2012届高三数学“三基”练习（十三）

2012届高三数学“三基”练习（十三）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上． ．．．．．．1. 集合M?xx2?2x?0，N?xx?1，则M?N? . 2. 复数z满足条件z(1?i)?2，则z? . 3. 已知???,?，sin??5，则tan?? .

25??????x??????4. 已知向量a?(1,1),b?(2,x)，若a?b与a?2b平行，则实数x? .

5. 函数f?x??e的单调递增区间是 .

x6. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是___________.

7. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x,y，则log2xy?1的概率为______________. ?x?y≥2?8. 已知O为坐标原点，点M(x,y)为平面区域?x≤1上的动点，

?y≤2?则x?y的取值范围是 .

9. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为4，则其侧面积为 .

010. 在?ABC中，D为BC的中点，AD?1，?ADB?120，若AB?3AC，

则BC? .

11. 已知直角梯形ABCD中，AD//BC, ?ADC?90，AD?2,BC?1，P为腰DC上????????的动点，则2PA?3PB的最小值为 .

012. 若实数a、b、c满足lg10a?10b?a?b，lg10a?10b?10c?a?b?c， 则c的最大值是 .

13. 若数列?n(n?4)()?中的最大项是第k项，则k=______________.

214. 已知a?0,方程x?2ax?2alnx?0有唯一解,则a? .

??????2n?3?

二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

???15. 已知向量a?(cosx,sinx),b?(2sinx,sinx?cosx),c?(?1,0).

（1）若x??,求向量a与c的夹角；

6??（2）当x???,9??时,函数f(x)?pa?b?q(p?0)的最大值为1,最小值为?2,求

?28?????p、q的值.

16. 如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，CD?2AB，E为PC的中点.

（1）求证：BE//平面PAD；

（2）若AB?平面PAD，平面PBA?平面PBD，求证：PA?PD.

P

E

A

B

C

D

17. 如图是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径. （1）若圆柱的底面直径和高都是6米，求此储油罐的容积和表面积； （2）若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低（即

2此几何体的表面积最小）？（球的表面积公式是S?4?R，体积公式是V?4?R3，R3是球的半径）

18.已知O为坐标原点，过点M(?2,0)的直线l与圆x2?y2?1交于P,Q两点．

????????1（1）若OP?OQ??，求直线l的方程；

2（2）若?OMP与?OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

19. 已知f?x??x?a?a?0?，当x??1,3?时，f?x?的值域为A，且A??n,m??n?m?.

x（1）若a?1,求m?n的最小值； （2）若m?16,n?8，求a的值；

（3）若m?n?1，且A??n,m?，求a的取值范围.

20. 已知常数a?0，数列{an}前n项和为Sn，a1?1，且an?（1）求证：数列{an}为等差数列；

（2）若bn?3n?(?1)nan,且数列{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；

Sn?a?n?1?. nan（3）若a?1，数列{cn}满足：cn?，对于任意给定的正整数k，是否存在p、

2an?2011；若不存在说q?N?，使得ck?cp?cq？若存在，求出p、q的值（只要写出一组即可）明理由.

1．(0,1) 2．1?i 3．?6．63 7．

1 4．2 5．(1,??)(或[1,??)) 21 8．[?2,0] 9．410 10．2 124111．7 12．lg 13．4 14．

3215．（1）当x??6时，cos?a,c??a?c|a|?|c|??cosx??3 ┄┄┄4分 2 ?0??a,c???，??a,c??5?． ┄┄┄6分 6??2?2 （2）a?b?2sinxcosx?sinx?sinxcosx?sin(2x?) ┄┄┄9分

24 ?x?[?9?2,8]，?2x??4?[3??2,2?]，∴sin(2x?)?[?1,]． ┄11分 442?p?q?1?p?2? ∵ p?0，∴ ?，∴． ┄┄┄14分 ?21q??1?)p?q??2??(??2216．（1）（思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF，其中F为PD的中点） 取PD中点F，连AF、EF，则EF为中位线∴EF∥CD且EF= 又∵AB∥CD且AB=

1CD ┄┄┄2分 21CD∴EF∥AB且EF=AB 2 ∴四边形ABEF为平行四边形 ┄┄┄5分 ∴BE∥AF，∵BE?面PAD，AF?面PAD，∴BE∥面PAD； ┄┄┄8分

（思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连结PF，易知BE∥PF） （思路3：转化为面面平行，取CD中点F，易证平面BEF∥平面PAD） （思路2、3参照思路1给分）

（2）在平面PBA内作AH?PB于H，

∵平面PBA?平面PBD且平面PBA?平面PBD=PB∴AH?平面PBD ┄12分 ∴AH?PD，又∵AB?平面PAD，∴AB?PD，

∵AB?AH=A∴PD?平面PBA，∴PA?PD． ┄┄┄15分 17．设圆柱的底面半径为r，高为h， （1）∵V半球?23?r?18?，V圆柱??r2h?54?， 3∴容积V?V半球?V圆柱=72?（米3）， ┄┄┄3分 ∵S半球?2?r?18?，S圆柱侧?2?rh?36?，S圆柱底??r?9?，

∴表面积S?S半球?S圆柱侧?S圆柱底?63?（米2）； ┄┄┄6分

22

（2）∵V?V半球?V圆柱2V??r323??r3??r2h，∴h?， ┄┄┄8分 23?r ∴S?S半球?S圆柱侧?S圆柱底?2?r2?2?rh??r2

2V??r32V5?r223? ?2?r?， ┄┄┄10分 ?3?r?2r3?r2V10?r3V3 ∴S'??2?，令S'?0得r?时表面积有最小值， ┄┄┄13分

r35?2V??r3hV2523 此时??????1． r?r3?r3333即圆柱的高与底的比为1时，制造这种储油罐的成本最低． ┄┄┄15分

18．（1）依题意，直线l的斜率存在，

因为 直线l过点M(?2,0)，可设直线l：y?k(x?2)．

????????因为P,Q两点在圆x?y?1上，所以 OP?OQ?1，

22????????????????????????11因为 OP?OQ??，所以 OP?OQ?OP?OQ?cos?POQ?? .

221?所以 ?POQ?120 所以 O到直线l的距离等于．

2所以

|2k|115. ?， 得k??215k?12所以 直线l的方程为x?15y?2?0或x?15y?2?0． …………6分

?????????（2）因为?OMP与?OPQ的面积相等，所以MQ?2MP，

?????????设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，所以 MQ?(x2?2,y2)，MP?(x1?2,y1)．

所以??x2?2?2(x1?2),?x2?2(x1?1), 即? （*）

y2?2y1,?y2?2y1.??x12?y12?1,因为 P，Q两点在圆上，所以?2 2?x2?y2?1.7?x??，221??x1?y1?1,8?把（*）代入得? 所以 ?22?4(x1?1)?4y1?1.?y??15．1?8?故直线l的斜率k?kMP??1515， 即k??． ………13分 9919．（1）∵a?1，∴f(x)在区间[1,3]上单调递增，∴f(x)?[f(1),f(3)]， ┄┄3分

∴当x?[1,3]时，m?n?f(3)?f(1)? （2）解法一

∵当x?0时，f(x)?x?44即m?n的最小值是； ┄┄5分 33a在(0,a]上单调递减，在[a,??)上单调递增， x1?a?16?f(1)?m? ∴????a?15 ┄┄┄6分 a3??16f(3)?m??3 ①当a?1，即0?a?1时，f(x)?x? ∴f(1)?n，a?7（舍去）； ②当1?a在[1,3]单调递增， xa?3，即1?a?9时，f(x)?x?a的最小值是2a， x ∴2a?n，a?16（舍去）； ③当a?3，即a?9时， f(x)?x?a在[1,3]单调递减， x ∴f(3)?n，a?15． ┄┄┄9分 综上可得：a?15． ┄┄┄10分 解法二 当m?16时，x?a?16恒成立，即a?16x?x2恒成立， x∴a??x?16x,x??1,3?2??min?15； ┄┄┄7分

当n?8时，x?a?8恒成立，即a?8x?x2恒成立， x∴a??x?8x,x??1,3?2??max?15； ┄┄┄9分

综上可得：a?15． ┄┄┄10分 （3）①若a?1，即0?a?1时，f(x)?x?a在[1,3]单调递增， x2?1?m?n?f(3)?f(1)?2?a ∴?3，无解； ┄┄┄11分

?0?a?1a ②当1?a?3即1?a?9时f(x)?x?在[1,a]递减，在[a,3]递增，

x ∴???1?m?n?f(3)?f(a)??1?m?n?f(1)?f(a)或?

???1?a?3?3?a?9 ∴12?63?a?4 ┄┄┄13分 ③当a?3，即a?9时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，

2?1?m?n?f(1)?f(3)?a?2 ∴?，无解； ┄┄┄14分 3?a?9 综上可得：12?63?a?4 ┄┄┄16分

20．（1）∵an?Sn?a(n?1)∴Sn?nan?an(n?1)，an?1?Sn?1?Sn， ┄┄┄2分 n ∴an?1?[(n?1)an?1?a(n?1)n]?[nan?an(n?1)]

化简得：an?1?an?2a（常数），

∴数列{an}是以1为首项，公差为2a的等差数列； ┄┄┄4分

（2）由（Ⅰ）知an?1?2a(n?1)，又∵bn?3n?(?1)nan，bn?bn?1，

∴3n?(?1)nan?3n?1?(?1)n?1an?1，∴(?1)n[1?(2n?1)a]?3n

3n?1 ①当n是奇数时，∵?[1?(2n?1)a]?3，∴a??，n?1,3,5,7,?

2n?13n?1 令f(n)??，∴a?f(n)max

2n?13n?2?13n?1?4(4n?3)3n?4 ∵f(n?2)?f(n)?????0

2n?32n?1(2n?1)(2n?3) ∴f(1)?f(3)?f(5)???f(n)??，且f(1)??4，∴a??4； ┄7分

n3n?1 ②当n是偶数时，∵1?(2n?1)a?3，∴a?，n?2,4,6,8,?

2n?13n?1 令g(n)?，∴a?g(n)min

2n?13n?2?13n?14(4n?3)3n?4 ∵g(n?2)?g(n)????0

2n?32n?1(2n?1)(2n?3)88 ∴g(2)?g(4)?g(6)???g(n)??，且g(2)?，∴a?g(2)?；

338 综上可得：实数a的取值范围是(?4,)． ┄10分

3n （3）由（Ⅰ）知，an?n，又∵cn?，

n?2011 设对任意正整数k，都存在正整数p,q，使ck?cpcq，

n ∴

kpqk(q?2011)??，∴p? ┄┄┄12分

k?2011p?2011q?2011q?k 令q?k?1，则p?k(k?2012)（或q?2k,p?2k?2011）

∴ck?ck(k?2012)?ck?1（或ck?c2k?2011?c2k） ┄16分

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