数学运算讲义解析版2003

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2013年山东省考卓博行测 精讲班辅导资料

班次：

班别：精讲班

科目: 数量关系 主讲：杜壬禾

时间：2013年01月

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 2013山东省考卓博数量关系精讲

Part.1 数量关系综述 .................................................................................................................... 3

一、大纲解析 ................................................................................................................... 3 二、考情分析 ................................................................................................................... 3 三、复习方法 ................................................................................................................... 5

Part.2 数学运算基本解题方法 .................................................................................................... 6

一、方程法 ....................................................................................................................... 6 二、公式法 ....................................................................................................................... 8 三、数字特性法 ............................................................................................................. 10

Part.3 数学运算模块精讲 .......................................................................................................... 15

一、行程问题 ................................................................................................................. 15 二、 工程问题 ............................................................................................................... 20 三、 浓度问题 ............................................................................................................... 21 四、利润问题 ................................................................................................................. 22 五、时钟问题 ................................................................................................................. 23 六、抽屉原理 ................................................................................................................. 27 七、盈亏问题 ................................................................................................................. 28 八、鸡兔同笼与还原问题 ............................................................................................. 30 九、植树问题 ................................................................................................................. 32 十、容斥原理 ................................................................................................................. 33 十一、牛吃草问题 ......................................................................................................... 34 十二、排列组合问题 ..................................................................................................... 37 十三、统筹类问题 ......................................................................................................... 44 十四、几何问题 ............................................................................................................. 48 十五、年龄问题 ............................................................................................................. 55 十六、日期问题 ............................................................................................................. 55 十七、方阵问题 ............................................................................................................. 57

Part.4 数学运算速解方法 .......................................................................................................... 57

一、比例法 ..................................................................................................................... 58 二、十字相乘法 ............................................................................................................. 59 三、代入排除法 ............................................................................................................. 61 四、赋值法 ..................................................................................................................... 62 五、 逆推法 ................................................................................................................... 63

Part.5 真题实战演练 .................................................................................................................. 63 真题实战演练答案 ........................................................................................................................ 70

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 Part.1 数量关系综述

一、大纲解析

数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力， 主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。常见的题型有：数字推理、数学运 算等。 ——《2013年国家公务员考试行测大纲》

第一种题型：数字推理。每道题给出一个数列，但其中缺少一项，要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。

【例题】 1 2 4 8 16 （ ） A．16 B．24 C．32 D．36

第二种题型：数学运算。每道题给出一个算术式子或者表达数量关系的一段文字，要求报考者熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识，准确迅速地计算或推出结果。

【例题】 某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？ A．8 B．10 C．12 D．15 二、考情分析 山东省考 2012 2011 2010 2009

行测总题量 120道 120道 120道 140道 数学运算题量 数学运算10道 数学运算10道 数学运算10道 数学运算15道 数字推理题量 数字推理5道 数字推理0道 数字推理5道 数字推理5道 卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 3 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 时间 类型 行程问题 工程问题 浓度问题 利润问题 时钟问题 抽屉问题 盈亏问题 鸡兔同笼问题 植树问题 容斥问题 牛吃草问题 数列问题 平均数问题 排列组合问题 和差倍比问题 日期问题 年龄问题 几何问题 代数问题 统筹问题 加乘问题 2012年 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2011年 2 1 1 2 2 1 1 2010年 1 1 1 1 2 3 1 2009年 1 2 1 1 2 2 6 2008年 2 3 1 2 1 1 1 1 3 2007年 3 2 1 1 2 6 卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 4 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 三、复习方法

（一）按照题目类型分模块集中做题； （二）真题至上，国考、省考、联考真题；

（三）反复精研真题，尝试一题多解，提高做题熟练度和思维广度深度。

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 Part.2 数学运算基本解题方法

一、方程法

（一）定方程

【例题1】：（2009浙江行测第21题）

A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时；再沿原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员车速是12千米/小时，则下坡时邮递员的车递是（ ）

A．10千米/小时 B．12千米/小时 C．14千米/小时 D．20千米/小时

解析：一去一回，上坡一个全程，下坡一个全程，设下坡车速为X，60/12+60/x=3.5+4.5 解得X=20 法二：一个来回就是2个全程，也就2X60=120，一共用了3.5+4.5=8个小时 速度为 120/8=15KM/h 这个是平均速度，下坡要快些，自然得超过15千米每秒，一看答案，自然20千米每秒。

【例题2】：（2009北京行测第11题）

游乐场的溜冰滑道如下图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400米，下坡时每分钟行驶600米，已知溜冰车从A点到B点需要3.7分钟，从B点到A点只需要2.5分钟。AC比BC长多少米?

A．1200 B．1440 C．1600 D．1800

解析：AC/400+BC/600=3.7 AC/600+BC/400=2.5 两式做差=(AB-BC)/1200=1.2 AC-BC=1440 ,选B。

提示：有时候掌握列方程基本方法，也能快速秒杀题目，关键在于使用娴熟。

【例题3】：（2010河北行测38题）

小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速是每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里？( )

A.144 B.136 C.132 D.128

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 法一：在这个题目中，两个人的速度是不一样的，而且题目中给出“同时出发”“相遇”这样的字眼，所以时间一定是不变量。拿时间作为等量关系，则甲的路程是S+12，乙的路程是S-12，速度分别是48和40，

那么用时间相等列式应该表示成：，解得S=132。

法二：设小王到达B地的时间为T,S=48T,48(T+1/4)+40(T+1/4)=2s,解得T=11/4

法三：48(T+1/4)+40(T+1/4)=2s→88（T+1/4）=2S→44(T+1/4)=S,S能被44整除，选C。

（二） 不定方程

【例题1】(2009北京)

有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?

A. 8张，31张 B. 28张，11张 C. 35张，11张 D. 41张，1张

设1.11的有X张，1.1的有Y张。1.11X+1.1Y=43.21 Y=（4321-111X）除以110=39-X-（X-31）除以110 X只能是31张，Y有8张。

【例题2】(2009国考)

已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？ A.75 B.87 C.174 D.67

甲的书有13/100是专业书，甲的书的数量是100的整倍数。乙的书有12.5％是专业书，即1/8是专业书，乙的书是8的整倍数。两人书数量之和=260 甲可能有100本或200本，甲有200本时，乙有60本，不是8的整倍数，舍去。甲有100本，乙有160本。100*(1-13/100)=87(本) 甲有87本非专业书。本题关键是把比率化为最简分数。

【例题3】(2007国考)

共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收56元，那么他制作的玩具中不合格的共有（ ）个。 A.2 B.3 C.5 D.7

［解析］ 设小王制作了合格玩具x个，不合格玩具y个，因此5x-2y=56。 将B代入，y=3，得到5x=62，排除B选项； 将C代入，y=5，得到5x=66，排除C选项；

将D代入，y=7，得到5x=70，得x=14，此时x+y=21＞20，排除D选项；

因此选择A。 ［华图名师点评］ 本题在实际考场当中操作的时候，只需要代入A选项发现满足条件即可选择A，而不需要将后面三个选项再一一验证。

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【例题4】(2009国考)

甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱? A.10元 B.11元 C.17元 D.21元

解析：3x+7y+z=32 4x+10y+z=43 9x+21y+3z=96 8x+20y+2z=86

二、公式法

（一） 乘法与因式分解公式：

（二） 裂项和公式

（三） 等差数列与等比数列常用公式

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 （四） 特殊数列求和公式

（五） 平均数问题：总和＝平均数×个数

（六） 中位数问题：将一组数据按大小顺序依次排列，如果数据时单数个，就找出最中间位置的一个数据；如果数据是偶数个就求出最中间两个数据的平均数，这个数就是这组数据的中位数。

【例题1】(2007年福建)

12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝( )。 A.－55 B.－45 C.45 D.55

解析：-3 +（-7）+（-11）+（-15）+（-19）=-55

【例题2】(2009江苏C类) x?y?1，x3?3xy?y3?（ ）

A．1 B．2 C．3 D．5

解析：因式分解结合x-y=1

【例题3】（2008国家）

{an}是一个等差数列，a3+a7-a10=8，a11-a4=4，则数列前13项的和是（）。 A. 32 B. 36 C. 156 D. 182

解析：a7-8=a10-a3=a11-a4=4 a7=12 s=12*13=156

【例题4】（2008浙江）

在自然数1至50中，将所有不能被3除尽的数相加，所得的和是（）。 A. 865 B. 866 C. 867 D. 868

解析：3 6 9 12 ?? 48 d=3 48-3=45 15+1=16 s=2/(16(3+48))=8*51=408 S=2/(50*51)=25*51 17*51

【例题5】(2008国考)

编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字)，问这本书一共多少页?( )

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 A. 117 B. 126 C. 127 D. 189

解析：我们假设有A页 这A页 分3个部分 个位，十位，百位， 所有页码都有个位数 那么就有A个个位数，除了9个个位数页码没有十位数 其余都有十位数页码 即A－9 同理百位数就是A－99那么 总字数就是A＋（A－9）＋（A－99）＝270

三、数字特性法

（一）奇偶运算法则

【例题1】(2008山西)

某人做一道整数减法题时，把减数个位上的3看成了8，把减数十位上的8看成了3，得到的差是122，那么正确的得数应该是（ ）。 A. 77 B. 88 C. 90 D. 100

解析：法一：个位多减了5，十位少减了50，少减了45,122-45=77

法二：被减数减去一个个位数字为8的减数(个位为8，该数为偶数)得到122，那么被减数减去个位数字为3的减数，结果一定为奇数，所以答案选择A。

【例题2】(2004山东)

某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和未答对的题数相差多少（ ）。 A.33 B.19 C.17 D.16

解析：由题目很容易的可以得到：答对题目加未答对题目=50,50是一个偶数，所以答对题目与未答对题目的差一定也是偶数，所以答案选择D。

【例题3】(2010黑龙江)

一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 解 析：小明答对一题得2分，所有答对的题目总得分一定是偶数，答错一题扣1分，最终小明得了23分，可以确定小明的错题数一定是一个奇数，排除BD。假设A 为答案，答错3道题目，那么答对了(23+3)/2=13题，未答题目为20-3-13=4道题，符合要求，所以答案选择A。

【例题4】(2009北京)

哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年( )岁。

A.10 B.12 C.15 D.18

解析：哥哥5年后和弟弟3年前的年龄和为29岁，那么哥哥和弟弟现在的年龄和一定是29-5+3=27岁，弟弟的年龄是年龄差的4倍，也就是说弟弟的年龄一定是一个偶数，所以哥哥的年龄一定是一个奇数，答案选择C。

（二）倍数法则

【例题1】(2010江西) 11338×25593的值为： A.290133434 B.290173434

C.290163434 D.290153434

解析：这几个数只有中间一位不一样，2+9+0+1+3+4+3+4=26不能被3整除，因为25593是3的倍数，所以26+中间那位之后这个数可以被3整除，所以选B 26+7=33，其它的26+3=29，26+6=32，26+5=31都不行

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 【例题2】(2011国考)

某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？ A.329 B.350 C.371 D.504

答案：A

解析：比例问题。

秒杀思维一：今年男员工人数是 N*94/100=N*47/50 人数只能是整数，N跟50约分后，跟47相乘。所以男员工人数必然是47的倍数。只有A符合。

秒杀思维二：今年员工人数是830+3＝833人，考官很可能把男女今年分别的人数作为选项，因为很多人考场巨大压力下，在列方程求出女生人数后，却忘记用总人数减去女生人数，求得男生人数。

我们看AD选项，329+504＝833 恰好是总人数。又男减女增，总人数增多，可见总人数受女生影响较大，去年女生人数较多。那么我们可以估计男生可能是较少数，选A.

秒杀思维三：也有考生求出去年男生数，却忘记乘1-6％＝47/50了。我们看选项，只有B项是50的倍数，我们猜测这可能就是去年男生人数，用它乘以47/50验证一下，发现恰好得到A329的结果。选A

秒杀思维四：十字交叉法 -0.06*830 38.5 35 3 0.05*830 52.8 48 830*35/83=350

350*(1-6%)=329 选项只有A比350少，直接选A。

秒杀思维五：列方程 X+Y=830 X*6%-Y*5%=-3 求得X=350 350*(1-6%)=329

秒杀思维六：用鸡兔同笼问题的公式直接求解去年男生人数， |3-5％*830|/0.05-(-0.06)=350 350*(1-6%)=329

（无需计算，只A比350小。）

【例题3】(2011浙江)

一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少（ ）？ A．17 B．16 C．15 D．14

法一：因为15、12和10的最小公倍数是60.

所以□□□□=60K，且□□□□除以15、12和10得到的商为 4K,5K,6K，

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 按题意可得 4K+5K+6K=1365，所以 K=91。 □□□□=60K=5460。结论显然为【C】。

法二：一个数能被12除尽，肯定可以被3除尽。由被3除尽的数的特点知道只有C满足

【例题4】(2011联考)

某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号，凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？

A.12 B.9 C.15 D.18

解析：

根据题意，排名第三的员工工号能被3整除，则排名第三的员工工号所有数字之和应该能被3整除，这个结论不能排除任何一个选项。再根据10名新员工的工号是10个连续的四位自然数，说明排名第三的员工工号加上6后就是排名第九的员工工号，也就是说，排名第三的员工工号所有数字之和再加上6后一定能被9整除，只有12满足，答案是12。

【例题5】(2011国考)

一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排；如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排，这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？

A.9 B.10 C.11 D.12

解析：

2人比４人多１３排 对折一半

２人时有２６排，４人时有１３排 共５２人 c

（三）最大公约数与最小公倍数 【例题1】

有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍，求这较大的数是多少？ A.42 B.38 C.36 D.28

【答案】D。解析：就是最大公约数与最小公倍数问题，那么我们可以根据定义来解决。这两个数的最大公约数是91÷（12+1）=7，最小公倍数是7×12=84，7*84就是这两个数的乘积，代入42，另一个数就是14，那么最大公约数就是14，与题意矛盾，那么只能选D。

【例题2】（2011联考）

有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交部站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟，假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？

A.11点整 B.11点20分 C.11点40分 D.12点整

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解析：

40，25，50的最小公倍数200，所以8点加200分钟，是11点20分，选B。

【例题3】(2008国考)

甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？

A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日 D.11月14日

解析：

6,12,18,30 的最小公倍数，应该是180

我们按照每个月30天算 应该是6个月 那就是11月18日 因为其中经过了 5，7，8，10这4个大月 所以减少4天 即11月14日

（四）余数问题

【例题1】(2006北京) 两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?( ) A. 12 B. 41 C. 67 D. 71

解析：

设被除数为A，除数B 则 5*B+11=A ; A+B+5+11=99 解得 B=12；A=71.

【例题2】(2008山东)

有a、b、c、d四条直线，依次在a线上写1，在b线上写2，在c线上写3，在d线上写4，然后在a线上写5，在b线、c张和d线上写数字6、7、8…按这样的周期循环下去，问数字2005在哪条线上？（ ）

A. a线 B. b线 C. c线 D. d线

解析：

有周期，1在A 5在A 9又在A A线上的数字是 N*4+1 B线上的是N*4+2

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2005=501*4+1 余数为1 故在A上

【例题3】(2006国考)

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

解析：

用剩余定理做： 7*100+2*36+3*45=907 9、5、4的最小公倍数是：180 907/180=5。。。7

所以这样的三位数是：180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907 共有：五个

Part.3 数学运算模块精讲

一、行程问题

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【例题1】(2011国考)

小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？ A.45 B.48 C.56 D.60

解析：速度比是1:2:4，时间比是4:2:1,5份对应2小时，一份对应24分钟，跑步时间两份，共48分钟。

【例题2】(2003浙江)

一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米；返回时速度为每小时20千米，则它往返的平均速度为（ ）千米/小时 。

A. 24 B. 24.5 C. 25 D. 25.5

解析：公式法，选A。

【例题3】(2005国考)

甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 16 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 1/7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面（ ）。

A．85米 B．90米 C．100米 D．105米

解析：时间相等，路程比等于速度比，7:8:6，乙跑800，甲跑700，丙跑600，选C。

【例题4】(2005北京)

甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车提前了多少分出发（ ）分钟。

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60

解析：当甲车提前走的路程等于两车共同走30分钟的路程时 两车会提前30分钟相遇 因此设甲车提前X分钟出发 60X=（40+60）×30 60X=3000 X=50

【例题5】(2010联考)

一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍?

解析：可以设队伍的长度S=1，队伍速度为V=1，那么这段时间为t=1/1=1; 设传令兵速度为X，则题目转化为求 Xt/1=X 将这一过程分为两部分（追赶+逆向）列一个方程： S/(X-V)+S/(X+V)=t，即1/(X-1)+1/(X+1)=1 解得X=根号2+1 选C

网上找到另一种方法 O-----------------A 1

O--------C---------B 1-x x

设部队长度为OA=OB=1，传令兵去传令的 路程=返回队尾的路程=OC=X， C为传令兵走完时候位置

当传令兵到队首时，与队伍的行进路程比为1+X:X,当传令兵回到队尾时，路程比为 X:1-X，可列比例式1+X:X=X:1-X，解得X=1+跟2

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【例题6】(2011浙江)

a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问a、b两校相距多少米？( )

A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米

解析：第二次相遇，2人共走了3S 85+105)*12/3=760

【例题7】(2011国考)

甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：泳池长 30米，两人速度和为 90米/分，则两人相遇时所走的路程和应为 1×30，3×30，5×30，7×30??，而 1分 50秒两人游了 90×11/6=165米，所也最多可以相遇 3次

【例题8】(2007黑龙江) 一列队伍长15米，它以每分钟85米的速度通过一座长100米的桥，问队伍从队首上桥到队尾离开桥大约需要多少分钟？（）

A．1．0 B．1．2 C．1．3 D．1．5

解析：选择C，因为（15+100）/85约等于1.35，四舍五入，1.4。

【例题9】(2010浙江)

某环形公路长15千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3小时后，甲追上乙，问乙的速度是（ ）千米/小时 ？ A. 12.5 B. 13.5 C. 15.5 D. 17.5

解析：设甲速度X,乙Y，15/（x+y）=0.5，15/（x-y）=3，x=17.5 y=12.5，A。

【例题10】

一只钟，每小时慢3分钟，早上4点30分时把表调准，则表走到上午10点50分时，标准时间是多少？

解析：应该是上午11点09分

一共走了6小时20分钟,平均每小时慢3分钟那么就是每20分钟慢1分钟,那么6小时20分钟就慢了:6*3+1=19分钟,所以标准时间应该是:上午11点09

【例题11】（2009国考）

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？ 卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 18 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

解析：分针一小时比时针多走11/12圈,当分针比时针多走一圈是才能重叠依次,所以重叠一次所用的时间为12/11小时,而12小时包含有11个12/11小时,所以为11了

【例题12】(2009浙江)

甲、乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时，帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港要多少小时？ A.58小时 B. 60小时 C.64小时 D. 66小时

解析：先求静水速度(720/15-720/20)/2=6 所以帆船顺水30，逆水18 720/30+720/18=64

【例题13】(2010国考)

某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙／顷水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中匀速行驶少公里需要x小时，则x满足的方程为： A. 1/4-x = 1/x + 1/3 B. 1/3+x = 1/4 + 1/x C. 1/3 - 1/x = 1/4 + 1/x D. 1/3 - 1/x = 1/x - 1/4

解析：D

顺水速度—静水速度=静水速度—逆水速度=水速。

【例题14】（2005国家二类）

商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有（ ）。 A.40级 B.50级 C.60级 D.70级

解析：根据题意可知男孩逆电梯而行，电梯给男孩帮了倒忙，男孩所走的80级比电梯静止时的扶梯级数多，由于电梯帮倒忙而让男孩多走了一些冤枉路。反观女孩则是顺 电梯而行，电梯帮助女孩前进，也就是说女孩走的40级比静止时的扶梯级数少，由于电梯的帮助而使女孩少走了一些梯级。显然男孩和女孩所走的路程比为 80：40=2：1，而根据题意可知男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，也就是说男孩的速度是女孩的两倍。至此可知男孩和女孩的路程比等于速度比， 说明男孩和女孩爬扶梯所用的时间相等，也就说明扶梯给男孩帮倒忙的时间和给女孩帮忙的时间相等，又因为扶梯的速度一定，进而可以推出扶梯让男孩相对于静止 扶梯级数多走的路程和扶梯让女孩相对于静止扶梯级数少走的路程相等，故此我们只需要讲男孩和女孩所走的路程相加就可以将男孩多走的路程和女孩少走的路程抵 消掉，得到两倍的扶梯静止时的级数，除以2即可得到所求的结果。所以这道题答案是 （80+40）÷2=60 。

【例题15】（2007山东）

甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 19 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（ ） A. 68 B. 56 C. 72 D. 85

解析：根据题意我们知道甲乙二人的速度比为2：1，所以当甲到达扶梯顶部时也就是甲走了36级时，乙走了18级，由于二人乘坐的电梯速度相同又同步，所以两种方 式电梯走过的路程相同，此时乙距离顶部还有36-18=18级。而乙走了24级到达顶部，已经走了18级，还需要再走24-18=6级，而距离顶部还有 18级，说明还有18-6=12级是扶梯走的。由此我们可以推断扶梯和乙的速度比为12：6=2：1，因为时间相同时路程比等于速度比，也就说明了扶梯的 速度和甲的速度相等，那么相同时间甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的级数为36×2=72。

二、 工程问题

【例题1】（2009国考）

一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再有甲接替乙挖1天??，两人如此交替工作，那么，挖完这条隧道共用多少？ A.14 B.16 C.15 D.13

解析：甲用20天的时间可以挖完，说明甲每天完成工程总量的1/20，乙用10天的时间可以挖完，那么乙每天完成工程总量的1/10。一个循环（甲乙两人各挖1天）共完成1/20＋1/10＝3/20。如此6个循环后可以完成工程总量的18/20，还剩余2/20。甲再挖一天完成1/20，还剩余1/20，需要乙再挖半天才能完成。因此共需要6 2＋1＋1＝14天。 所以，正确选项是Ａ。

【例题2】(2011国考)

甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束，问丙队在A工程中参与施工多少天？ A.6 B.7 C.8 D.9

解析：方法一：设三人工作效率分别是4 5 6,则共完成 16(4+5+6)=240 份，分别完成240/2=120 份，列方程: 6*16+4X=120 看尾数 0-6=4 **4/4=1或6,根据选项只有A符合。X=6

方法二: 比例法，总工作时间一样，所以甲完成6a，乙完成5a，丙完成4a 。6a+5a+4a=15a，A,B工程一共15a，所以分别7.5a 。所以丙帮甲完成1.5a 帮乙完成2.5a，所以 ，丙帮甲16× 1.5/(1.5+2.5)=6天。

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【例题3】(2007浙江)

某工程由小张和小王两人合作刚好可在规定时间内完成。如果小张的工作效率提高20%，那么两人只需用规定时间的9/10就可完成工程；如果小王的工作效率降低25%，那么两人就需要延迟2.5小时完成工程。问规定的时间是（ ）小时. A. 20 B. 24 C. 26 D. 30

解析：工作总时间比10：9 ，效率比为9：10，即现在的工作效率是10/9,增加的1/9的量即为小张20%的量，故小张原工作效率为5/9，小王为4/9. 小王降低1/4，就是总效率由原来的9份减为8份，减少一份需延迟2.5小时，减少8份即规定时间为2.5*8=20。选A。

三、 浓度问题

【例题1】（2005上海）

在20℃时，100克水中最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出的溶液的浓度是多少？（ ）

A. 36.0% B. 18.0% C. 26.5% D. 72.0%

解析：取出盐水的浓度和饱和盐水的浓度相同，36/(100+36)*100%

【例题2】（2008北京）

甲杯中有浓度为17％的溶液400克，乙杯中有浓度为23％的溶液600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。现在两杯溶液的浓度是（ ） A. 20％ B. 20.6％ C. 21.2％ D. 21.4％

解析：（400*17/%+600*23%）/1000＝20.6%

【例题3】（2009国考）

一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？ A.14% B.17% C.16% D.15%

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解析：从“第二次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%”可知，随着水的不断蒸发，溶液的浓度也会逐渐增大。按照溶液浓度的递增速度，应该略大于14%，因此估计为15%。 所以，正确解析是D。

【例题4】（2005浙江）

甲容器中有浓度为4％的盐水250 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8％的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？ A. 9.78％ B. 10.14％ C. 9.33％ D. 11.27％

解析：250 4 X-8 8

750 X 4 (X-8)：4=250：750 X=9.33

四、利润问题

【例题1】(2011国考) 受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了1/15，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点，问原材料的价格上涨了多少？ A.1/9 B.1/10 C.1/11 D.1/12

解析：假设总成本原来是15，那么总成本增长了1（即原材料增长了1），假设原材料原来是x，那么：(x+1)/(15+1)-x/15=2.5%，x=9，所以原材料增长了1/9

【例题2】(2010国考)

一商品的进价比上月低了5％，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：

A.12％ B.13％ C.14％ D.15％

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解析：设上月进价为X，售价为Y，上月利润率为Z%。则 X×(1+Z%)=Y

X×(1-5%)[1+(Z+6)%]=Y 解的：Z=14。

【例题3】(2011国考)

某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的30%，为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元，问商店是按定价打几折销售的？

A.九折 B.七五折 C.六折 D.四八折

解析：列方程:设打X折.设这批商品有100件,则原来定价125.125*30+125X*70=10000-1000 X=0.6

五、时钟问题

（一）题型简介

钟表问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。一般说来，钟表问题可以从路程（格）和角度两个方向进行解答。

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 （二）核心知识 1、时针与分针的角度关系 按“格”来分，则钟面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下关系： （1）钟面一圈按“小时”分： 可分为12大格； 时针每小时走1大格，分针每小时走12大格； 它们每小时路程相差11大格，每分钟分针比时针多走11/60大格。 （2）钟面一圈按“分钟”分： 可分为60小格； 时针每小时走5小格，分针每小时走60小格； 它们每小时相差60-5=55小格，每分钟分针比时针多走11/12小格。 （3）钟面一圈按“角度”分： 钟面一圈360度，时针每小时走30度，分针每小时走360度；它们每小时相差330度； 时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，它们每分钟相差6-0.5=5.5度。 （4）分针的速度是时针的12倍 2、时钟校准问题 时钟校准问题的关键在于找出不正常时间与正常时间的比例关系

【例题1】现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

解析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面

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【例题2】在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

解析：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需

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【例题3】小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？

解析：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的

时

间是：

【例题4】3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？

解析：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。

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六、抽屉原理 （一）概述

狄利克雷原则：把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。

（二）两个原理原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少 于2件。 原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m?1件。 （三）解题三部曲（1）．找苹果（2）．找抽屉（3）．用原理 难点：有的题目抽屉需要自己构造 （四）抽屉原理的典型应用

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 【例题1】：（1）文化路小学对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有367名1996年出生的同学，试说明：这些同学中至少有2名同学是在同一天出生的。 （2）某班32名同学是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？

解析：（1）1996年是闰年，抽屉有366个，原理1； （2）5月份31天，抽屉31个，原理1。

【例题2】：⑴证明：任意28个人中，至少有3个人的属相相同。

⑵要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？

解析：（1）28=12*2+4 人是苹果，属相是抽屉。 （2）37=12*3+1，人是苹果，属相是抽屉。

【例题3】：一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌。问：最少要抽多少

张牌，才能保证有4张牌是同一花色？

A 39 B 40 C 13 D 42

解析：最不利原则，要有四张牌同一花色，则至少要抽到 4*3+1=13张

【例题4】：口袋中有三种颜色的筷子各10根。

问：⑴至少要取多少根才能保证三种颜色都取到？

⑵至少要取多少根才能保证有2双不同颜色的筷子？ ⑶至少要取多少根才能保证有2双相同颜色的筷子？

解析：（1）21 （2）10+1+1+1=13 （3）3+3+3+1=10

【例题5】：新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分(摸时，看不见颜色)，结果发现总有3个人取的球的颜色相同，由此可知，参加取球的至少有几人？ A 31人 B 30人 B 29人 D 28人

解析：5种球，每个人只要取两个，不同色的总共有C(5/2)=10种组合法，然后再加上同色的5种，也就是最多有15种可能的取的不相同的。然后再加1个人，就必然和那15种中的一个相同，所以至少16人。

七、盈亏问题

盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏” 。

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（一）盈亏型 【例题1】（2007北京）

有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母，若一个螺丝配3个螺母，则少6个螺母，共有多少螺丝？（ ）

A．16 B．22 C．42 D．48

解析：16

【例 2】如果把一些桃子分给若干个人，则每人3个，多5个；每人5个，少5个。问：一

共有多少个人？有多少个桃子？

解析：5人 20桃

【例 3】把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；每人3块，将缺少2块，

那么小朋友共有多少人，糖果共有多少块？

解析：14人 40块

（二）盈盈型

【例 1】如果把一些桃子分给若干个人，则每人2个，多10个；每人3个，多5个。问：

一共有多少个人？有多少个桃子？

解析：5人 20桃

【例 2】将一些玫瑰花插入到几只花瓶中，如果每瓶插10朵，就多出9朵玫瑰花；如果每瓶插11朵则多出2朵玫瑰花，那么一共有多少朵玫瑰花？多少只花瓶？

解析：7瓶 79花

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 （三）亏亏型

【例 1】如果把一些桃子分给若干个人，则每人5个，少5个；每人6个，少10个。问：

一共有多少个人？有多少个桃子？

解析：5人 20个

【例 2】老师发练习册给学生，每人10本，还差9本；每人9本，还差2本，请问有多少

个学生？多少本练习册？

解析：7人 61本

（四）盈亏经典习题

【例 1】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？

解析：50少150米 60多120米 270/10=27分钟 50（27+3）=1500米

【例 2】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆，如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？

解析：5多3 6少4 7人 38盆

八、鸡兔同笼与还原问题

（一）鸡兔同笼的解题方法

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是\鸡\或全是\兔\，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

（二）解题规律： （总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数 卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 30 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 （三）鸡兔同笼典型例题 【例题1】：现在有几只鸡和兔在一个笼子里,数了之后发现有十个头，三十只脚，问有多少只鸡，多少只兔呢？

A 5鸡 5兔 B 6鸡 5兔 C 5鸡 6兔 D 6鸡 6兔

解析：A

【例题2】：现在有一群鸡，一只大鸡一次吃四个面包，一只小鸡一次吃一个面包，现在一共有30只鸡，吃了60个面包，问有大鸡多少只，小鸡多少只？ A20只大鸡，20只小鸡 B10只大鸡，20只小鸡 C10只大鸡，30只小鸡 D30只大鸡，30只小鸡

解析：B

【例题3】：欢乐谷有成人票和儿童票，成人票一个人160元，儿童票一个人80元，今天有一个大家庭去欢乐谷游玩，售票员数了一下，一共是20个人，售票员收了2800元，问有多少个大人，多少个小孩？

A20个成人，5个儿童 B15个成人，10个儿童 C15个成人，5个儿童 D15个成人，12个儿童

解析：C

（四）还原问题 还原问题的解题方法： 1 从最后的结果出发，采用逆运算，乘变除，除变乘，加变减，减变加 2 列出数量关系式，进行解题 【例题1】：小强的年龄先乘以4，再加上8，然后除以2，最后减去9，算出来之后是35，问小强今年多大？

A 10岁 B 12岁 C 15岁 D 20岁

解析：D 35+9=44 44*2=88 88-8=80 80/4=20

【例题2】：店里前不久买进一批大龙虾，第一天售出总数的一半多100只第二天售出剩下的一半多200只，还剩100只，这批大龙虾有多少只? A 1000只 B 1200只 C 1300只 D 1400只

解析：D （100+200）*2=600 700*2=1400

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【例题3】：有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等。原来甲堆有______个苹果，乙堆有______个苹果，丙对有______个苹果。

A甲32 乙32 丙32 B甲44 乙28 丙24 C甲16 乙56 丙24 D甲16 乙32 丙48

解析：甲 乙 丙 32 32 32

16 32 48

16 56 24 44 28 24

九、植树问题

【例题1】（2006国考）

为把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米。若每隔4米栽一棵则少2754棵；若每隔5米栽一棵则多396棵，则共有树苗( )。

A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵

解析：设共有树苗x棵，则有（x+2754-4）×4＝（x-396-4）×5，解得x＝13000。

【例题2】

一条街上，一旁每隔8 米有一个广告牌，从头到尾有16 个广告牌，现在要进行调整，变成每12 米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？

解析：16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍 数；8×3=12×2=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不 需要移动的有5-1=4个。

【例题3】

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从1棵树走到第15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分钟。李大爷步行到第几棵树时就开始往回走？

A．第32棵 B．第33棵 C．第37棵 D．第38棵

解析：利用两棵数的间距相等的性质进行计算，实质还是植树问题。第一次李大爷走了15-1=14个间距，速度为每分钟14÷7=2个间距，剩下的23分钟李大爷 可以走23×2=46个间距，以第5棵树为基准，往回走到第5棵树比从第15棵树走到回头的地方要多走15－5=10个间距，即还能再向前走 （46-10）÷2=18个间距，即走到第15+18=33棵树时回头。 正确答案：B

十、容斥原理

【例题1】(2009山东)

大学四年级某班共有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学数是多少？

解析：17-[（10+17）-（50-30）]

【例题2】(2010国考)

某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。间接受调查的学生共有多少人?

A.120 B.144 C.177 D.192

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 解析：设参加人数为N，列等式：63+89+47-46-2*24=N-15，N=120。

【例题3】(2011国考)

某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A.37 B.36 C.35 D.34

解析：用公式A+B+C=W+2Z+Y ABC是三个分别的大小，W是实际大小。Z是三者都符合的。Y是只符合二者的。此公式应用很广泛，能解不少的容斥原理题，牢记。 设不合格的产品共有X，则：

X+2*1+7=8+10+9 X=18 52-18=34

（注：计算时不必完全计算出来，甚至不必完全列式，只要计算其尾数即可。因为选项尾数都是不同的。） 公式出：

把1式代入2式，即得：实际总人数+2T+B=至少包含1种的总人数（有重复） 也即上面的公式： W+2Z+Y＝A+B+C

十一、牛吃草问题

（一）牛吃草的核心

牛吃草问题在公务员考试中常考常新，解题的核心思路是列方程组进行求解。其本质是比例法和行程追及的结合。

解题关键依据：

a 每天的长草量（X）一定

b 每头牛每天的吃草量（N）不变

c 吃草的总量=草场原有的草量（Y）+新长的草量 d 新长的草量=每天生长量×天数（T） 解题核心公式

Y=（N-X）×T 草=（牛-长）×天 卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 34 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 牛吃草的变式题 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。

（二）牛吃草的解题步骤

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度=(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)

÷ (较多天数－较少天数)；

⑶原来的草量=（对应牛的头数－草的生长速度）×吃的天数；

⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)；

⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度。

（三）牛吃草典型例题

【例题1】有一牧场，牧场上的草是匀速生长的,已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？ A 9天 B 10天 C12天 D15天

解析：

【例题2】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？ A5头 B6头 C7头 D8头

解析：

【例题3】有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 35 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 羊多少天可将草吃完？

A 5天 B 10天 C 15天 D 20天

解析：

【例题4】一个农夫有面积为2公顷，4公顷和6公顷的三块牧场，三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农家夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？

A 15天 B 30天 C 45天 D 60天

解析：

【例题5】一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？

A 5根 B 6根 C 7根 D 8根

解析：

【例题6】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 36 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时45千米， 分钟可以追上小明？ A 30分钟 B 45分钟 C 48分钟 D 60天

解析：

十二、排列组合问题

（一）加乘原理 1、乘法原理

例如，姜老师要从济南到青岛拿一份资料，之后再到威海开会。其中，他从济南到青岛可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从青岛到威海却只想乘船。那么，他从济南经青岛到威海共有多少种不同的走法？

乘法原理解题步骤：

a．分步骤；

b．找出每步所对应的方法数；

c．如果确定每步都是缺一不可的，那么把每步所对应的方法数相乘。

【例题1】：小明要从A村去C村上学，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 37 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 有2条，那么小明从A村经B村去C村共有多少种不同的走法？ A 3种 B 6种 C 9种 D 12种

解析：2*3=6

【例题2】：如图，一张地图上有五个国家A、B、C、D、E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少种着色方法？

A B C E D

解析：4*3*2*2*2=96

2、加法原理

例如，兰海老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有四趟长途汽车从北京到天津，那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 加法原理解题步骤： a．分类； b．找出每类所对应的方法数； c．如果确定每类不是缺一不可的，那么把每类所对应的方法数 相加。

【例题3】：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

A 350本 B 450本 C 600本 D 750本

解析：B

【例题4】：还是图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，小明如果要选两本书不同类的书有多少种选法？ A 450 B 4500 C 9000 D 65000

解析：D

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3、标号、图示在加法原理中的应用 【例题5】：在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那行人从A到B的最短路线有多少种？

A 11种 B 22种 C 33种 D 44种

解析：B

4、加法原理与简单递推 【例题6】：有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？这题有点意思 A 360 B 720 C 927 D 1080

解析：C

【例题7】：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

A 88 B 89 C 98 D 100

解析：B

5、加乘原理综合应用

加乘原理解题步骤： a．分； b．找出每步所对应的方法数； c．判断每步是否缺一不可，如果是就用乘法，如果不是就用加法。

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 【例题8】：在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？

A 1000 B 1200 C 1650 D 1800

解析：C

【例题9】：地图上有A、B、C、D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

A B A 36 B 72 C 84 D 96

C D

解析：C

用4种4*3*2*1=24 用3种 4*3*2*2=48 用2种 4*3=12 72+12=84

（二）排列问题

1、知识准备—加乘原理

例：

则由A到C的方法数为：3?2?6，因为由A到C必须是先由A到B，再由B到C，此过程为缺一不可的。

例：

则此时由A到C的方法数为：3?2?2?3?12，因为由A到C现在有两条路，一条是由A到B到C，一条是由A到D到C，而这两条路无论哪一条都可以由A走到C，所以用加法。 注：当一件事中的几步缺一不可时一定要用乘法连接，当一件事中的几步可以缺少某一步或某几步时要用加法来连接。

2、排列的表示方法——排列具有顺序性

【例题10】：5个小朋友排队的方法数有多少？

解析：A55

【例题11】：从10个小学生当中选出8个小学生来排队，一共有多少种方法？

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解析：A10 8

【例题12】：从6个同学当中选出3个同学来合影，一共有多少种不同的方法？

解析：A6 3

3、排列的经典方法 （1）捆绑法：

专门用来解决“必须排在一起”的问题。 【例题13】：有7个大猩猩要排队合影，分别求出在下列条件下各有多少种站法？ ⑴7个大猩猩坐成一排；

⑵7个大猩猩排成一排，某两个大猩猩必须有一个大猩猩坐在中间； ⑶7个大猩猩排成一排，甲、乙两个大猩猩必须坐在一起。

解析：A7 7 2A6 6 2A6 6

【例题14】：联欢会上有7个演唱节目和5个舞蹈节目。问：如果5个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？

解析：A8 8A5 5

（2）插空法

专门用来解决“必须分隔开”“不能相邻”的问题。先构造空，然后再插空。 【例题15】：有7个大猩猩要排队合影，甲、乙、丙两两不相邻的不同排法有多少种？

解析：A5 3A4 4

【例题16】：联欢会上有7个演唱节目和5个舞蹈节目。问：如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

解析：A8 5A7 7

（3）定序法

适用于队列中有一些人的顺序是固定的这种情况。先算所有排列数，再算固定数，一除即可。 【例题17】：有7个大猩猩要排队合影，甲站在乙的左边，且乙站在丙的左边的不同排法(可卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 41 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 以不相邻)有多少种？

解析：A7 7/ A3 3=840

（4）排除法

排除法适用于某些直接考虑过于复杂的问题，如果其反面较为单纯，可以从反面排除。 【例题18】：有7个大猩猩要排队合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有多少种？

解析：A7 7-2A6 6+A5 5=3720

（三）组合问题

1、组合

（1）排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，

而组合没有顺序性。 （2）组合

指从n个不同元素中任意取出m个(m≤n)元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 （3）组合数

【例题19】：计算C100 ?2C100

解析：

【例题20】：某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排共有多少种站法？

解析：C42 3 A42 3

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n

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【例题21】：10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行

多少场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。则一共要举行多少场比赛？

解析：C10 2 A10 2

【例题22】：在一个圆周上有10个点，那么以这些点为顶点或端点，可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？

解析：C10 2 C10 3 C10 4

（3）组合的经典方法 插板法

专门解决无差异的元素放在不同位置的问题。 【例题23】：把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得1张积分卡，有多少种分法？

解析：C9 2

【例题24】：把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得2张积分卡，有多少种分法？

解析：C6 2

【例题25】：把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求允许有的同学得不到积分卡，有多少种分法？

解析：C11 2

【例题26】：把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得1个桃子，那么有多少种不同的分法？

解析：C29 4

【例题27】：把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得3个桃子，那么有多少卓博公考教育-公务员考试培训知名品牌 43 公考选卓博，轻松就通过

【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 种不同的分法？

解析：C19 4

【例题28】：把30个桃子分给5个小猴子，允许有的小猴子得不到桃子，那么有多少种不

同的分法？

解析：C31 4

（四）概率问题

【例题1】(2005山东)

有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是黑球，可得10元回扣，那么中奖率是多少？如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元？

A. 1/40，350 B. 1/20，450 C. 1/30，420 D. 1/10，450

解析：1/20

300人大约15个人中奖，扣除150元，总收入600元 能骗450元。

【例题2】(2011联考)

小王开车上班需经过4个交通路口,假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1，0.2，0.25，0.4。他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是： A.0.988 B.0.899 C.0.989 D.0.998

解析：4个至少一处是绿灯，反面是4处都是红灯 反面的概率=0.1*0.2*0.25*0.4=0.002 那么正面至少1处绿灯的概率=1-0.002=0.998

十三、统筹类问题

【例题1】（2009山西）

A、B、C、D四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A谈完要18分钟，B谈完要12分钟，C谈完要25分钟，D谈完要6分钟。如果使四人留住这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟？

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 A.91分钟 B.108分钟 C.111分钟 D.121分钟

解析：时间统筹：尽量让谈话时间短的人先谈，以节省总谈话时间。那么谈话依次需要6、12、18、25分钟，第一个人D需要停留6分钟，第二个人B需要停留 6+12=18（分钟），第三个人A需要停留6+12+18=36（分钟），第四个人C需要停留6+12+18+25=61（分钟）。综上，四人停留在这 个单位的时间总和最少为：6+18+36+61=121（分钟）。

【例题2】（2011联考）

某公司要买了100本便签纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便签纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1；B超市的便签纸1元一本且买3送1，胶棒1.5元一支。如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，刚他至少要花多少元钱？ A.183.5 B.208.5 C.225 D.230

解析：通过比较发现，A超市的便签纸贵，胶棒便宜（4元3支），B超市的便签纸便宜（3元4本），胶棒贵。所以购买方 法是100本便签在B超市购买需75元，100支胶棒99支在A超市买需132元，还有1支在B超市买需1.5元，故而总钱数为 75+132+1.5=208.5元。所以选择B选项。

【例题3】

某制衣厂两个制衣小组产生同一规格的上衣和裤子，甲组每月用21天时间产生上衣，9天时间产生裤子，每月生产1800套上衣和裤子；乙组每月用11天时间生产上衣，19天时间生产裤子，每月生产1100套上衣和裤子。如果两组合并，每月最多可以生产多少套上衣和裤子？（ ）

A．3000 B．3200 C．3600 D．3900

解析：D。乙生产上衣，一月3000套上衣，甲生产裤子，一月生产3000套裤子用15天，另外15天产900套，3000+900=3900

【例题4】（2006国家）

在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要多少运费？ A.4500元 B.5000元 C.5500元 D.6000元

解析：设把所有货物都放到x号仓库（x≤5，且x∈N），故其运费为0.5×100［10×（x-1）+20×（x-2）+40×（5-x）］＝0.5×100×（150-10x）＝50×（150-10x），故要使其运费最少，则x要最大，所以最低运费为0.5×100×（150-10×5）＝5000（元）。

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【例题5】（2007国考）

一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、4、10、6名装卸工，共计36名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要（ ）名装卸工才能保证各厂的装卸需求。 A.26 B.27 C.28 D.29

解析：这个题目涉及到运筹知识，真的从运筹学角度来考察这个问题，反而把问题复杂化。实际上，我们只要保证让10名，9名和7名搬运工跟着3辆汽车，就可以保证所有工厂的装卸需求。因此总共至少需要工人10+9+7=26 。

【例题6】

某校2000人参加运动会，学校买了2000瓶汽水供应每人一瓶，商店规定，每7个空瓶可换1瓶汽水，因此，他们每喝完7瓶汽水就换回1瓶汽水，这样，他们最多能喝（）瓶汽水。 A. 2284 B. 2285 C. 2333 D. 2334

解析：第一次 喝2000瓶 第二次 2000个瓶盖=285*7+5 所以换285瓶 喝完后共剩290个瓶盖 第三次 290=7*41+3 换41瓶 喝完后 剩44个盖子 第四次 44=7*6+2 换6瓶 喝完剩8个盖子 第五次 8=7+1 换1瓶 喝完后剩2个盖子 不能再换。所以共喝 2000+285+41+6+1=2333 瓶

【例题7】 “红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？ A.296瓶 B.298瓶 C. 300瓶 D. 302瓶

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 解析：解法(一)：张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶“红星”啤酒中，有一部分是张先生自己花钱买的，还有另一部分是张先生用空瓶换的。则正面对347这个数据的处理显出其难度，在行测考题中正面解决比较麻烦的试题可以用代入法来解决。

7个空瓶换1瓶啤酒可转化为：6个空瓶=1个啤酒(一个啤酒指只是一瓶啤酒二不包括酒瓶)先带入A选项：296÷6=49??2，用296+49=345，不符合题意。再代入选项B：298÷6=49??4，用298+49=347(瓶)，符合题意。此题选B。

解法(二)：张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶可以看成都是张先生花钱买的。347瓶啤酒喝完后还剩下347个空瓶，347÷7=49??4，也就是说此时张先生可以换得49瓶啤酒，为了保证张先生只喝了347瓶，把换来的49瓶啤酒退给卖方，张先生实际买的啤酒瓶数为：347-49=298(瓶)，答案选B。

解法(三)：设未知数列方程：设买了X瓶啤酒，根据6个空瓶=1个啤酒得：

347=X+X/6 解得：X=297.4

啤酒的瓶数不能是小数，因此进一位，的298(瓶)。答案选B。

【例题8】

有42个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载6人，但需要3个人划船。请问一共需要几次才能渡完?

A. 10次 B. 11次 C. 12次 D. 13次

解析：根据公式：(42-3）/（6-3）＝39/３＝13次。

【例题9】

有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

解析：7天。第五天5米，第六天6米，第七天跳上去了

【例题10】（2009山西）

将14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是多少？ A. 72 B. 96 C. 144 D. 162

解析：14=4个3+2 那么最大=3^4*2 解析过程如下:

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【www.sdgongkao.com】――山东卓博教育 山东公务员考试培训知名品牌 显然拆分成几个自然数,1)当中有1是不可能的,2)如果有高于4的数字是不可能的 因为比如5,还可以拆开2+3,2*3=6>5,

要使得到的乘积最大,所以只能含有2,3(因为如果有4,我们还可以变成2+2=2*2)

又因为3+3=2+2+2,而2*2*2<3*3,所以在可能的情况下应该拆开的数尽量可能多的3,但是同时要满足条件1)和2) 所以最大=3^4*2

十四、几何问题

（一）几何问题常用公式 1、平面几何常用公式：

2、立体几何常用公式：

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3、常用几何性质及结论：

4、几何极限理论：

（二）三角形等积变形

1、等底等高三角形面积相等；（两条平行线的同底三角形面积都相等） 2、等底三角形面积比等于高的比； 3、等高三角形面积比等于底的比。

【例题1】：如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。 A 1 4 B 16 C 20 D 28

解析：连BH、CH 选D

【例题2】：如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的面积为10平方厘米，求阴影部分的面积。 A 4平方厘米 B 6平方厘米 C 8 平方厘米 D 10平方厘米

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解析：连DB、GE、FK 选D

（三）蝴蝶定理

1、任意四边形蝴蝶定理

①S1∶S2?S4∶S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO∶OC?(S1?S2)∶(S4?S3) 2、梯形蝴蝶定理

①S1?S3?S2?S4 ②S2?S4

③S1∶S2?S2∶S3?S4∶S3?S1∶S4?a∶b ④S1∶S2∶S3∶S4?a2∶ab∶b2∶ab

【例题3】：如图，在长方形ABCD中，AB?6，AD?2，AE?EF?FB，求阴影部分的面积。 A 1.5 B 2 C 3.5 D 4

解析：连接DE，FC。

ADE=2 EFDC=8 EOD=8*（12/(4+36+24)）12/8=1.5，1.5+2=3.5

（四）燕尾定理（共边定理）

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