差分方程在数学模型中的几个应用

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型的解的

稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法。

如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、

增量关系等等。

2.具周期性的运动过程的差分方程模型

建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。

模型假设与建立：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为?,??1，振动台面的上下位移是??sin?t，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H处为自由落体运动???H。 又假设tj为第j 次碰撞时刻，第 j次碰撞前的速度为?u(tj)，碰撞后的速度为v(tj)。假设u(tj?1)?v(tj)。振动台台面的运动速度为

~?(t)?d2?v， (??sin?t)???cos?t；又记???t,v?dtg~~~~则有：tj?1?tj?

2v(tj?1)g，??tj?1?tj????j?1??j?vj~2??jg~

（1）

另外，由碰撞规律分析可知:

vj?1??(tj?1)??(?uj?1??(tj?1))

该式经简化处理后可得：

?j?vj) （2） vj?1??vj??cos(由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组

?j?1??j?vj???j??j)?vj?1??vj??cos(3.蛛网模型

在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分

析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。

模型的假设与建立：记第k时段商品的数量为xk，价格为yk，k?1,2,?.在这里我们把时间离散化为时段, 1个时段相当于商品的1个生产周期,如蔬菜,水果是一个种植周期,肉类是牲畜的饲养周期。

现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象。 设第n个时期（长度假定为一年）猪肉的产量为

sQn，价格为Pn，产量与价格的关系为Pn?fs(Qn)，

P P?f(Q) Q?g(P) A3 本时期的价格又决定下一时期的产量，因此，

dQn?1?g(Pn)。这种产销关系可用下述过程来描述：

A4 A2 A1 Q1s?sP1?Q2?sP2?Q3?sP3???Qn?Pn??，

o 图1：蛛网模型图 Q 设

sssA1?(Q1s,P1),A2?(Q2,P1),A3?(Q2,P2),A4?(Q3,P2)?，

ssA2k?1?(Qk,Pk),A2k?(Qk?1,Pk)。以产量Q和价格P分别作为坐标系的横轴和纵轴，

绘出图1。这种关系很像一个蜘蛛网，故称为蛛网模型。

对于蛛网模型，假定商品本期的需求量Qtd决定于本期的价格Pt，即需求函数为Qtd?f(Pt)，商品本期产量Qts决定于前一期的价格Pt?1，即供给函数为

Qts?g(Pt?1)。根据上述假设，蛛网模型可以用下述联立方程式来表示

?Qtd????Pt?s?Qt????Pt?1， ?Qd?Qstt?其中，?,?,?,?均为常数且均大于零。

蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。现在只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。即当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。

假设，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。根据需求曲线，消费者愿意支付P1的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2；在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3；在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是，实际价格又上升为P3。根据第三期较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。如此循环下去（如图2所示），实际产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点e所代表的水平。

d P1P3 PeP2 s e o Q1Q3QeQ4Q2 Q 图2：收敛型蛛网 由此可见，图2中的平衡点e所代表的平衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离平衡点(Pe,Qe)后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态。产量和价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。 4.线性时间离散弥漫网络模型

一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。

模型假设：设有n个国家，用ui表示在时期t??0,1,2,...}的财富。假设只考

(t)虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是?。

模型建立：国家间的财富关系应当满足：

u1(t?1)?u1(t)??(u2(t)?u1)??(un(t)(t)?u1)

(t)u(t?1)?u(t)??(u(t)(t)221?u2)??(u(t))3?u(t2)

………

u(t?1)n?1?u(t)(t)(t)n?1??(un?2?un?1)??(u(t)n?u(t)n?1) u(t?1)??(u(t)(t)(t)(t)n?u(t)n1?un)??(un?1?un)

用矩阵形式表示：

令u(t)?(u(t)(t)(t)1,u2,......,u/n)表示时期t 各个国家的财富状态；??2?100..0?1???12?10..00???0?12?1..00?? 令A........?n???.??........? ?.....2.?10????000..12?1????1000.0?12???则有： u(t?1)?(I??A)n)u(t (3) 记A~~tn?I??A(t)(0)n ，则u?Anu (4)

计算可知A)k?n的特征值为：?(k?4sin2n,1?k?n, A~)n的特征值为：1???(k?1`?4?sin2k?n 对应的特征向量为：v(k)?(v(k)(k))/1,......,vn......1?k?n

其中v(k)m?12km?n(cosn?sin2km?n) 为讨论方便起见，引入如下记号： ?(n)?0,v(n)?1n(1,1,...,1)/

?(0)??(n),v(0)?则有：n为偶数时：

1n(1,1,...1)/,

0??(0)??(n)?...??(k)??(n?k)?...??n(?1)2??n(?1)2?...??n()2??n(n?)2?4,

n 为奇数时：

0??(0)??(n)?...??(k)??(n?k)?...??(n?1)2??(n?1)2?4

记：Vk为由v(k),v(n?k)张成的子空间， 则：u(0)???v(k),u(0)?v(k)

k?0n?1 u(t)?Anun?1~t(0)???vk?0n?1(k),u(0)?Anv(k)

~t??(1??(k)?)t?v(k),u(0)?v(k)

k?on[]2

???(1??(k)?)t??,u(0)??k?0??Vk由此式进一步分析可以获得：当t??时，un的渐进变化状态的规律。 5.人口的控制和预测模型

人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。

模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。设这个地区最大年龄为m岁，第t年为i岁的人数为xi?t?,i?1,2?m,t?0,1,2?，这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。

设第t年为i岁的人口平均死亡率为di(t),即这一年中i岁人口中死亡数与基数之比:

(t)

即：xi?1(t?1)??1?di(t)?xi(t),i?i,2,?,m?1;t?0,1,2?

设第t 年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为bi(t)，?i1,i2?为生育区间。ki(t)为第t年i岁人口的女性比（占全部i岁人口数） 由此可知：第t 年出生的人数为：

记第t 年婴儿的死亡率为d00?t?，则x0?t???1?d00(t)?f?t? 设 hi(t)?bi?t??bi?t? ，它表示i岁女性总生育率，则bt(t)???t?hi?t?,??t??b?t?ii?i1i2如果假设t童年后女性出生率保持不变，则

可见，??t?表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。

模型建立：根据上面的假设

……………………………………。

为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况， 令 x(t)??xi(t),x2(t),?,xm(t)?,

则此向量x?t?满足方程：

即： x?t?1??(A(t)??(t)B(t))x(t) （5） 这是一阶差分方程

其中?(t)是可控变量，x(t)是状态变量，并且关于?(t)和x(t)都是线性的，故称其为双线性方程。

模型分析：在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故A?t??A,B?T??B为常数矩阵。从而：

x?t?1??(A??(t)B(t))x(t) （6）

只要总生育率?(t)确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标： 人口总数：N(t)??xi(t)

i?0m1m人口平均年龄：R(t)?ixi?t? ?N(t)i?0?j?平均寿命：S?t???exp???di?t??，这里假定从第t年分析，如果以后每年的

j?0?i?0?m死亡率是不变的，即：di(t)?di?1(t?1)???

则?di(t)表示 t 年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命

i?0j?j?为j岁，j=1,2…m.而exp???di?t??表示寿命。

?i?0?通过求出x?t?的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。 6.金融问题的差分方程模型 6.1金融问题

设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是 r1，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？

模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。

模型假设：设贷款后第K个月后的欠款数是Ak元，月还款为m元，月贷款利息为r?r1。 12模型建立：关于离散变量Ak，考虑差分关系有：Ak?rAk?Ak?1?m， 即： Ak?1?(1?r)Ak?m （7） 这里已知有：A0?100000,A24?0

令Bk?Ak?Ak?1，则Bk?Bk?1(1?r)?B1(1?r)k?1 ?Ak?A0?B1?B2?...?Bk

?A0?B1[1?(1?r)?...?(1?r)k?1] ?A0(1?r)k?m[(1?r)k?1],k?0,1,2,... r这就是差分方程（7）的解。把已知数据A0,r代入A12n?0中，可以求出月还款额m。例如：A0?10000,r?0.0052125,n?2时，可以求出：m?444.356元。

模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊

mmm，并且当A0?时，总有Ak?，即表明：rrrm每月只还上了利息。只有当A0?时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。

r结果等。如果令Ak?A，则A?6.2筹措教育经费

某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。

模型假设与建立：设第n个月投资帐户资金为Sn元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于Sn的差分方程模型为：

Sn?1?1.005Sn?1000。 （8） 并且S120?0,S0?x。

解方程（8），得通解：

Sn?1.005nC?1000?1.005nC?200000，

1?1.005以及

S120?1.005120C?200000?0,S0?C?200000?x,从而有：

x?200000?2000001.005120

?90073.45。

从现在到20年内，Sn满足的差分方程为：

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