湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高三上学期11月月考数学试

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数

学试卷（理科）

一、选择题 1．已知命题：

①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”； ②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；

③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题； ④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题． 上述命题中真命题的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

2．已知函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，

2

则sinα﹣sin2α的值等于（ ） A．

B．

C． ﹣

D． ﹣

3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（ ）

A． D．

4．已知向量

B．

C．

（ ）

A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．

x B． 2

x C． （2

+1）x D． （2

+2）x

6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（ ）

A．

B．

C．

D．

7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） [来源:Z。xx。k.Com] A．

8．已知函数f（x）=e﹣1，g（x）=﹣x+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ） A．

B． （2﹣

，2+

） C． [1，3] D． （1，3）

x

2

B． C． D．

9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为

12，则+的最小值为（ ） A． 4 B．

10．设直线x=t与函数f（x）=x，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A． 1 B． C．

D．

2

C． 1 D． 2

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）

11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= ． 12．函数y=

13．曲线y=sinx与直线x=0、x=

的最大值是 ．

、x轴所围成的图形的面积为 ．

14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是 ．

15．已知函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范

围是 ．

三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinwx+（1）当x∈[0，

2

sinwx?coswx﹣1（w＞0）的周期为π．

]时，求f（x）的取值范围；

（2）求函数f（x）的单调递减区间．

17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+

）共线，其中A是△ABC的内角．

（1）求角A的大小；

（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

18．已知函数

为奇函数．

（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

（II）解关于x的不等式f（1+2x）+f（﹣x+2x﹣4）＞0．

19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．

（1）求证：OF⊥平面ABCD；

（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．

2

2

20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为

；

（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．

（Ⅰ）写出y的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

21．设f（x）=﹣x+x+2ax

（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围． （2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣

，求f（x）在该区间上的最大值．

3

2

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11

月月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题 1．已知命题：

①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”； ②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；[来源:学。科。网] ③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题； ④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题． 上述命题中真命题的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．

解答： 解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；

②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；

③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确； ④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如

故选：A．

点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．

2．已知函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，

2

则sinα﹣sin2α的值等于（ ） A．

B．

C． ﹣

D． ﹣

．

考点： 对数函数的单调性与特殊点；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦． 专题： 三角函数的求值．

分析： 根据对数函数的单调性和特殊点求得 P（2，3），再由任意角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求出sinα﹣sin2α的值．

解答： 解：∵函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P（2，3）． 若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=， ∴sinα==

，cosα==

，

2

∴sinα﹣sin2α=

2

﹣2 ?=﹣，

故选C．

点评： 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．

3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（ ）

A． B． C． D．

考点： 其他不等式的解法． 专题： 计算题．

分析： 先对x分段讨论，求出f[f（x）]的表达式，然后代入不等式f[f（x）]≥1求出x的范围，写出集合形式即为解集． 解答： 解：当x≥0时，有f[f（x）]= ∴f[f（x）]≥1即解得x≥4

当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即

解得 ∴不等式的解集为 故选D

点评： 解决分段函数的有关问题，应该分段来解决，然后将各段的结果并起来即为函数的对应结果．

4．已知向量

（ ）

A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°

考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 计算题．

分析： 先设与的夹角为θ，根据题意，易得=﹣2，将其代入（+）=中易得?﹣，进而由数量积的运算，可得cosθ的值，有θ的范围，可得答案．

=

解答： 解：设与的夹角为θ， ∵（+）?即?

=﹣?

=，

，则=﹣2，

=﹣，

cosθ==﹣，

0°≤θ≤180°， 则θ=120°， 故选C．

点评： 本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． x B． 2x C． （2+1）x D．[来源:Z*xx*k.Com] （2+2）x

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 探究型．

分析： 由三视图可知，该几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，所以根据圆锥表面积公式求表面积即可．

解答： 解：由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，圆锥底面半径是1，圆锥的高是1，圆锥的母线， 则表面积为，选B． 故选B．

点评： 本题主要考查三视图的识别和判断，以及空间几何体的表面积公式，利用三视图还原为空间几何体是解决三视图题目中常用的方法．

6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角．

分析： 过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角．由此能求出结果．

解答： 解：如图，过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP， 则∠BO1P就是O1B与CD所成角，

∵正方体的棱长为2，O1是上底面A1B1C1D1的中心， ∴P是B1C1中点，O1P=1，BP=∴BO1=

=

， =

=

．

=

，O1P⊥BP1，

∴cos∠BO1P=故选：D．

点评： 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．

分析： 利用两角和与差的三角函数化简函数y=cosx﹣sinx，为一个角的一个三角函数的形式，通过图象的平移，得到函数的表达式，由函数图象关于y轴对称，函数在y轴处取得函数的最值，求解即可 解答： 解：∵函数y=cosx﹣

sinx=2cos（x+

），

），

图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m+

根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值

即2cos（m+解得，m+∴m=kπ﹣

）=±2， =kπ， ，k∈Z，

∵m＞0．k=1时， m的最小值

．

故选：C．

点评： 本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的性质．

8．已知函数f（x）=e﹣1，g（x）=﹣x+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）

A． B． （2﹣，2+） C． [1，3] D． （1，3）

考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可． 解答： 解：∵f（a）=g（b），

x2

∴e﹣1=﹣b+4b﹣3

2a

∴﹣b+4b﹣2=e＞0

2

即b﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+ 故选B

点评： 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．

a2

9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为

12，则+的最小值为（ ） A． 4 B．

C． 1 D．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 2

考点： 简单线性规划的应用．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC及其内部，其中 A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点 设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12． 因此，+=（+）×∵a＞0，b＞0，可得∴当且仅当

（4a+6b）=2+（≥

=12，

的最小值为12，

），

即2a=3b=3时，

相应地，+=2+（故选：A

）有最小值为4．

点评： 本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线

性规划等知识，属于基础题．

10．设直线x=t与函数f（x）=x，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A． 1 B．

C．

[来源:学科网ZXXK]

D．

2

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 计算题；压轴题；转化思想．

分析： 将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

解答： 解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，求导数得

=

2

当当

时，y′＜0，函数在时，y′＞0，函数在

上为单调减函数， 上为单调增函数

所以当时，所设函数的最小值为

所求t的值为故选D

点评： 可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= 1 ．

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 计算题．

分析： 利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值． 解答： 解：∵∴∵∴即

垂直

2

∴k=1

故答案为：1

点评： 本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方． 12．函数y=

的最大值是

．

考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由5x﹣2≥0求出函数的定义域，求出的范围，利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质求出此函数的最大值．

解答： 解：由5x﹣2≥0得，x≥，则函数的定义域是[，+∞）， 所以0＜≤，

则函数y====≤，

所以函数y=故答案为：

．

的最大值是，

点评： 本题考查函数的最值的求法，利用配方法将解析式转化关于的二次函数是解题的关键，注意应先求出函数的定义域，属于中档题．

13．曲线y=sinx与直线x=0、x=

、x轴所围成的图形的面积为

．

考点： 定积分在求面积中的应用． 专题： 导数的概念及应用．

分析： 先做出函数y=sinx的图象，然后确定出交点，积分区间，则问题可解． 解答： 解：由题意，所求的面积为图中阴影部分： 故S=故答案为．

=

=

．

点评： 本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．

14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是 （） ．

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．

，

分析： 由三角形ABC为锐角三角形，以及C=2A，利用内角和定理及不等式的性质求出A的范围，确定出cosA的范围，原式利用正弦定理化简，把C=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果，根据cosA的范围确定出范围即可． 解答： 解：∵△ABC为锐角三角形，C=2A，B=180°﹣3A， ∴0＜C=2A＜90°，0＜180°﹣3A＜90°， 即30°＜A＜45°， ∴

＜cosA＜

，即=

＜2cosA＜得：=，

），

=，

=

=2cosA，

由正弦定理

则的取值范围为（

故答案为：（，）

点评： 此题考查了正弦定理，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

15．已知函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范

围是 （0，1）∪（1，4） ．

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析：[来源:学§科§网Z§X§X§K] 先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数

y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．

解答： 解：y===

函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2） 在同一个坐标系下画出函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象

结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4） 故答案为：（0，1）∪（1，4）

点评： 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinwx+（1）当x∈[0，

2

sinwx?coswx﹣1（w＞0）的周期为π．

]时，求f（x）的取值范围；

（2）求函数f（x）的单调递减区间．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析： （1）化简f（x）的函数解析式，根据已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范围，根据正弦函数的图象和性质即可求f（x）的取值范围；

（2）由f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递减区间． 解答： 解：（1）f（x）=sinwx+ωx

）﹣

=π

2

sinwx?coswx﹣1=+sin2ωx﹣1=sin（2

∵w＞0，周期为π，即T=∴可解得：ω=1， ∴f（x）=sin（2x∵x∈[0，∴2x

] ∈[

，

]

）﹣

∴sin（2x（2）∵令2k∈Z，

）∈[﹣，1]，从而可求得f（x）的取值范围为[﹣1，]．

≤2x

≤2k

，k∈Z，可解得：k

≤x≤k

，k

∴函数f（x）的单调递减区间为[k，k]，k∈Z．

点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．

17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+

）共线，其中A是△ABC的内角．

（1）求角A的大小；

（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

考点： 向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理． 专题： 计算题．

分析： （1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．

（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件． 解答： 解：（1）因为∥，所以所以即即

， ．

．

，

；

因为A∈（0，π），所以故

，

；

2

2

（2）由余弦定理，得4=b+c﹣bc． 又

2

2

，

而b+c≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立） 所以

当△ABC的面积取最大值时，b=c．又

； ；

故此时△ABC为等边三角形．

点评： 本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题

18．已知函数为奇函数．

（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

（II）解关于x的不等式f（1+2x）+f（﹣x+2x﹣4）＞0．

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题．

分析： （I）根据函数为R上的奇函数，得到f（0）=0，即b=0，所以函数解析式为：

．然后用求导数的方法研究其单调性，根据它的导数f'（x）在区间（1，+

∞）上为负数，得到函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

（II）首先移项，得到不等式f（1+2x）＞﹣f（﹣x+2x﹣4）．根据函数为奇函数，将原不

22

等式化为：f（1+2x）＞f（x﹣2x+4）．注意到括号里的两个自变量都是不小于1的实数，

22

从而结合函数在区间（1，+∞）上为减函数，得到1+2x＜x﹣2x+4，解之得﹣3＜x＜1．从而得到原不等式的解集． 解答： 解：（I）∵函数∴f（0）=0，即b=0， ∴函数解析式为：

．

为定义在R上的奇函数，

2

2

2

2

∴对f（x）求导数，得．

∵当x＞1时，＜0成立，

∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．

（II）由f（1+2x）+f（﹣x+2x﹣4）＞0，得f（1+2x）＞﹣f（﹣x+2x﹣4）． ∵f（x）是奇函数，

∴﹣f（﹣x+2x﹣4）=f（x﹣2x+4）．

22

原不等式化为：f（1+2x）＞f（x﹣2x+4）．

222

又∵1+2x≥1，x﹣2x+4=（x﹣1）+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，

222

∴1+2x＜x﹣2x+4，即x+2x﹣3＜0， 解之得﹣3＜x＜1．

∴不等式f（1+2x）+f（﹣x+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}

点评： 本题以一个分式函数为例，着重研究其单调性和奇偶性，考查了函数奇偶性与单调性的综合、一元二次不等式的解法等知识点，属于中档题．

19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．

（1）求证：OF⊥平面ABCD；

（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．

2

2

2

2

2

2

2

2

考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）由已知条件推导出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能够证明OF⊥平面ABCD．

（2）过O作OH⊥BC于H，连结HF，由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角F﹣BC﹣D的正切值．

解答： （1）证明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2， ∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°， ∴OF=，∠FOB=90°，∴OF⊥BD， ∴OF⊥平面ABCD．

（2）解：∵OF⊥平面ABCD，过O作OH⊥BC于H，连结HF， ∴由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角， 又∵OF=

，OH=

，∴tan∠OHF=2，

∴二面角F﹣BC﹣D的正切值为2．

点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．

20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为

；

（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．

（Ⅰ）写出y的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

考点： 函数模型的选择与应用．

分析： （Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间

即可；

（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同． 解答： 解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，

，故

故

（1）当0＜c＜（2）当

时，y是关于v的减函数，故当v=10时，时，在（0，c]上y是关于v的减函数，

；

在（c，10]上，y是关于v的增函数， 故当v=c时，

答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c （2）在

的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少； 的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．

点评： 本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．

21．设f（x）=﹣x+x+2ax

（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围． （2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣

，求f（x）在该区间上的最大值．

32

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题．

分析： （1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0． （2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值． 解答： 解：（1）f′（x）=﹣x+x+2a f（x）在∴f′（x）＞0在

2

2

存在单调递增区间

有解

递减

．

∵f′（x）=﹣x+x+2a对称轴为∴∴解得

（2）当0＜a＜2时，△＞0； f′（x）=0得到两个根为∵∴

时，f′（x）＞0；

＜f（1）

时，f′（x）＜0

；

（舍）

当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a当x=4时最小∴所以当x=

=

解得a=1 时最大为

点评： 本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．

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