圆锥曲线问题是高考的重点（切点弦方程）

圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

背景知识

已知圆C：x2+y2= r2(r>0),点A(x0, y0)是圆C上一点，求以点A 为切点的切线方程。

分析：易知以A(x0， y0)为切点的直线方程为：x0x+y0y=r2(r>0).

（2011年江西高考理科第14题）

问题1：若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，

）作圆x2+y2=1的切线，切

点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

解：设A（x1，y1） B(x2，y2)

∵点A、B在圆x2+y2=1上，则

过点A（x1，y1）的切线方程为L1：x1x+y1y=1.

过点B（x2 ，y2）的切线方程为L2：x2x+y2y=1.

由于L1，L2经过点（1，

）则x1+y1=1 x2+y2=1

故（x1，y1）（x2，y2）均为方程x+

y=1的解。

∴经过A、B两点的直线方程AB：x+

y=1

设椭圆的右焦点为（c ,0）,上顶点为（0 ,b）

由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。

∴c=1 即b=2

∴a2=b2+c2=5

故椭圆方程为

由此题的解题方法，可得到如下推广：

结论一：（圆的切点弦方程）

过圆x2+y2= r2(r>0)，外一点P（a，b）作圆的两切线，切点为M、N，则直线MN的方程为：ax+by=r2

问题2：过椭圆的方程。

外一点P（1，2）作椭圆的两切线，切点为M、N求直线MN

解：设M（x1，y1） N（x2，y2）则过M、N的切线方程分别为；

由于两切线都过P（1，2），则

① ②

这两式表示直线经过M、N，所以直线MN的方程为：

结论二：（椭圆的切点弦方程）

过椭圆

（a>b>0）外一点P（x0，y0）作椭圆的两切线，切点为M、N则直

线MN的方程为：

问题3：过抛物线y2=4x外一点P（-1，-2）作抛物线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。

解：设M（x1 y1）N（x2 y2）则过M、N的切线方程为y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2)

由于过M、N的切线都经过P（-1、-2）则-2y1=2(x1-1) -2y2=2(x2-1)

∴直线MN的方程为-2y=2(x-1)即x+y-1=0

结论三：（抛物线的切点弦方程）

过抛物线y2=2px(p>0)外一点P（x0,y0）作两切线，切点为M、N，则直线MN的方程为yy0=p(x+x0)

问题4：过双曲线直线MN的方程。

外一点P（3，3）作双曲线两切线，切点分别为M、N，求

解：设两切点的坐标为M（x1，y1）N（x2，y2）则两切线方程为

由于两切线均过P（3，3）则

故（x1，y1）（x2，y2）均为方程

的解，

则过M，N的直线方程为：

结论四：（双曲线的切点弦方程）

过双曲线

外一点P（x0 ，y0）作双曲线两切线，切点分别为M、N则直线MN

的方程为：

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