应结果图。

关键字：数字滤波器 切比雪夫 双线性变换 冲激响应不变

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目录

前言 ..................................................... 1 一．数字滤波器 ........................................... 2 1．1 数字滤波器的概念 ................................. 2 1．2数字滤波器的分类 .................................. 2 1．3 IIR数字滤波器设计原理 ............................ 3 二．切比雪夫滤波器 ....................................... 5 三．双线性变换法 ......................................... 8 四．脉冲响应不变法 ...................................... 12 五．切比雪夫低通滤波器的设计 ............................ 15 5．1 程序流程图 ...................................... 15 5．2 设计步骤 ........................................ 15 六．总结 ................................................ 18 七．参考文献 ............................................ 19 致谢 .................................................... 20 附录 .................................................... 21

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前言

随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器（DF，Digital Filter），根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限冲激响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。与FIR滤波器相比，IIR的实现采用的是递归结构，极点须在单位圆内，在相同设计指标下，实现IIR滤波器的阶次较低，即所用的存储单元少，从而经济效率高。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写。它是美国的MathWorks公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。

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一．数字滤波器

1．1 数字滤波器的概念

滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性: Y(ej?)?X(ej?)H(ej?) （1-1） 其中Y(ej?)、X(ej?)分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, H(ej?)是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱X(ej?)经过滤波后X(ej?)H(ej?),因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择H(ej?)，使得滤波后的X(ej?)H(ej?)满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

1．2数字滤波器的分类

按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。

经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波

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器、带通滤波器、带阻滤波器。

Ha(jΩ)Ha(jΩ)低通0ΩHa(jΩ)0高通ΩHa(jΩ)带通cΩ0带阻Ω图1 各种理想滤波器的幅频特性

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，

其差分方程为：

（1-2） y(n)??aix(n?i)??biy(n?i)

i?0i?1NN系统函数为：

H(z)??brZr?0Nk?1M?r （1-3）

1??aiZ?k设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

1．3 IIR数字滤波器设计原理

IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为

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H(Z)??kbz?kM1??akz?kk?1k?0N?n(z)x(z) （1-4）

假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平 面上去逼近，就得到数字滤波器。

设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。

方法1 模拟原 方法2

模拟原型低通 冲激响应不变双线性变换 数字原型低通 频率 交换 模拟高通、带通和带阻 型低通 频率 交换 模拟高通、带通和带阻 冲激响应不变数字高通、带通和带阻 双线性变换 图2.数字滤波器设计的两种方法

方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法一的缺点是，由于产生混叠是真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。

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二．切比雪夫滤波器

目的：构造一个模拟低通滤波器。

为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。

模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。这里介绍切比雪夫滤波器。

切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止

处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需

要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的

。切比雪夫滤波器的

在通带范围内是等幅起伏的，所以在

同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为

A(?2)?H(j?)?2121??2VN(?) (2-1) ??式中Ωc为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带

不动愈大。VN（x）是N阶切比雪夫多项式，定义为

?x?1?cos(Narcosx)VN(x)??x?1??cosh(Narcoshx)2Ha(j?)??0?1 (2-2) 1??2

切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示：

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N为偶数，cos(

2

)=1，得到min，

2 Ha(j?)??0?1 （2-3） 21??

N为奇数，cos2(

2，得到max，

（2-4）

Ha(j?)??0?1

图3 切比雪夫滤波器的振幅平方特性

有关参数的确定: a、通带截止频率：

预先给定;

b、与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成

Ha(j?)maxHa(j?)min22??10lg?20lgHa(j?)maxHa(j?)min?20lg111??2

（2-5）

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所以, ??10lg1??2, ?2?100.1??1 给定通带波纹值

分贝数后，可求得?2。

?? ｃ、阶数N:由阻带的边界条件确定。?s、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点?s处,要求滤波器频响衰减到1/A2以上。

2 ???s时，Ha(j?)?1 2A(2-6)

1?1A2

1??2V2(?s)N?c??s VN????c?????

(2-7)

A2?1?

(2-8)

X?1时，VN?x??cosh?Narcoshx?

arcoshA2?1? 得N?

arcosh??s?c?（2-9）

因此，要求阻带边界频率处衰减越大，要求N也越大，参数N，

给定后，查阅有关模拟滤波器手册，就可求得系统函数Ha(s)。

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??

三．双线性变换法

为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3

??/ Tj?j?1jIm[z]

－1o1oRe[z]?o－??/ T?1S平面S1平面Z平面图4双线性变换的映射关系

为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现

??式中,T仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-9）写成

2ej?1T2?ej?1T j???j?1T2Te?ej?1T222??1T?tan?? （3-1） T2??

(3-2)

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得

2es1T2?e1s??sT2Te1?e?s1T?sT2121?sT2?s1T?21?e1 (3-3) ?tanh?????s1TT2T1?e??再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面

z=es1T

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从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

21?z?1s? （3-4) ?1T1?zT2s?s2T （3-5) z??T21?s?s2T1?式（1-10）与式（1-11）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换

式（1-9）与式（1-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z=ejω，可得

21?e?j?2??? s??jtan???j? （3-6）

T1?e?j?T2??即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 其次，将s=σ+jΩ代入式（1-12），得

2???j? z?T2???j?T因此

z??2?2???????T??2?2???????T?22 （3-7）

由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（1-12）所示，重写如下：

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??2???tan?? （3-8） T?2?

上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图1-4所示。

由图1-4看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 2?＝

－?oTtan??2???图5双线性变换法的频率变换关系

但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-12）及图1-4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。

Ha(jΩ)oo?????oarg[Ha(jΩ)]ooH(ej?)o???arg[H(ej?)]图6双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

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对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

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四．脉冲响应不变法

利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT) 式中,T是采样周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得

1?1?2???X(z)|z?gxT??Xa(s?jk?s)??Xa?s?jk? (4-1)

Tk???Tk????T?则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。

o－??/ T－3??/ TS平面j?3??/ TjIm[z]??/ T?－1o1Re[z] Z平面

图7 脉冲响应不变法的映射关系

由（2-2）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为

1????2?k? H(e)??Ha?j? (4-2)

Tk????T?j?这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即

Ha(j?)?0 ???T??s (4-3) 2才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即

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六．总结

此次Matlab课程设计是在一定的理论基础之上进行的，在先修课程《信号与系统》与《数字信号处理》中，大量有Matlab设计方面的知识，所以做起来还比较容易，而且经过了自己的亲身实践，学到了许多实践方面的知识。

首先，在信号滤波系统中，有时因为模拟滤波器阶数太高，硬件占用空间太大为某些仪器的实现设置了障碍，而对于一些窄带情况下的低通滤波器用模拟手段往往很难实现。在这些情况下，数字滤波器将会是一个很好的解决办法。MATLAB信号处理工具箱提供了丰富而简便的设计、实现FIR 和IIR 的方法，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用，特别是滤波器的表达方式和滤波器之间的相互转换显得十分简便。

其次，IIR数字滤波器的设计和模拟滤波器的设计有着紧密的关系。通常要先设计出适当的模拟滤波器，再通过一定的频带变换把它转换成为所需的数字IIR滤波器。此外，任何数字信号处理系统中也还不可避免地用到模拟滤波器，比如A/D变换器前的抗混叠滤波器和D/A变换器后的平滑滤波器，因此模拟滤波器设计也是很重要的。

最后，在比较设计滤波器的方法上应该明确其技术指标以及某些参数的实际意义。比如本文用双线性变换法设计数字带通滤波器时，必须先将频率归一化，并且进行频率预畸变，然后设计模拟滤波器，再利用频率变换法将模拟低通变为模拟带通，最后经过双线性变换法将模拟带通变换为数字带通。如果不进行频率预畸变，那么设计出来的带通滤波器的幅频特性与相频特性将会产生很严重的畸变（如图5、图6所示，为设计时没有进行频率预畸变的特性），使设计的结果不满足给定的要求，在实际中会造成很严重的危害。

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七．参考文献

[1] 丁玉美，高西全.数字信号处理［M］.第三版.西安：电子科技大学出版社，2006:P195~P225.

[2] 程明.基于MATLAB的数字滤波器分析［J］.通信电源技术，2006：P25～

P27.

[3] 楼顺天，刘小东，李博苗.基于MATLAB的系统分析与设计——信号处

理［M］.第二版.西安：西安电子科技大学出版社，2005：P36～P196. [4] 王华，李有军，刘建存.MATLAB电子仿真与应用教程［M］.北京：国防工业出版社，2007：P347～P366.

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致谢

在做本次课程设计的过程中，我深深地感受到了自己所学到知识的有限，明白了只学好课本上的知识是不够的，要通过图书馆和互联网等各种渠道来扩充自己的知识。在实验过程中我们曾经遇到过问题。但是从中我们学习到了如何对待遇到的困难，进一步培养了我们一丝不苟的科学态度和不厌其烦的耐心。所有的这些心得会对我以后的学习和工作有帮助作用，忠心感谢学校给我们提供这次实验机会。20

附录：

（1）wp=0.4*pi;

ws=0.45*pi; Rp=1; As=15;

[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');%该函数用来确定阶数。s,表示模拟滤波器

fprintf('\\n****切比雪夫I型滤波器的阶次为 %2.0f\\n',N);

wn=wp/pi;

[b,a]=cheby1(N,Rp,wn,'s');

[B,A]=bilinear(b,a,1);%用双线性变换法转换为数字滤波器

%[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%B，A没有用，可以去掉，任秘只用了一个函数。 %

%计算频率响应性能 %

[db, mag , pha ,grd, w]=freqz_m(B, A);

grd=grpdelay(B,A,w);%群时延即系统在某频率处的相位（相移）对于频率的变化率。 %

subplot(221) plot(w/pi,mag); title('幅度'); ylabel('|H|'); axis([0 1 0 1.1])

subplot(223) plot(w/pi,db); axis([0 1 -30 0]) title('幅度(dB)');

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ylabel('分贝数');

xlabel('以pi为单位的频率');

subplot(222) plot(w/pi,pha); title('相位响应'); ylabel('弧度');

subplot(224) plot(w/pi,grd) title('群时延') ylabel('样本');

xlabel('以pi为单位的频率'); %clear all （2）wp=0.4*pi;

ws=0.45*pi; Rp=1; As=15; T=1;

[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');%该函数用来确定阶数。s,表示模拟滤波器

fprintf('\\n****切比雪夫I型滤波器的阶次为 %2.0f\\n',N);

[cs,ds]=cheby1(N,Rp,wn,'s');%用来设计N阶低通模拟切比雪夫滤波器，矢量cs,ds中返回的是模拟滤波器的系数

[bz,az]=impinvar(cs,ds,T);%用冲激响应不变法将模拟滤波器变换成数字滤波器，参数cs，ds给出模拟滤波器传递函数的分子系数和分母系数,b,a就应该是转换为的数字滤波器的系数 %

%计算频率响应性能 %

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sxmv.html