16.5章习题

第二篇 2电磁学

求解电磁学问题的基本思路和方法

本书电磁学部分涉及真空中和介质中的静电场和恒定磁场、电磁感应和麦克斯韦电磁场的基本概念等内容，涵盖了大学物理课程电磁学的核心内容.通过求解电磁学方面的习题，不仅可以使我们增强对有关电磁学基本概念的理解，还可在处理电磁学问题的方法上得到训练，从而感悟到麦克斯韦电磁场理论所体现出来的和谐与美.求解电磁学习题既包括求解一般物理习题的常用方法，也包含一些求解电磁学习题的特殊方法.下面就求解电磁学方面的方法择要介绍如下. 1.微元法

在求解电场强度、电势、磁感强度等物理量时，微元法是常用的方法之一.使用微元法的基础是电场和磁场的叠加原理.依照叠加原理，任意带电体激发的电场可以视作电荷元dq 单独存在时激发电场的叠加，根据电荷的不同分布方式，电荷元可分别为体电荷元ρdV、面电荷元σdS 和线电荷元λdl.同理电流激发的磁场可以视作为线电流元激发磁场的叠加.

例如求均匀带电直线中垂线上的电场强度分布.我们可取带电线元λdl 为电荷元，每个电荷元可视作为点电荷，建立坐标，利用点电荷电场强度公式将电荷元激发的电场强度矢量沿坐标轴分解后叠加

E??1?dlcos? 2?l/24??0rl/2统一积分变量后积分，就可以求得空间的电场分布.类似的方法同样可用于求电势、磁感应强度的分布.

此外值得注意的是物理中的微元并非为数学意义上真正的无穷小，而是测量意义上的高阶小量.从形式上微元也不仅仅局限于体元、面元、线元，在物理问题中常常根据对称性适当地选取微元.例如，求一个均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布，我们可以取宽度为dr 的同心带电圆环为电荷元，再利用带电圆环轴线上的电场强度分布公式，用叠加的方法求得均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布.

2.对称性分析

对称性分析在求解电磁场问题时是十分重要的.通过分析场的对称性，可以帮助我们了解电磁场的分布，从而对求解电磁学问题带来极大方便.而电磁场的对称性有轴对称、面对称、球对称等.下面举两个例子.

在利用高斯定律求电场强度的分布时，需要根据电荷分布的对称性选择适当的高斯面，使得电场强度在高斯面上为常量或者电场强度通量为零，就能够借助高斯定律求得电场强度的分布.相类似在利用安培环路定律求磁感强度的分布时，依照电流分布的对称性，选择适当的环路使得磁感强度在环路上为常量或者磁场环流为零，借助安培环路定律就可以求出磁感强度的分布. 3.补偿法

补偿法是利用等量异号的电荷激发的电场强度，具有大小相等方向相反的特性；或强度相同方向相反的电流元激发的磁感强度，具有大小相等方向相反这一特性，将原来对称程度较低的场源分解为若干个对称程度较高的场源，再利用场的叠加求得电场、磁场的分布.

例如在一个均匀带电球体内部挖去一个球形空腔，显然它的电场分布不再呈现球对称.为了求这一均匀带电体的电场分布，我们可将空腔带电体激发的电场视为一个外半径相同的球形带电体与一个电荷密度相同且异号、半径等于空腔半径的小球体所激发电场的矢量和.利用均匀带电球体内外的电场分布，即可求出电场分布. 4.类比法

在电磁学中，许多物理量遵循着相类似的规律，例如电场强度与磁场强度、电位移矢量与磁感强度矢量、电偶极子与磁偶极子、电场能量密度与磁场能量密度等等.他们尽管物理实质不同，但是所遵循的规律形式相类似.在分析这类物理问题时借助类比的方法，我们可以通过一个已知物理量的规律去推测对应的另外一个物理量的规律.例如我们在研究LC 振荡电路时，我们得到回路电流满足的方程

d2i1?i?0 dt2LC显然这个方程是典型的简谐振动的动力学方程，只不过它所表述的是含有电容和自感的电路中，电流以简谐振动的方式变化罢了. 5.物理近似与物理模型

几乎所有的物理模型都是理想化模型，这就意味着可以忽略影响研究对

象运动的次要因素，抓住影响研究对象运动的主要因素，将其抽象成理想化的数学模型.既然如此，我们在应用这些物理模型时不能脱离建立理想化模型的条件与背景.例如当带电体的线度远小于距所考察电场这一点的距离时，一个带电体的大小形状可以忽略，带电体就可以抽象为点电荷.但是一旦去研究带电体临近周围的电场分布时，将带电体当作点电荷的模型就失效了.在讨论物理问题时一定要注意物理模型的适用条件.同时在适用近似条件的情况下，灵活应用理想化模型可大大简化求解问题的难度.

电磁学的解题方法还有很多，我们希望同学们通过练习自己去分析、归纳、创新和总结.我们反对在学习过程中不深入理解题意、不分析物理过程、简单教条地将物理问题分类而“套”公式的解题方法.我们企盼同学们把灵活运用物理基本理论求解物理问题当成是一项研究课题，通过求解问题在学习过程中自己去领悟、体会，通过解题来感悟到用所学的物理知识解决问题后的愉悦和快乐，进一步加深理解物理学基本定律，增强学习新知识和新方法的积极性.

第五章 静 电 场

5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的( )

分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为??，方向沿带电2?0平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B).

5 －2 下列说法正确的是( )

(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 (B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 (C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零

(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零

分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B). 5 －3 下列说法正确的是( ) (A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零

(D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零

分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D).

*5 －4 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p 水平指向棒尖端而停止

(B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动

(C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动

(D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动

分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B).

5 －8 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl与其最邻近的八个一价铯离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构.(1) 求氯离子所受的库仑力；(2) 假设图中箭头所指处缺少一个铯离子(称作晶格缺陷)，求此时氯离子所受的库仑力.

－

分析 铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加.为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力.

解 (1) 由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故F1 ＝0.

(2) 除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力F2 的值为

q1q2e2F2???1.92?10?9N 224??0r3??0aF2 方向如图所示.

5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为

E?1Q

??04r2?L2(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为

E?1Q

???0r4r2?L2若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.

分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq ＝Qdx/L，它在点P 的电场强度为

dE?整个带电体在点P 的电场强度

1dqer

???0r?2E??dE

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，

E??dEi

L(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是

E??dEyj=?sin?dEj

L证 (1) 延长线上一点P 的电场强度E?r －x统一积分变量，则

dq利用几何关系 r′＝?L???0r?2，

EP??1QdxQ?11?1Q???222?L/24??4??0L??r?L/2r?L/2????04r?L0L?r?x?L/2电场强度的方向沿x 轴.

(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为

E=?L/2sin?dqdE

L???r?201L?4r22利用几何关系 sin α＝r/r′，r??r2?x2 统一积分变量，则

E??1rQdxQ??L/24??222/32??0r0L?x?r? 当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度

E?lim =1Q/Ll??2??r1?4r2/L20????0r

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r2/L2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.

5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.

分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆

环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元

dq??dS???2?R2sin?d?，在点O 激发的电场强度为

1xdq dE?4??0(x2?r2)32由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系

x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，有

1xdq1Rcos?2dE????2?Rsin?d?2/33224??0x?r4??0R???sin?cos?d?2?0?????积分得 E?? sin?cos?d??02?4?00 =

5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.

分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即

?s??E?dS

S方法2：作半径为R 的平面S′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

??E?dS?1S?0?q?0

这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上

等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而

???E?dS???E?dS

SS?解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

???E?dS???E?dS

SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向，

???E??R2?cos???R2E

解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

E?E?cos?e??sin?cos?e??sin?sin?er?

dS=R2sin?d?d?er

22???E?dS?ERsin?sin?d?d???SS??????ER2sin2?d??sin?d?00??

??????R2E5 －16 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带

m ，方向指向地面.试有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120V?求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示). 分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.

解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径

-1R?RE (RE为地球平均半径).由高斯定理

2E?dS??E4?R?E??1?0?q

地球表面电荷面密度

2???q/4?RE???0E??1.06?10?9C?m?2

单位面积额外电子数

n??/?e?6.63?105cm?2

5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为

??kr?????(0?r?R)

??0??????????(r?R)k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.

分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因

??2E?ds?E?4??r而有?s ??1??dV，可解得电场强度根据高斯定理?E?dS?s?0V的分布.

(2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为，

?dE?0，而在球壳外激发的电场

?dq?dE?er 24??0rdq???4?r/2dr/每个带电球壳在壳内激发的电场

由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布

??rE(r)??dE0 0?r?R

??RE(r)??dE r?R

0

解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电

??1场强度的大小为常量，由高斯定理?sE?dS??V?dV得

?0球体内(0≤r≤R)

?k4E(r)4?r??kr?4?rdr?r

?00?021r2

2?kr?E(r)?er4?0

球体外(r ＞R)

?00?kR4?E(r)?e2r

4?0rE(r)4?r?21?R?k4kr?4?rdr?R?0

2

解2 将带电球分割成球壳，球壳带电

dq???4?r/2dr/

由上述分析，球体内(0≤r≤R)

?r1kr/4?r/2dr/?kr2?E(r)??er?er 204??0r4?0

球体外(r ＞R)

?R1kr/4?r/2dr/?kR4?E(r)??er?er 2204??r4?0r0

5 －18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.

分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.

解 由教材中第5 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近

E1??en 2?0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场

???xE2??1???en 222?0?x?r?

它们的合电场强度为

E?E1?E2??2?0xx?r22en

在圆孔中心处x ＝0，则

E ＝0

在距离圆孔较远时x ＞＞r，则

?1en2?01?r2/x2

???????en2?0E?上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.

5 －19 在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为

E??a 3?0

分析 本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的

电场强度分别为E1 、E2 ，则P 点的电场强度 E＝E1 ＋E2 .

证 带电球体内部一点的电场强度为

E?所以 E1??r 3?0??r1，E2??r2 3?03?0?E?E1?E2?(r1?r2)

3?0E?根据几何关系r1?r2=a，上式可改写为

?a 3?05 －20 一个内外半径分别为R1 和R2 的均匀带电球壳，总电荷为Q1 ，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.

分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而

2EdS?E?4?r .在确定高斯面内的电荷??0?q 后，利用高斯定理??EdS??q/?即可求出电场强度的分布.

解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析

E?4?r2??q/?0

r ＜R1 ，该高斯面内无电荷，?q?0，故E1?0

Q1(r3?R13)R1 ＜r ＜R2 ，高斯面内电荷?q? 33R2?R1Q1(r3?R13)故 E2? 3324??0(R2?R1)rR2 ＜r ＜R3 ，高斯面内电荷为Q1 ，故

E3?Q14??0r2

r ＞R3 ，高斯面内电荷为Q1 ＋Q2 ，故

E4?Q1?Q2

4??0r2电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量

?E?E4?E3?Q2? ?4??0R32?0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.

5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和R2 ＞R1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R1 ，(2) R1 ＜r ＜R2 ，(3) r ＞R2 .

分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且

求出不同半径高斯面内的电荷?q.即可解得各区域电??EdS?E?2?rL，场的分布.

解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 r ＜R1 ，

?q?0

E1?0

E?2?rL??q/?0

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R1 ＜r ＜R2 ，

? 2??0rr ＞R2， ?q?0

E3?0

E2?在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

?q??L

?E???L??? 2??0r2??0rL?0这与5 －20 题分析讨论的结果一致.

5 －22 如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且

Q1 ＝Q3 ＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.

分析 由库仑力的定义，根据Q1 、Q3 所受合力为零可求得Q2 .外力作功W′应等于电场力作功W 的负值，即W′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为

W??QEdl

02?其中E 是点电荷Q1 、Q3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有

W?Q2(V0?V?)?Q2V0

其中V0 是Q1 、Q3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q1 所受的合力为零

Q3Q2?Q?0 1224??0d4??0(2d)11解得 Q2??Q3??Q

44Q1由点电荷电场的叠加，Q1 、Q3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为

E?E1y?E3y?Qy2??0(d2?y2)3/2

将Q2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为

Qy1Q2 W'???Q2E?dl???[?Q]?dy=0042??0(d2?y2)3/28??0d1解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q，并由电势

4??

的叠加得Q1 、Q3 在点O 的电势

V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d

将Q2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功

W'??Q2V0?Q28??0d

比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －26 电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.

分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解 由“无限大” 均匀带电平板的电场强度?分布，

?i，叠加求得电场强度的2?0?0 (x??a)???E??i (?a?x?a)

?2?0??0 (x?a)

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

?x (?a?x?a)

x?0-a0?V??E?dl??E?dl?a (x??a)

x-a?0a0?V??E?dl??E?dl??a (x?a)

x-a?0V??E?dl??0电势变化曲线如图(b)所示.

5 －27 两个同心球面的半径分别为R1 和R2 ，各自带有电荷Q1 和Q2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？

分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由

Vp??E?dl可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带

p?电的球面，在球面外产生的电势为

V?Q4??0rQ4??0R

在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势

V?

其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布

E1?0 (r?R1)E2?E3?由电势V?Q14??0r2er (R1?r?R2)

Q1?Q2e (r?R2)2r4??0r??rE?dl 可求得各区域的电势分布.

V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2?当r≤R1 时，有

?????0??????当R1 ≤r≤R2 时，有

Q11Q?Q21[?]?14??0R1R24??0R2?Q24??0R2?

Q14??0R1R2V2??E2?dl??E3?dlrR2????=?????当r≥R2 时，有

Q111Q?Q2[?]?1 4??0rR24??0R2Q14??0r??Q24??0R2V3??E3?dl?rQ1?Q2

4??0r(2) 两个球面间的电势差

U12??E2?dl?R1R2Q1?11???? 4??0?R1R2?解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1 ，则

V1?Q14??0R1Q14??0r?Q24??0R2Q24??0R2

若该点位于两个球面之间，即R1 ≤r≤R2 ，则

V2??

若该点位于两个球面之外，即r≥R2 ，则

V3?(2) 两个球面间的电势差

Q1?Q2

4??0rQ14??0R1?Q14??0R2

U12?(V1?V2)r?R?25 －28 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.

分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

??E?dS?a1?0b?VdV

可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义

Va-Vb??E(r)?dl

并取棒表面为零电势(Vb ＝0)，即可得空间任意点a 的电势.

解 取高度为l、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理 当r≤R 时

E?2?rl??r2l?/?0

?r得 E(r)=

2?0当r≥R 时

E?2?rl??R2l?/?0

?R2得 E(r)=

2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当r≤R 时

V(r)=?当r≥R 时

Rr?r?dr?(R2?r2) 2?04?0RV(r)=?r?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r－

如图所示是电势V 随空间位置r 的分布曲线.

5 －29 一圆盘半径R ＝3.00 ×102 m.圆盘均匀带电，电荷面密度σ＝2.00×105 C·m2 .(1) 求轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势

－

－

梯度的关系求电场分布；(3) 计算离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.

分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布. 解 (1) 带电圆环激发的电势

dV?14??0rdr?2?rdrr?x?22

由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的

?V?2?0?R0r2?x2?2?0?R2?x2-x (1)

? (2) 轴线上任一点的电场强度为

E=-电场强度方向沿x 轴方向.

dV?xi=[1?]i (2)

22dx2?0R?x(3) 将场点至盘心的距离x ＝30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得

V?1691V

E=5607V?m?1

当x＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为q??R2??5.65?10?8C.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有

4??0xqE=?5649V?m?1 24??0x由此可见，当x＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.

5 －30 两个很长的共轴圆柱面(R1 ＝3.0×102 m，R2 ＝0.10 m)，带

－

V?q?1695V

有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的电场强度.

解 (1) 由习题5 －21 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为

E=根据电势差的定义有

? 2??0rR?ln2 2??0R1U12??E2?dl?R1R2解得 ??2??0U12/lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 (2) 解得两圆柱面之间r ＝0.05m 处的电场强度

E=

??7475V?m?1 2??0r

E=5607V?m?1

当x＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为q??R2??5.65?10?8C.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有

4??0xqE=?5649V?m?1 24??0x由此可见，当x＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.

5 －30 两个很长的共轴圆柱面(R1 ＝3.0×102 m，R2 ＝0.10 m)，带

－

V?q?1695V

有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的电场强度.

解 (1) 由习题5 －21 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为

E=根据电势差的定义有

? 2??0rR?ln2 2??0R1U12??E2?dl?R1R2解得 ??2??0U12/lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 (2) 解得两圆柱面之间r ＝0.05m 处的电场强度

E=

??7475V?m?1 2??0r

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