中考数学压轴题详解

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01、如图，?ABC中，?C?90，AC?4，BC?3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）. （1）当t为何值时，⊙P与AB相切；

t?165s（2）作PD?AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当四边形PDBE为平行四边形.

时，

32、如图，已知抛物线y＝4x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为 3AO2

yQHBPx（－1，0），过点C的直线y＝4tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． (1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；

AFAPC(2)

AN与

AD是否相等？请你说明理由；

(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)

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BMCBMOCBMOCFANPDAFNPDAFNDP

图1 图2 图3

3、如图，在Rt△ABC中，?BAC?90°，?C?60°，BC?24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作

PD∥BA交AC于点D．

（1）若△ABC与△DAP相似，则?APD是多少度？（2分）

（2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？（4分）（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．（4分） 4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?6cm，CD?4cm，BC?BD?10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0?t?5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

S△PEQ?225S△BCD（3）是否存在某一时刻t，使说明理由．

？若存在，求出此时t的值；若不存在，

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

5、如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

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（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

F F B D E C B D O E G x A y A 222222G C ?6、如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的

中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点QA

作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，

D P QR?y．

R E C

B （1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

H Q

（第1题图）

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

7、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

B 图 1 M O P A N 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com A M O B D 图 2

yBPA O N M C N C C B P 图 3 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)，点B(0，3)，点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒(0＜t＜2)． (1)求直线AB的解析式；

(2)设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；

OQAxyBP(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？N若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP?O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP?O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标O菱形的边长；若不存在，请说明理由．

9．在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?x?c经过直线y?2x?4与坐2MQ和AxP'标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A．点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点．

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图①，若过动点M的直线ME//BC交抛物线对称轴于点E．试问抛物线上是否存在点F，使得以点M,N,E,F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图②，若过动点M的直线MD//AC交直线BC于D，连接CM．当?CDM面积最大时，求点M的坐标？

的

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图① 图②

10，如图1-3-8,在直角坐标系中,O为坐标原点,?OABC的边OA在x轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中点,延长AD交OC的延长线于点E.

图1-3-8

(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标; (2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;

(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似.若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.

11、如图1，把一个边长为22的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边). (1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；

//// (2)如图2，另一个边长为22的正方形ABCD的中心G在点M上，B/、D/在x轴的

负半轴上(D/在B/的左边)，点A/在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中B/D/始终与x轴平行.

①直接写出点A/、B/移动路线形成的抛物线c(A/)、c(B/)的函数关系式；

②如图3，当正方形ABCD第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，求点G的坐标．

////

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com MDyCC'DByCC'BD'IO(A)NxD'G(M)A'B'O(A)NxGMA'DyCBB'IO(A)Nx12、如图10，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝

13．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. _ OA_ _ B_ x_ E_ OA_ _ B_ x _ C图10 图11 _ G _ C _ D_ D

13，如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. E （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB

_ y_ yy C Q F x O2 B 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

在，请说明理由. y

D 9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)、F B(1，0)，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

M (1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值N O A 及点D的坐标.

C (2) 求直线DF的解析式.

(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点

（第9题图）

的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

,14已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA?43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由。

E x G 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com y 15、已知：如图，抛物线y?13x?2233x?m与x轴交于D M · F B E G x A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式； ?（3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、A O C A D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. 16、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积.

17、如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，以点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F．（1）当AE?6时，求AF的长；

（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，

A求BE的长；（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

BFEB O H 图8

DC17、已知?ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，

P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。

APCQB当PQ与AC不平行时，?CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

1AB?132

第1问很易得出P为AB中点，则CP=2A第2问：如果?CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，

MCDQB 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

则∠Q不可能为直角

又点P不与A重合，则∠PCQ也不可能为直角，只能是∠CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD，

DMAC?DBABDM?1?2x13DM?5(12?x)1320，即

5，所

10以

?x?6，由

DM?5(12?x)13?CD?xx?10，即

3，而x?6，故3，亦即3?CQ?12时，

?CPQ可能为直角三角形。

当然还有其它方法。同学们可以继续研究。

18、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)．

2（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为y??x?2x?3）．．．

（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(?1，0)，B(3，0),C(0，3)

（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角

?PCO与?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．

y P x C l A A o C x?1 B y B x 练习4图

练习3图

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19、如图所示，已知抛物线y?x2?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？

分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。

解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E

因为∠B＝∠A＝90°

所以AD、BC为⊙O的切线即AD＝DE，BC＝CE 所以AD＋BC＝CD

而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE 小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，∠AP1B和∠AP2B是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点P1、P2即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。 20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD. 1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）. （1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.

21、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

1.求A、B两点的坐标；

2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；

3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

22、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，

点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

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（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

23.如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

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【答案】解：（1）矩形（长方形）； BPBQ?47．

（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°，

?△COP∽△A?OB?． CPA?B?OCCP68，

72．

??OA?，即6??CP?92，

BP?BC?CP????同理△BCQ∽△BCO，

?CQC?Q?B?CCQB?C?，即6?10?68，

?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．

?BPBQ?722．

②在△OCP和△B?A?P中， ??OPC??B?PA?，???OCP??A??90°，?OC?B?A?，?

?△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P．

设B?P?x，

x?254．

(8?x)?6?x在Rt△OCP中，，解得

12254754．

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（3）存在这样的点P和点Q，使

3?P1??9?2点P的坐标是?BP?12BQ．

?P26，6??，?7?6???，4??．

对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

??过点Q画QH⊥OA于H，连结OQ，则QH?OC?OC，

1212?S△POQ?PQ?OC，

S△POQ?OP?QH，

?PQ?OP．

y B? 设BP?x，

?BP?12BQP B A? Q C H C? ，

A ?BQ?2x，

O x ① 如图1，当点P在点B左侧时，

OP?PQ?BQ?BP?3x

在Rt△PCO中，(8?x)?6?(3x)，

x1?1?326x2?1?326222解得， B? y B A? P H O 32C Q C? 不符实际舍去A x ?PC?BC?BP?9?6，

3??P1??9?2??6，6??．

图2，当点P在点B右侧时，?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．

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在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得

?8?254?74，

222x?254．

?PC?BC?BP?7??P2??，6??4?．

3?P1??9?2综上可知，存在点??P26，6??，

?7?16?BP?BQ??，?4?，使2．

【答案】解：（1）3，（2）1≤x≤3．

当x?2时，如图1，连接DE、PF，

?EF为折痕，?DE?PE，

2 令PE为m，则AE?2?m，

在Rt△ADE中，AD?AE?DE，

?1?(2?m)?m522222，

5m?D E O A P

图2

解得

4，此时菱形边长为4．

F H B

（3）如图2，过E作EH⊥BC，易证△EFH∽△DPA，

?FHEH?APAD，?FH?3x

2(F) C

O 图3

H B

?y?EF?EH2?FH2?9?9x2A P

当F与点C重合时，如图3，连接PF，?PF?DF?3，?PB??0≤x≤3?22．

3?1?22，

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显然，函数y?9?9x的值在y轴的右侧随x的增大而增大，当x?3?22时，y有最大值．此时?EPF?90°，△EAP∽△PBF．

综上所述，当y取最大值时，△EAP∽△PBF，x?3?22（?EPF?90°不写不扣分）． D

【答案】(1)解：当⊙P在移动中与AB相切时，设

02P 图1

切点为M，连PM，

则?AMP?90.

AP?PMBC.

2∴?APM∽?ABC.∴AB∵AP?t,AB?t?13.∴

t?53.

2AC?BC?5,

∴5(2)证明：∵BC?AC，PD?AC，∴BC∥DP.

t?165sAP?165.

当时，

165?45.

2PC?4?∴EC?PE?PC2?∴

BE?BC?EC?3?3542321?()?55.

?125.

∴

16PD∵?ADP∽?ABC,∴BC??5AC.∴34，

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PD?125.∴PD?BE. 165∴

t?s∴当

时，四边形PDBE为平行四边形.

【答案】

9解：（1）（0，－3），b＝－4，c＝－3．

39（2）由（1），得y＝4x2－4x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）． ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．由题意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t．

3由y＝4tx－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t．

①当H在Q、B之间时， QH＝OH－OQ

＝（4－4t）－4t＝4－8t． ②当H在O、Q之间时， QH＝OQ－OH

＝4t－（4－4t）＝8t－4．

综合①，②得QH＝｜4－8t｜；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． ①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，

4?8t3t若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得

73＝4t，

∴t＝32．

y3tQHBP若△PHQ∽△COQ，则

4?8tAOxPH∶CO＝HQ∶OQ，得3＝

，

即t2＋2t－1＝0．

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∴t1＝2－1，t2＝－2－1（舍去）． ②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．

8t?43t若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得

253＝4t，

∴t＝32．

3t8t?4若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得3＝4t即t2－2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去）．

725，

综上所述，存在t的值，t1＝2－1，t2＝32，t3＝32．

11、解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?BD?12AB?3?点D为AB中点，

．

??DHB??A?90，?B??B． ?△BHD∽△BAC， DHACBDBC，

BDBC310125．

????DH??AC??8?（2）?QR∥AB，??QRC??A?90．

??C??C，?△RQC∽△ABC， ?RQAB?QCBC，

?y6?10?x10?，

y??35x?6即

y关于x的函数关系式为：

．

（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

??1??2?90，?C??2?90， ??1??C．

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?cos?1?cosC?810?45，

?QMQP?45，

1?3???x?6?2?5?4??18125?x?5． 5，

?35x?6?125，

A D B P E Q R C

A D ②当PQ?RQ时，

?x?6．

E P R Q

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，

?CR?12CE?14AC?2B H

．

?tanC?QRCR?BACA，

A D P B 1 M 2 H Q A D B P E Q ?R E C B ?35D E P R Q

H x?62?6R C 8，

?x?152． 15H

18综上所述，当x为5或6或2时，△PQR为等腰三角形．

[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，

∴△AOC≌△COB.

∴OC＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), 2∴(3)?3OB?OB.

∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).

2设抛物线的解析式为y?ax?bx?c.

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?3a??,?3?9a?3b?c?0,??2?3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3??c?3.??c?3.??∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y??33x?2233x?3.

(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切. (3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO. ∴

MNAO?CNa. ∴?CO33?a3.

解之，得a?33?32.

y E M 3 1 2 4 此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?32C 33?32. N Q F x ,0).

A O1 P O O2 B 考虑到四边形PMNO此时为正方形， ∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且

P(?33?32,0)或P(0,0).

答案：⑴ ∵直线y=2x+4与坐标轴交点B、C的坐标分别是(-2,0)、(0，4)

?4a?2?c?0∴??c?41??a??，解得?2??c?4?抛物线解析式y??12x?x?4

2?抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是(4，0)

⑵由（１）可知，点Ｎ的坐标为?1,0?．设点M?m,0?

?直线ME//BC ?ME的解析式为y?2(x?m)?2x?2m

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将x?1代入,得y?2?2m?E?1,2?2m?