概率论模拟卷1~6及答案

[模拟试卷1]

一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率

；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率

。

二、（12分）设随机变量X的分布列为的分布列。

.求：（1）参数 ；（2） ；（3）

三、（10分）设二维随机变量合概率密度（2）求

关于

在矩形 、

的边缘概率密度（3）判断

与

上服从均匀分布，（1）求 的独立性。

的联

四、（12分）设 , ，且 与 相互独立，试求 和 的相关

系数（其中a、b是不全为零的常数）。

五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 六、（12分）设总体

的概率密度为

是取自总体 的简单随机样本。求：（1） 的矩估计量 ；（2）

的方差

。

七、（12分）设试求常数

服从

服从

， 分布。

是来自总体 的样本， ＋ 。

，使得

八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为 ，已知这批木材小头直径的标准差 ，问该批木材的平均小头直径能否认为是在 以上？（取显著性水平 ＝0.05） 附表一：

,

, , ,

[模拟试卷2]

一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。若每

个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ ?2Ax,二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???0,?0?x?1其他，求：（1）参数A；

（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}。

三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从

均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差。 四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为

?x?y,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?1其它．

（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性。

五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？

六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率。 七、（14分）设总体X的密度函数为

??x??1,0?x?1f(x)??

0,其它?

其中?是未知参数，且??0。试求?的最大似然估计量。

八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：

54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？ 附表一：

?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,

?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950.

一、填空（16分） [模拟试卷3]

1、设A、B为随机事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，则P(A|B)? ___________. P(B|A)=0.85，P（A?B）=___________.

2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是___________.

?2x,3、设随机变量X的密度函数为f(x)???0,0?x?1其它用Y表示对X的三次独立重复观察

中事件{X?12}出现的次数，则P{Y=2}___________.

4、设X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互独立，则U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.

5、设X1，X2，…Xn是来自正态分布N（?,?2）的样本，且?已知，X是样本均值，总体均值?的置信度为1??的置信区间是___________.

二、（12分）设有甲乙两袋，甲袋中装有m只白球，n只红球，乙袋中装有M只白球,N只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？ 三、（12分）某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数服从参数为?的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率e?62为，求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。

四、（12分）设（X、Y）具有概率密度 ?c, f(x,y)???0,0?x?y?1其它

1）求常数c；2）求P{Y?2X}；3）求F（0.5， 0.5） 五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数 ?1, f(x,y)???0,y?x,0?x?1其它

求E（X），E（Y），COV（X、Y）。

六、（12）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。 七、（12分）设总体X的密度函数为

??x??1,0?x?1f(x)??

0,其它?其中?是未知参数，且??0。试求?的最大似然估计量。

八、（12分）某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N（576，64），某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：

578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（??0.05）

[模拟试卷4]

一、（12分）（1）已知P(A)?P(B)?12,证明：P(AB)?P(AB)

P(B)P(A) （2）证明：若P(A)?0,则P(B|A)?1?

二、（14分）设X~N（?,?2），??72,P{X?96}?0.320 （1）P{60?X?84} （2）Y=1-2X的概率密度

。求

三、（12分）设X与Y是具有相同分布的随机变量，X的概率密度为

?32?x,0?x?2 f(x)??8

?,其它?0已知事件A?{X?a}和B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?求（1）常数a （2）E(e?X) 四、（14分）设（X、Y的概率密度为

?e?y,0?x?y f(x,y)??

,其它?034

求：（1）相关系数 ?XY （2）P{X?12Y}

五、（12分）设供电站供应某电去1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日

用电（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布，现要以0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少向该地区供应多少度电？

六、（12分）设总体X~N（?,?2），，假设我们要以0.997的概率保证偏差X???0.1，试问在?2?0.5时，样本容量n应为多少？

七、（12分）设(X1,X2,?,Xn)为来自总体概率密度为

^?e?(x??),x?? f(x,?)?? 的一个样本，求?的矩估计量?,x???0M。

八、（12分）电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42，65，75，

78，59，57，68，54，55，71 。问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min）？（??0.05，熔化时间为正态变量）

[模拟试卷5]

一、（12分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率： （1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对 二、（12分）甲袋中有两个白球四个黑球，已袋中有四个白球两个黑球。现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n次（有返回）。若已知摸到的n个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率。 三、（12分）（1）设某商店中每月销售某种商品的数量（件）服从参数为7的泊松分布，求一个月内至少售出2件的概率 （2）设随机变量X的分布函数 求常数A及X的数学期望和方差

四、（14分）某种电池的寿命X服从正态分布N(a,?2)，a=300（小时），?=35（小时），（1）求电池寿命在250小时以上的概率（2）求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9（3）任取1000个这种电池，求其中最多有50个寿命在250小时以下的概率。 五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数 ?1, f(x,y)???0,y?x,0?x?1其它

（1）求X与Y的相关系数（2）问X与Y是否不相关（3）X 与Y是否独立，为什么？ 六（12分）（1）在总体N（52，6.3）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到54.8之间的概率。

（2）设总体X~N(?,0.5)，假如我们要以0.997的概率保证偏差X???0.1，则样本容量n应为多少？

七、（12分）设总体X服从指数分布，它的密度函数为

??e??x,f(x,?)???0,,x?0x?02

（1）求参数??1??的最大似然估计

（2）验证所得?的估计量的无偏性 八、（14分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 101.4 100.5

2已知各包重量服从正态分布N（?,?）

（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取??0.05）？ （2）求参数?的90%置信区间。

2

[模拟试卷6]

一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、?、10的球。今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。 二、12分)设随机变量X~U(?1,1),求Y?X2的分布函数与概率密度。

三、10分)设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律。

四、(14分)设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?cx2y,f(x,y)???0,x?y?1其它2,

a) 确定常数c的值; b) c)

X,Y是否相互独立?为什么? X,Y是否不相关?为什么?

五、(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的

比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ 六、(12分)设总体X服从二项分布，它的概率分布为

P(X?k)?Clpqkkl?k,k?0,1,?l,0?p?1,q?1?p，

求未知参数p的极大似然估计.

七、(12分) 某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，

而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，

问此种仪器测量的硬度是否显著降低（??0.05）？

八、(10分)已知随机过程X(t)的均值?X(t)?t，协方差函数CXX(t1,t2)?1?t1t2，试求

Y(t)?X(t)?sint的均值?Y(t)和协方差函数CYY(t1,t2).

九、(8分)设X(t)是平稳过程，且?X(t)=0，RX(?)?1?|?|，（|τ|≤1），Y=?tX(t)dt，

01求E(Y)和D(Y).

附：?(2.575)?0.995,?(2.33)?0.99,t0.05(4)?2.1318,t0.025(4)?2.7764

[模拟试卷1答案]

一、解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i?0,1,2。则

P(B0)?0.8，P(B1)?0.1，P(B2)?0.1，P(A|B0)?1，P(A|B1)?4C19C2044?45，

P(A|B2)?C18C420?1219。

（1） 由全概率公式得

2??P(A)??i?0P(Bi)P(A|Bi)?0.8?1?0.1?45?0.1?1219?0.94；

（2） 由贝叶斯公式

??(B0|A)??P(B0)P(A|B0)P(A)?0.8?10.94?0.85。

二、解：(1)由?k?1A2k?1，得A=1；

?（2）P{X?4}??k?512k???l?012k?5?1116；

（3）P{Y?k}?P{X?k?12}?2k?12,k?3,5,7,...。

三、解：（1）区域G的面积为 （X、Y）的联合概率密度为

??Gdxdy??01dx?2dy?xx?01(x?x)dx?216

?6,0?x?1,x2?y?x f(x)??

,其它?0 （2）X的边缘概率密度为 fX(x)??????x2??26dy,0?x?1?6(x?x),0?x?1f(x,y)dy???x=?

0,其它?,其它??0 Y的边缘概率密度为 fY(y)?????y?6dx,0?y?1?6(y?y),0?y?1?f(x,y)dx??y=?

0,其它??,其它?0 （3）显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

四、解：D(Z)?D(?X??Y)??2D(X)??2D(Y)??2h2/12??2np(1?p)，

D(W)?D(?X??Y)??D(X)??D(Y)??h/12??np(1?p)，

22222cov(Z,W)?cov(?X??Y,?X??Y)??cov(X,X)??22222cov(Y,Y)???cov(X,Y)???cov(Y,X)

??h/12??np(1?p) 则

?ZW?cov(Z,W)D(Z)D(W)??h/12??np(1?p)?h/12??np(1?p)222222

五、解：设这批种子发芽数为X，则X~B(1000,0.9)，由中心极限定理得

所求概率为

P{X?880}?1??(880?1000?0.91000?0.9?0.1??)?1??(?2.108)??(2.108)?0.9826。

?六、解：（1）?1?E(X)????xf(x)dx??06x2?3(??x)dx??2。

从而 ??2?1，则用X代替?1得?的矩估计量为???2X。

???2（2）由于E(X)?2?x??f(x)dx??06x3?3(??x)dx?3?102

D(X)?E(X)?[E(X)]?223?102??22??220

4?则D(??)?D(2X)?4D(X)?D(X)?。

n5n2七、解：根据正态分布的性质知

X1?X2?X3~N(0,3)，X4?X5?X6~N(0,3)，

则(X1?X2?X3)/3~N(0,1)，(X4?X5?X6)/3~N(0,1)， 从而[(X1?X2?X3)/3]~?(1)，[(X4?X5?X6)/3]~?(1)， 又由于X1,X2,X3,，X4,X5,X6相互独立及?分布的可加性知

[(X1?X2?X3)/3]＋[(X4?X5?X6)/3]~?(2)，

22222222则当C?13时，CY服从?2分布。

八、解：检验假设

H0:???0?12cm，H1:???0

检验统计量为U?X??0?n，H0的拒绝域为W?{u?u?}。

由于显著性水平?＝0.05，查表得u??u0.05＝1.645。 因为

u?x??0?13.2?122.6/100?4.615>1.645?u0.05

?/n则拒绝原假设H0:???0?12cm，即在显著性水平?＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm以上。 [模拟试卷2答案]

3一、解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本点总数?[S]= C50?C47???C23。

33设Ai =“3个次品铆钉恰好用在第i个部件上”，i=1，2，?，10

A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件”

333Ai中的样本点个数?[Ai]= C47?C46???C23，P(Ai)= ?[Ai]/?[S]=1/19600。

P(A)=?i?1P(Ai)=1/1960。

一、解：(1)由归一性，得

?110

???f(x)dx??2Axdx03?1?1A?1

(2)p{0.5?x?3}?x?0.5f(x)dx??2xdx0.5?0.75

(3)p{X?x}????f(t)dt

x当x?0时，?f(t)dt?0

??xx当0?x?1时，?f(t)dt????2tdt?x

02当x?1时,?x??f(t)dt??01

2tdt?1三、解：由题意，(X,Y)的联合密度函数为

?2,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?1,x?y?1,其它,

则

fX(x)??????1???2dy,0?x?1?2x,0?x?1f(x,y)dy??1?x??

0,其它??0,其它? 得

EX??102xdx?223;EX2??102xdx?312;

则

DX?EX2?(EX)?2118

同理，EY?2,DY?1318。

则

11cov(X,Y)?EXY?EX?EY?2?xdx0?1?xydy?23?23?512?49??136。

则

DU?D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?cov(X,Y)D(X)D(Y)712712118?118?236?118。

四、解：（1）?XY?

E(X)?

E(Y)???0110x(x?y)dxdy?y(x?y)dxdy?

??0110 E(XY)???0110xy(x?y)dxdy?13

?cov(X,Y)?13?712?712??1144

E(X)?2??02110x(x?y)dxdy?2512

E(Y)?

??0110y(x?y)dxdy?512?(712)?2251211144

?D(X)?D(Y)?故?XY??111

（2）??XY?0 ?X与Y不独立。

五、解：设第K户居民每天用电量为Xk度，1000户居民每天用电量为X度， EX20122k?10，

DXk?=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则

L?1000?101000?20122 P{X?L}??()?0.99

即

L?10000100000/3?2.33，则L=10425度。

六、解：设总体由题意：X~N(12,2/3)，则X?EX~N(0,2/3)，所求概率为 P{|X?EX|?2}?1?P{|X?EX|?2}?1?[?(2/ ＝2[1??(2.45)]＝2?(1?0.9929)=0.0142

2/3)??(?2/2/3)]

七、解：设x1,x2,?,xn是X的子样观察值，那么样本的似然函数为

n

L(?)??n?i?1xi??1，

就有

n

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi，

i?1于是，似然方程为

dlnL(?)d??nn???lnxi?1i?0，

从而，可得

????nn

i?lnXi?1

八、解：按题意，要检验的假设是

X??0H0:?0?54，H1:?0?54

检验统计量为U??n，H0的拒绝域为W?{|u|?u?2}。

?u0.025?1.96，

由??0.05，查正态表得临界值u?由样本值算得

x?54.46,2u?1.94

因为u?1.96，故接受假设H0，即在??0.05时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。

[模拟试卷3答案] 一、（每空2分）

1、 0.829 ； 0.988 2、2/5 3、9/64 4、 f(u)?1434?exp(?1434u)；-3 ； 3472

2?????? ,X?Z?5、X?Z??nn?22??二、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。 P(B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)

MnM?1mMn?Mm?m(M?N?1)(m?n) ?M?_N?1m?n?M?N?1m?n?

?6二、解：X~?(?)，且 P{X?0}?e

即 e???e?6???6

?6P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?e1?6ex?6≈0.9826

四、解：1）由归一性

??cdxdyD?1??dy?cdx0?x?1?c?1

2）P{Y?2X}???1dxdy?G?10dy?0.5y?y1dx?34

1 3）F(0.5,0.5)?P{X?0.5,Y?0.5}?五、解：E(X)? E(Y)?1x?20dy?1dx??yy14

?01(?x?xxdy)dx??012xdx?2231

x?0(??xydy)dx?0 ，E(XY)??0(??xxydy)dx?0

COV(X、Y）?E（XY）?E（X）E（Y）?0

六、解：系统中能够正常工作的部件数X服从二项分布： X~B(100,0.9) 。于是 P{X?85}?1?P{X?85}?1?P{X?100?0.9100?0.9?(1?0.9)?85?100?0.9100?0.9?(1?0.9)}

?1?P{555??}≈1??(?)??()?0.9520

333100?0.9?(1?0.9)X?100?0.9七、解：设x1,x2,?,xn是X的子样观察值，那么样本的似然函数为

n

L(?)??n?i?1xi??1，

就有

n

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi，

i?1于是，似然方程为

dlnL(?)d??nn???lnxi?1i?0，

从而，可得

????nn

i?lnXi?1七、解：需要检验的假设 H0:?检验统计量为?22??0?8 H1:?2222?8

2?(n?1)S2?20，拒绝域为: W?{[????(n?1)]?[?222??21??2(n?1)]}

计算可得x=575.2 ，s=8.70 ，从而 ?=10.65

2对??0.05，自由度n?1=9 ， 查表得

?0.975?2.7,?0.025?19.22

因为2.7??2?19 ，所以接受假设，即可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤。

[模拟试卷4答案]

一、证明（1）P(AB)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(AB)

P(AB)P(A)P(A)?P(AB)P(A)P(A)?P(B)P(A))?0.023

二、（2）P(B|A)????1?P(B)P(A)

二、（1）P{X?96}?1?P{X?96}?1??( 所以 ?(2424??)?0.977≈?(2.0) 进而 ??12

?12?X???12}??(12)??(?12)

P{60?X?84}?P{?12???? ?2?(?)?1?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826

（3） X~N（72，122） 所以 Y~N（-143，242）

1242?(x?143)2?2422fY(y)?exp{?},???y??

三、（1）因为X与Y同分布，所以P（A）=P（B），又A与B独立

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?P(A)?234

所以 P(A)?12， P(A)?32（舍去）

a3又 P(A)?P{X?a}?1?P{X?a}?1?3?08x2dx?1?a38

所以 1??Xa8=

212e 进而 a?2?x23

?2（2）E(e)?n?0?x?38xdx??2154e?34

四、因为?xedx?n!，所以

0?fX???e?ydy?e?x,x?0(x)???x 所以 EX??,其它?0?0?xe?xdx?1

y??e?ydx?ye?y,y?0 fY(y)???o 所以 EY??,其它?0?0?ye2?ydy?2

?3?yEXY??0?y(?xe0y?ydx)dy?3，EX?(EX)22???0xe2?xdx?2，EY22??0yedy?6

所以 DX?EX?XY?2?1 ，DY?EY2?(EY)?2

COV(X、Y)D(X)D(Y)?EXY?EXEYD(X)D(Y)=22

五、解：设第K户居民每天用电量为Xk度，1000户居民每天用电量为X度， EX20122k?10，

DXk?=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则

L?1000?101000?20122 P{X?L}??()?0.99

即

L?10000100000/3?2.33，则L=10425度。

六、X~N(?,?2n)，P{X???0.1}?P{X???/n?0.1?/n2}?2?(0.1?/n)?1?0.997

所以?(0.1?/n)?0.9985??(2.97) 进而 n?29.7?0.5?441

?七、EX????xe?(x??)dx??0(y??)e?ydy???1

^所以 ??EX?1 故 ?M?X?1

八、需要检验的假设 H0:?0?70 H1:?0?70 九、检验统计量为t?X??0sn，H0的拒绝域为W?{|t|?t?2(n?1)}

计算得： x=62.4 s=11.04 所以 t?x??0s/n??2.177

t?(n?1)?t0.05(10?1)?2.2622 所以t?t?(n?1)

222故 接受原假设

八、解：?Y(t)?E[Y(t)]?E[X(t)?sint]?E[X(t)]?sint?t?sint

CY(t1,t2)?E?[Y(t1)??Y(t1)][Y(t2)??Y(t2)]??E?[X(t1)?t1][X(t2)?t2)]???1?t1t21

九、解：E(Y)?E(?tX(t)dt)?021100?10tE[X(t)]dt??t?01xdt?0

E(Y)?E[?tx(t)dt?sx(s)ds]?E[??110010?tsx(t)xs(s)dsdt]01

?????tsE[x(t)x(s)]dsdt??tsR0011001t11X

(s?t)dsdt??ts(1?|s?t|)dsdt?0?ts(1?s?t)dsdt??02210?ts(1?s?t)dsdt?t3113(2?t)3则 D(Y)?E(Y)?E(Y)?

13(2?t)

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