最新湘教版七年级下册数学全册教案

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1．1 建立二元一次方程组

1．理解二元一次方程及其解、二元一次方程组及其解、解方程组的概念；(重点)

2．能根据简单的实际问题列出二元一次方程组．(难点

)

一、情境导入

七年级一班共有男、女同学45人，在“献爱心·慰问儿童福利院”的活动中，男生平均每人捐款20元，女生平均每人捐款15元，全班共捐款800元，问全班男、女生各有多少人？

二、合作探究

探究点一：二元一次方程的概念

(2015·宜春模拟)已知(n －1)x |n |－2y m －2014＝0是关于x ，y 的二元一次方程，则n m

＝________．

解析：根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数两个方面入手，先求出字母m 、n 的值，再求n m 的值．根据题意，得m －2014＝1，n －1≠0，|n |＝1，解得m ＝2015，n ＝－1，∴n m ＝－1.故答案为－1.

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 方法总结：考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，含未知数的项的次数都是1的整式方程．

探究点二：二元一次方程的解

【类型一】 根据二元一次方程的解求字母系数的值

已知?

????x ＝2，y ＝1是方程kx －y ＝3的一个解，那么k 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1

解析：把?

????x ＝2，

y ＝1代入方程kx －y ＝3中，得2k －1＝3，解得k ＝2.故选A. 方法总结：根据二元一次方程的解求字母系数的值，解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以字母系数为未知数的方程，然后求解．

【类型二】 二元一次方程的特殊解

二元一次方程2x ＋3y ＝9的正整数解是________．

解析：先令x 的值为1、2、3、4，求得?????x ＝1，y ＝73，?????x ＝2，y ＝53，?????x ＝3，y ＝1，?????x ＝4，y ＝13，

显然其中的正整数解是?

????x ＝3，y ＝1. 方法总结：二元一次方程有无数个解，二元一次方程的正整数解一般是有限个．确定二元一次方程的正整数解时，可以把其中一个未知数从整数1开始取值，看另一个未知数相应的值是否是正整数即可．

探究点三：二元一次方程组

【类型一】 二元一次方程组的概念

下列方程组是二元一次方程组的是( )

A.?????x －y ＝2，y ＋z ＝3

B.?

????x ＋y ＝1，xy ＝2 C.?????x ＋y ＝2，x －y ＝1 D.?????x ＋y ＝2，1x ＋1y

＝3

解析：选项A 中有三个未知数，选项B 中的第二个方程是二元二次方程，选项D 中的第二个方程不是整式方程，只有选项C 中的方程组符合二元一次方程组的定义，故选C.

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 方法总结：本题考查二元一次方程组的定义．如果一个方程组是二元一次方程组，必须同时满足三个条件：①只含有两个未知数；②含未知数的项的最高次数都是一次；③方程组中的几个方程都是整式方程．

【类型二】 二元一次方程组的解

二元一次方程组?

????x ＋y ＝3①，2x ＝4②的解是( ) A.?????x ＝3，y ＝0 B.?????x ＝1，y ＝2

C.?????x ＝5，y ＝－2

D.?

????x ＝2，y ＝1 解析：分别将各选项代入方程组中，A 选项代入后②不成立；B 选项代入后②不成立；C 选项代入后②不成立；D 选项代入后均成立，故选D.

方法总结：将四个选项中的每组值代入方程组，能使方程组中的每个方程都成立的即是此二元一次方程组的解．

【类型三】 根据实际问题列二元一次方程组

小明用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x 张，2元的贺卡为y 张，那么所列方程组正确的是( )

A.?????x ＋y 2＝10，x ＋y ＝8

B.?????x 2＋y 10＝8，x ＋2y ＝10

C.?????x ＋y ＝10，x ＋2y ＝8

D.?????x ＋y ＝8，x ＋2y ＝10

解析：根据1元的贺卡张数＋2元的贺卡张数＝8张，得方程x ＋y ＝8；根据1元的贺

卡钱数＋2元的贺卡钱数＝10元，得方程为x ＋2y ＝10.列方程组为?????x ＋y ＝8，x ＋2y ＝10.

故选D. 方法总结：列二元一次方程组解应用题时，要正确找出相等关系，一般情况下，设了两个未知数，就要找两个相等关系，列两个方程．

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三、板书设计

二元一次方程?

????二元一次方程的定义二元一次方程的解

二元一次方程组?????二元一次方程组的定义二元一次方程组的解根据实际问题列二元一次方程组

本节课主要学习了二元一次方程及其解的概念、二元一次方程组及其解的概念．在教学中，可结合已学过的一元一次方程的概念，让学生归纳总结出二元一次方程、二元一次方程组必须满足的三个条件，以及二者的区别与联系．通过学生的积极参与，培养学生的概括能力，体验成功的快乐，提高学生的学习兴趣

1．2 二元一次方程组的解法

1．2.1 代入消元法

1．掌握用代入消元法解二元一次方程组；(重点、难点)

2．了解解二元一次方程组的基本思想是消元．

一、情境导入

在上节课的情境导入问题中，设全班男生有x 人，女生有y 人，则有?

????x ＋y ＝45，20x ＋15y ＝800.怎样解这个方程组呢？

二、合作探究

探究点：用代入消元法解二元一次方程组

【类型一】 某个未知数的系数等于1

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解方程组：?

????2x －y ＝5，x －1＝12（2y －1）. 解析：把第二个方程化简，把第一个方程变形，用x 表示y ，再代入第二个化简后的方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解．

解：原方程组可化为?

????y ＝2x －5①，2x －2y ＝1②，将①代入②，得2x －2(2x －5)＝1，解得x ＝92.将x ＝92代入①，得y ＝4，所以方程组的解为?????x ＝92，y ＝4.

方法总结：代入消元法的基本步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的未知数的值用“{

”联立起来，就是方程组的解．

【类型二】 未知数的系数不等于

1

解方程组：?????2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝8. 解析：把第一个方程变形，用y 表示x ，再代入第二个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解．

解：?????2x －3y ＝1①，3x ＋2y ＝8②，

由①得x ＝12(3y ＋1)③.将③代入②，得3×12(3y ＋1)＋2y ＝8，解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2，所以方程组的解为?

????x ＝2，y ＝1. 方法总结：用代入法解二元一次方程组的基本思路是：选取其中一个二元一次方程，将它的一个未知数用另一个未知数来表示，再代入另一个方程，消去一个未知数，将方程转化为一元一次方程求解，即化“二元”为“一元”．

三、板书设计

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤：

①把一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；

②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；

④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；

⑤把求得的未知数的值用“{ ”联立起来，就是方程组的解．

本节课从上节课的实例引入，激发学生解二元一次方程组的求知欲望．在教学过程中，注重启发引导，让学生自主归纳总结用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤．同时，应让学生注重数学思想方法的学习——消元

1．2.2 加减消元法

第1课时 用加减法解较简单系数的方程组

1．掌握用加减法解系数较简单的二元一次方程组；(重点、难点)

2．进一步理解解二元一次方程组的基本思想——消元．

一、情境导入

小玲与小丽两人星期日相约去超市买文具，小玲买了2支钢笔和3支铅笔，共花费19元；小丽买了3支钢笔和2支铅笔，共花费26元．如果买1支钢笔和1支铅笔，需要多少元？

二、合作探究

探究点：用加减法解较简单系数的方程组

【类型一】 用加减法直接解二元一次方程组

解方程组：?

????x ＋3y ＝8，5x －3y ＝4.

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解：?

????x ＋3y ＝8①，5x －3y ＝4②.①＋②，得6x ＝12，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得2＋3y ＝8，解得y ＝2，因此原方程组的解是?

????x ＝2，y ＝2. 方法总结：解二元一次方程组时，如果两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或互为相反数，把这两个方程相减或相加，就能消去一个未知数，从而得到一个一元一次方程，再解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；然后把这个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值．最后再把两个未知数的值用大括号联立起来即为方程组的解．

【类型二】 适当扩大系数后，用加减法解二元一次方程组

解方程组：?

????x －2y ＝3，3x ＋y ＝2. 解析：把②×2，再与①式相加，消去y ，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 解：?

????x －2y ＝3①，3x ＋y ＝2②.②×2，得6x ＋2y ＝4③，①＋③，得7x ＝7，解得x ＝1.将x ＝1代入②，得y ＝－1.因此，原方程组的解为?

????x ＝1，y ＝－1. 方法总结：解二元一次方程组时，如果两个方程中的某一未知数的系数是倍数关系，可选取系数的绝对值较小的一个方程乘以一个适当的数，把两个方程中的这个未知数的系数化为相同或互为相反数，再把这两个方程相减或相加求出这个未知数，然后将它的值代入另一个未知数的系数较简单的方程中，求出另一个未知数的值．

【类型三】 根据定义新运算列二元一次方程组求值

定义运算“*”，规定x *y ＝ax ＋by ，其中a ，b 为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝________．

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 解析：根据题意，得?????a ＋2b ＝5，4a ＋b ＝6，解得?????a ＝1，

b ＝2，

∴x *y ＝x 2＋2y ，∴2*3＝22＋2×3＝10，故答案为10.

方法总结：定义新运算题是各类考试的热点题，它的实质是一种规定，规定某种运算方式，规定某个概念的特征性质，然后要求按照规定去计算、求值．解决此类问题，关键在于正确理解新定义的运算的意义．

三、板书设计

用加减法解较简单系数的方程组

1．某一未知数的系数相等或互为相反数——把两个方程直接相减或相加；

2．某一未知数的系数成倍数关系——先把这一未知数的系数化为相等或互为相反数，再相加减．

本节课学习了用加减法解系数较简单的二元一次方程组，在进行加减消元时，应将某一未知数的系数化为相等或互为相反数．在教学中，注重启发引导，让学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流，体验到成功的喜悦

第2课时 用加减法解较复杂系数的方程组及简单应用

1．掌握用加减法解系数较复杂的二元一次方程组及简单应用；(重点、难点)

2．理解解二元一次方程组的消元思想．

一、情境导入

上节课我们学习了系数较简单的二元一次方程组的解法，方程组中某一未知数的系数相等或互为相反数，或成倍数关系．如果方程组中未知数的系数不成倍数关系，怎样解这样的方程组呢？

二、合作探究

探究点一：用加减法解系数较复杂的方程组

【类型一】 方程组中未知数的系数不成倍数关系

解方程组：?

????3x －2y ＝6，2x ＋3y ＝17.

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解：?

????3x －2y ＝6①，2x ＋3y ＝17②.①×3，得9x －6y ＝18③，②×2，得4x ＋6y ＝34④.③＋④，得13x ＝52，解得x ＝4.把x ＝4代入①，得12－2y ＝6，解得y ＝3.所以，方程组的解是?

????x ＝4，y ＝3. 方法总结：解二元一次方程组的关键是消元，即把“二元”化为“一元”．用加减消元法解二元一次方程组时，如果方程组中未知数的系数不成倍数关系，可选定一个未知数，把两个方程分别乘以一个适当的数，使这个未知数的系数化为相同或互为相反数，再用加减法求解．

【类型二】 先化简，再解方程组

解方程组：???

73x ＋y 2

＝4，x ＋25＝y ＋93.

解析：这个方程组中的方程比较复杂，可通过去分母等步骤把方程化简，然后再用加减法解方程组．

解：原方程组可化为?????14x ＋3y ＝24①，3x －5y ＝39②.①×5，得70x ＋15y ＝120③.②×3，得9x －15y ＝117④.③＋④，得79x ＝237，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得9－5y ＝39，解得y ＝－6.所以，

原方程组的解是?

????x ＝3，y ＝－6. 方法总结：解方程组时，如果系数为分数，一般先化为整数系数，并把方程整理化为一般形式，然后根据方程组的特点求解．

探究点二：二元一次方程组的简单应用

【类型一】 利用二元一次方程组的解求字母的值

已知关于x ，y 的二元一次方程组?

????2x ＋3y ＝k －3，x －2y ＝2k ＋1的解互为相反数，则k 的值是

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 ________．

解析：因为关于x ，y 的二元一次方程组?????2x ＋3y ＝k －3，

x －2y ＝2k ＋1

的解互为相反数，即x ＝－y .把x ＝－y 代入原方程组中，得?

????－2y ＋3y ＝k －3，－y －2y ＝2k ＋1，即?????y ＝k －3①，－3y ＝2k ＋1②，把①代入②中，得－3(k －3)＝2k ＋1，解得k ＝85

. 方法总结：求解二元一次方程(组)中的字母的值，一般有以下方法：①将解代入方程组，得到关于字母的方程组，求解即可；②先消去一个未知数，再求另一个未知数和字母组成的方程组的解．

【类型二】 同解方程组

已知方程组?????4x ＋y ＝5，3x －2y ＝1和?

????ax ＋by ＝3，ax －by ＝1有相同的解，求a 2－2ab ＋b 2的值． 解析：解第一个方程组?????4x ＋y ＝5，3x －2y ＝1，把求得的解代入第二个方程组?????ax ＋by ＝3，

ax －by ＝1，求得a 、b 的值，再代入a 2－2ab ＋b 2计算．

解：解方程组?????4x ＋y ＝5，3x －2y ＝1，得?????x ＝1，y ＝1.把?????x ＝1，y ＝1代入方程组?????ax ＋by ＝3，ax －by ＝1，得?????a ＋b ＝3，a －b ＝1.

解此方程组得?

????a ＝2，b ＝1，所以a 2－2ab ＋b 2＝1. 方法总结：两个方程组同解求字母系数的值，常见的有两种类型：一是字母系数只出现在一个方程组中，这时可解另一个方程组，把求得的解代入含字母系数的方程，再解之即可．二是字母系数包含在两个方程组中，这时可把两个方程组重新组合，把不含字母系数的方程放在一起求解，再把求得的解代入含字母系数的方程组中求解即可．

三、板书设计

用加减法解较复杂系数的方程组及简单应用

1．用加减法解系数较复杂的方程组

2．二元一次方程组的简单应用

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 本节课的内容难度较大，在教学中，教师应积极启发引导学生，让学生自己探究，总结出解题方法，同时应积极鼓励学生，勇于尝试，不断积累解题经验和方法

1．3 二元一次方程组的应用

第1课时 解决所列方程组中含“x ＋y ＝”形式的实际问题

1．掌握列方程组解决所列方程中含“x ＋y ＝”形式的实际问题；(重点)

2．通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用．(难点

)

一、情境导入

小明买了80分和60分的邮票共17枚，花了12.2元，试问：80分与60分的邮票各买了多少枚？

二、合作探究

探究点：列方程组解决所列方程中含“x ＋y ＝”形式的实际问题

【类型一】 购票问题

某学校在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？

解析：本题的等量关系是：教师人数＋学生人数＝110人；教师的总票钱＋学生的总票钱＝2400元．根据题意列出方程组，解得答案．

解：设在这次游览活动中，教师有x 人，学生有y 人，由题意得：?

????x ＋y ＝110，40x ＋20y ＝2400，解得?

????x ＝10，y ＝100. 答：在这次游览活动中，教师有10人，学生有100人．

方法总结：此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是弄清题意，找出合

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 适的等量关系，列出方程组．

【类型二】 配套问题

)机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？

解析：设需安排x 名工人加工大齿轮，安排y 名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，列方程组求解．

解：设需要安排x 名工人加工大齿轮，安排y 名工人加工小齿轮，得?????x ＋y ＝85，3×16x ＝2×10y ，

解得?

????x ＝25，y ＝60. 答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．

方法总结：本题考查理解题意的能力，关键是能准确理解2个大齿轮和3个小齿轮配成一套是什么意思，根据理解正确列出方程．

【类型三】 行程问题

(2015·梧州模拟)A 地至B 地的航线长9750km ，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需12.5h ，它逆风飞行同样的航线需13h ，求飞机无风时的平均速度与风速．

解析：设飞机的平均速度为x 千米/时，风速为y 千米/时，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可．

解：设飞机的平均速度为x 千米/时，风速为y 千米/时，由题意，得?

??x ＋y ＝975012.5，x －y ＝975013，解得?

????x ＝765，y ＝15. 答：无风时飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时．

方法总结：本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握行程问题的顺风速度＝无风时的速度＋风速和逆风速度＝无风时的速度－风速，由此建立方程组是关键．

【类型四】 销售问题

(2015·平阴县模拟)某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注：利润＝售价－进价)

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某商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

解析：利用图表得到两种商品的进价和售价，根据所求设甲、乙商品分别购进x 件和y 件得出它们的和为160件，再根据两种商品的利润和列式，得出二元一次方程组求解即可．

解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件，依题意得：????

?x ＋y ＝160，（20－15）x ＋（45－35）y ＝1100，解得?

????x

＝100，y ＝60. 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．

方法总结：此题主要考查了二元一次方程的应用，设出未知数，找出题目中与未知数相关的等量关系是解决问题的关键．

三、板书设计

列方程组解应用题的一般步骤：①审；②设；③找；④列；⑤解；⑥答．

本节课从生活中的实例引入，让学生感受到数学在实际生活中的作用．列方程(组)解应用题的关键是找等量关系，这就要求同学们认真审题，

弄清题目中哪些是已知的，哪些是要求的，已知与要求的量之间有什么联系．在教学中，让学生自己尝试寻找等量关系，在设未知数和作答时，注意不要漏写单位

第2课时 解决所列方程组中x ，y 系数不都为1形式的实

际问题

1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题；(重点、难点)

2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力；(难点)

3．通过贴近学生生活的素材，激发学生的学习兴趣，增强自信心．

一、情境导入

学校组织各班开展“阳光体育”活动，某班体育委员第一次到商店购买了5个毽子和8

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 根跳绳，花费34元，第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳各多少元？

二、合作探究

探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题

【类型一】 行程问题

)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．

解析：设小汽车的速度为x km/h ，客车的速度为y km/h ，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可．

解：设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，由题意得：?????2.5x ＋2.5y ＝420，2.5x －2.5y ＝70，解得?

????x ＝98，y ＝70. 答：小汽车的速度为98km/h ，客车的速度为70km/h.

方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．

【类型二】 购物问题

某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品进行打折销售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

解析：通过打折前的两个等量关系列方程，从而求出打折前的A 、B 商品的单价．进而算出打折前购买商品所花的钱数，再与打折后所花的钱数相比较，就求出了少花的钱数．

解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得?

????5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得?

????x ＝16，y ＝4.打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1000(元)．∴打折后少花1000－960＝40(元)．

答：打折后少花40元．

方法总结：设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果．

【类型三】 分段计费问题

某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分加价收费．已知小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？

解析：本题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝58.5元．根据这两个等量关系列出方程组求出答案．

解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x 元，超过部分的水费为每吨y 元．根据题意，得?????20x ＋（24－20）y ＝46，20x ＋（29－20）y ＝58.5，解得?

????x ＝1.8，y ＝2.5. 答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨1.8元，超过部分的水费每吨2.5元． 方法总结：一般情况下，分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和为总费用．

【类型四】 方案问题

将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分6本，则剩下9本；每个同学分8本，又差了3本，问共有多少本笔记本、多少个同学？

解析：本题中2个等量关系为：笔记本的本数－同学的个数×6＝9，同学的个数×8－3＝笔记本的本数．根据这两个等量关系可列出方程组．

解：设共有笔记本x 本，同学y 个．根据题意，得?????x －6y ＝9，8y －3＝x ，解得?

????x ＝45，y ＝6. 答：共有45本笔记本，6个同学．

方法总结：在方案问题中，要抓住其中不变的量找等量关系，列方程组．

【类型五】 图表信息题

如图所示，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm ，小红所搭的小树高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木高y cm ，请求出x 和y 的值．

解析：小强搭的积木的高度＝A 的高度×2＋B 的高度×3，小红搭的积木的高度＝A 的

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 高度×3＋B 的高度×2，根据这两个等量关系列出方程组，再求解．

解：根据题意，得?????2x ＋3y ＝23，3x ＋2y ＝22，解得?

????x ＝4，y ＝5. 方法总结：解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．

三、板书设计

列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题?????1.行程问题

2.购物问题

3.分段计费问题

4.方案问题

5.图表信息题

列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点，在教学中注意引导学生如何审题，如何找出解决问题的等量关系．本节课的内容紧密联系实际生活，体现了数学的应用价值，让学生积极参与，提高学习的积极性 *1.4 三元一次方程组

1．了解三元一次方程组的概念；

2．掌握用代入法和加减法解三元一次方程组．(重点、难点

)

一、情境导入 设表示三种不同的物体，现用天平称了三次，如图所示，那么这三种物体的质量分别为多少克？

二、合作探究

探究点一：三元一次方程组的解法

【类型一】 一般方程组的求解

解方程组：?????5x ＋3y ＝25①，2x ＋7y －3z ＝19②，3x ＋2y －z ＝18③.

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 解析：先用加减消元法把方程②、③中z 消去，得到一个关于x ，y 的二元一次方程，然后和方程①联立得方程组，求出x 、y ，再将x 、y 的值代入③求出z 的值．

解：③×3－②得：7x －y ＝35，变形后，代入①得：5x ＋3(7x －35)＝25，解得x ＝5；把x ＝5代入①得：25＋3y ＝25，y ＝0；把x ＝5，y ＝0代入②得：2×5－3z ＝19，解得z ＝

－3.原方程组的解为?????x ＝5，y ＝0，z ＝－3.

方法总结：解三元一次方程组的方法：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．

【类型二】 对称方程组的求解

解方程组：?????x ＋y ＝1，y ＋z ＝2，z ＋x ＝3.

解析：三个式子相加再除以2得：x ＋y ＋z ＝3，用这个式子分别减去方程组中的每个方程，即可求得x 、y 、z 的值，得到方程组的解．

解：?????x ＋y ＝1①，y ＋z ＝2②，z ＋x ＝3③，

①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝6，即x ＋y ＋z ＝3④，④－①，得z ＝2，④－②，得x ＝1，④－③，得y ＝0，∴方程组的解是?????x ＝1，y ＝0，z ＝2.

方法总结：解三元一次方程组时，如果方程组中的三个未知数，每个未知数的系数和与其他未知数的系数和相同，可考虑把几个方程相加，再除以一个适当的数，然后把这个方程分别与每个方程相减即可．

精品文档 用心整理

资源来源于网络 仅供免费交流使用 探究点二：三元一次方程组的应用

【类型一】 三元一次方程组的实际应用

某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株

数是甲、丙两组的和的14

，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 解析：题中有三个等量关系：①甲组植树的株数＋乙组植树的株数＋丙组植树的株数＝

50；②乙组植树的株数＝(甲组植树的株数＋丙组植树的株数)×14

；③甲组植树的株数＝乙组植树的株数＋丙组植树的株数．根据这三个等量关系可列出三元一次方程组，求出方程组的解即可．

解：设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株．由题意，得?????x ＋y ＋z ＝50，y ＝（x ＋z ）×14，x ＝y ＋z ，

解

得?????x ＝25，y ＝10，z ＝15.

答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．

方法总结：解答此题的关键是根据三组等量关系列出三元一次方程组，然后用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．

【类型二】 利用三元一次方程组求值

已知关于x ，y 的二元一次方程组?

????x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2的解满足x ＋y ＝0，求m 的值． 解析：把已知方程组与x ＋y ＝0组成三元一次方程组，再解之即可．

解：根据题意得?????x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2，x ＋y ＝0，解这个方程组得?????x ＝－3，y ＝3，m ＝4.

方法总结：根据二元一次方程组的解求值，一般有两种方法：一是直接组成三元一次方程组求解；二是把其中较简单的两个方程重新组成二元一次方程组，把求得的解代入另一个方程即可求得字母的值．

三、板书设计

三元一次方程组

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 1．三元一次方程组的解法：

加减消元法或代入消元法，化三“元”为二“元”．

2．三元一次方程组的应用

本节课通过实例引入三元一次方程组，让学生感悟三元一次方程组在实际生活中的应用．解三元一次方程组的基本思想是消元，把三“元”转化为二“元”，再把二“元”转化为一“元”．消元的方法有两种：加减消元法和代入消元法．教学中，引导学生注重数学思想方法的学习，培养学生良好的思维品质

2．1 整式的乘法

2．1.1 同底数幂的乘法

1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点、难点)

2．通过由特殊到一般的探索过程，培养学生良好的思维品质．

一、情境导入

通过上述计算，你发现了什么？

二、合作探究

探究点一：同底数幂的乘法

【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法

计算：(1)2×2×2；

(2)－a 3·(－a )2·(－a )3；

(3)m n ＋1·m n ·m 2·m .

解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．

解：(1)原式＝23＋4＋

1＝28；

(2)原式＝－a 3·a 2·(－a 3)＝a 3·a 2·a 3＝a 8；

(3)原式＝m n ＋1＋n ＋2＋1＝m 2n ＋4. 方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.

【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法

计算：

(1)(2a ＋b )2n ＋1·(2a ＋b )3·(2a ＋b )n －4；

(2)(x －y )2·(y －x )5.

解析：将底数看成一个整体进行计算．

解：(1)原式＝(2a ＋b )(2n ＋1)＋3＋(n －

4)＝(2a ＋b )3n ；

(2)原式＝－(x －y )2·(x －y )5＝－(x －y )7. 方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b )n ＝

?????（b －a ）n （n 为偶数），－（b －a ）n （n 为奇数）.

探究点二：同底数幂的乘法法则的运用

【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值

若82a ·8＝8，求2a ＋b 的值．

解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a 、b 的关系式，根据a 、b 的关系式求代数式的值．

解：∵82a ＋3·8b －2＝82a ＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.

方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，若底数相同，那么指数也相同．

【类型二】 同底数幂的乘法的实际应用

经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？

解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元)．

答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108元．

方法总结：本题考查了同底数幂的乘法的实际应用，关键是根据题意列出算式，注意结果要用科学记数法表示．

探究点三：逆用同底数幂的乘法法则

(2015·惠安月考)已知2a ＝5，2b ＝3，求2a ＋b ＋3的值．

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资源来源于网络 仅供免费交流使用 解析：根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开，再整体代入计算即可．

解：2a ＋b ＋3＝2a ·2b ·23＝5×3×8＝120.

方法总结：根据同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n ，可得a m ＋n ＝a m ·a n .由此可整体代入求值．

三、板书设计

同底数幂的乘法：

同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n

.

本节课从特殊到一般引入同底数幂的乘法法则，让学生感知、理解法则，并掌握法则的正用和逆用．本节课的难点和易错点是底数互为相反数的幂转化为同底数的幂，特别要注意符号

2．1.2 幂的乘方与积的乘方

第1课时 幂的乘方

1．经历幂的乘方法则的探究过程，让学生理解幂的乘方法则；

2．掌握幂的乘方法则，并会运用法则进行计算．(重点、难点

)

一、情境导入

根据乘方的意义计算：

(1)(32)3；

(2)(a 2)3；

(3)(a m )n .

解：(1)(32)3＝32×32×32＝32＋2＋2＝36；

(2)(a 2)3＝a 2×a 2×a 2＝a 2＋2＋2＝a 6；

(3)(a m )n ＝a m ×a m ×…×a m ,\s \do 4(n 个am ))＝a m ＋m ＋…＋m,\s \do 4(n 个m ))＝a mn .

观察上述计算的结果，底数变化了吗？指数发生了什么变化？你能总结出什么结论？

二、合作探究

探究点一：幂的乘方

计算：

(1)(－a 3)5；

(2)(－a 2)3·(－a 4)2；

(3)2(－a 3)4＋3(－a 2)6.

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