江苏省南通市启东中学2016届高三上学期第一次月考试题 数学

江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合A 1,2,4 ，B x|(x 1)(x 3)≤0 ，则A B ． 2．命题“ x [0, )，x2 3”的否定是．

3．在3和243中间插入3个实数a1，a2，a3，使这5个数成等比数列，则a2 ． 4．已知sin cos

7π

， ( ,0)，则tan 132

5．函数f(x) lnx 2x 3在区间(1,2)上的零点个数为

6．已知定义在R上的函数f(x) ax2 2x 3的值域为[2, )，则f(x)的单调增区间为 ．

3]上的最大值与最小值之和是 7．函数f(x) 8 12x x3在区间[ 3，

8．等差数列 an 的前m项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为 ．

9．若 、 均为锐角，且cos

147

，cos( ) ，则cos ． 1751

x

10．函数y f x 是R上的奇函数，满足f 3 x f 3 x ，当x (0,3)时，f x 2，则

f( 5)

11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列

函数：

⑴f1(x) sinx cosx；

⑵f2(x)x

⑶f3(x) x cosx)；⑷f4(x) sinx；

xxx

⑸f5(x) 2cos(sin cos)，其中“互为生成”函数的有（请填写序号）

222 2

12．已知 ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足AB AD AC AD BC，

则|BC|

1

13．已知直线l与曲线y 和曲线y lnx均相切，则这样的直线l的条数为

x

2014

1*

14．已知数列 an 满足a1 1，且an 1 an ，n N，则 k(a2015 ak)

n 1k 1二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知集合A x||2x 1| 3 ，B x|x2 (a 2)x 2a≤0． ⑴若a 1，求A B；

⑵若A B A，求实数a的取值范围．

16．(本小题满分14分)

已知 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足⑴求角A的值；

⑵若a，c，b成等差数列，试判断 ABC的形状．

b asinB sinC

．

csinB sinA

17．(本小题满分14分)

已知向量a，b，c满足a b c 0，且a与b的夹角等于150 ，b与c的夹角等于120 ，

|c| 2，求|a|，|b|．

18．(本小题满分16分)

设Sn是等比数列 an 的前n项和，S3，S9，S6成等差数列． ⑴设此等比数列的公比为q，求q3的值；

⑵问：数列中是否存在不同的三项am，an，ap成等差数列？若存在，求出m，n，p满足

的条件；若不存在，请说明理由．

2

已知各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn，满足：Sn 1 kan tan 1,n≥2,n N*(其

中k,t

为常数)． ⑴若k

11

，t ，数列 an 是等差数列，求a1的值； 24

⑵若数列 an 是等比数列，求证：k t．

20．(本小题满分16分)

已知函数f(x)=ex(其中e是自然对数的底数)，g(x) x2 ax 1，a R．

⑴记函数F(x) f(x) g(x)，当a 0时，求F(x)的单调区间；

⑵若对于任意的x1，x2 [0,2]，x1 x2，均有|f(x1) f(x2)| |g(x1) g(x2)|成立，求实数a

的取值范围．

江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学试题参考答案

一、填空题

1． 1,2 ； 2． x [0, )，x2≤3； 3．27； 4．

12； 5

5．1； 6．[ 1, )（( 1, )也对）； 7．16； 8．210；

1

9．； 10． 2； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．

3二、解答题

15．解：由题意知，A ( 1,2)；

⑴当a 1时，B [1,2]， 6分

8分

②当a 2时，B [a,2]，由A B得：a≤ 1； ………………………………………11分

③当a 2时，B [2,a]，此时A B，不符合题意；

综上所述，实数a的取值范围为( , 1]． …………………………………………14分

16．解：⑴由正弦定理，得： 4分

⑵ A B A， A B；

①当a 2时，B 2 ，不符合题意； ………………………………………………… A B [1,2)； …………………………………………………………

b ab c

，

cb a

整理，得：a2 b2 c2 bc， ………………………………………………………

1

由余弦定理，得：cosA ，

2 A是 ABC的内角， A

π

； ………………………………………………………3

7分

⑵ a，c，b成等差数列， 2c a b，

分

分

由⑴可知，a2 b2 c2 bc，

(2c b)2 b2 c2 bc，整理，得：3c2 3bc 0，…………………………………12

由c 0，得b c， a b c，

……………………………………………………………14 ABC是等边三角形．

（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）

2 2 2

a b c a b 2a b c

17．解：由a b c 0得： 2， ………………………5 2 2

b c a b c 2b c a 分

分

分

解之，

得：|a| |b| 4． …………………………………………14

2 2

|a| |b| 2|a||b|cos150 4

…………………………………………10 2，2

|b| 4 2 2 |b|cos120 |a|

（注：本题可先判断a c，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）

18．解：⑴ S3，S9，S6成等差数列， 2S9 S3 S6， (S9 S6) (S9 S3) 0，

即

(a7 a8 a9) (a7 a8 a9) (a4 a5 a6) 0， …………………………………4分

2q3(a4 a5 a6) (a4 a5 a6) 0， …………………………………………6分

8分

a4 a5 a6 a4(1 q q2) 0， q3

1

；………………………………………2

⑵存在不同的三项a1，a7，a4成等差数列． ………………………………………10分

11

a7 a1q6 a1，a4 a1q3 a1， 2a7 a1 a4；……………………………

4212分

一般地，当n m 6，且p m 3时，有am，an，ap成等差数列． …………16分

（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比q是否等于1，不讨论者扣3分）

112

19．解：⑴由题意知，Sn 1 an an 1

24

112

Sn an 1 an 1 1，

24

(*)，

111212

两式相减，得：an an 1 an an ………………………… an(n≥2)， 1

2244

2分

整理，得：(an 1 an)(an 1 an 2) 0(n≥2)，

an 0， an 1 an 2(n≥2)， …………………………………………

4分

数列 an 是等差数列， a2 a1 2， …………………………………………

6分

112

由(*)得：a1 a2 a2

1， a1 1

24

a1 0，a1 1； ……………………………………………………

8分

10分

22

设等比数列 an 的公比为q， an kqan kan tq2an， tan22⑵由Sn 1 kan tan 1得Sn kan 1 tan 1 1，

22两式相减，得：an kan 1 kan tan≥2)， ……………………………… 1 tan(n

t(q2 1)an kq k 1(n≥2)，由已知，可知q 0，…………………………………

12分

q 1， an 不是常数列， t 0； ………………………………………

14分

Sn 1 kan 1，而an 0且Sn 1 0， k 0，

k t． ………………………………………………………………………………

16分

20．解：⑴F(x) f(x) g(x) ex(x2 ax 1)， F (x) ex(x 1)(x a+1) 0 ，

得x 1或x a 1， ……………………………………………………………2分

列表如下：（a 0， 1 a 1）

…………………………………………………………………………………4分

F(x)的单调增区间为：( , 1 a)，( 1, )，减区间为( 1 a, 1)； ……………

6分 ⑵设x1 x2， f(x) ex是单调增函数， f(x1) f(x2)，

f(x2) f(x1) |g(x1) g(x2)| f(x1) f(x2) g(x1) g(x2) f(x2) f(x1)；………

8分

①由f(x1) f(x2) g(x1) g(x2)得：f(x1) g(x1) f(x2) g(x2)， 即函数y f(x) g(x) ex x2 ax 1在[0,2]上单调递增， y f (x) g (x) ex 2x a≥0在[0,2]上恒成立， a≤ex 2x在[0,2]上恒成立；

令h(x) ex 2x， h (x) ex 2 0 x ln2，

x [0,ln2)时，h (x) 0；x (ln2,2]时，h (x) 0；

h(x)min h(ln2) eln2 2ln2 2 2ln2，

a≤2 2ln2； …………………………………………………………

…

12分

②由g(x1) g(x2) f(x2) f(x1)得：g(x1) f(x1) f(x2) g(x2)， 即函数y f(x) g(x) ex x2 ax 1在[0,2]上单调递增， 16分

y f (x) g (x) ex 2x a≥0在[0,2]上恒成立， a≥ ex 2x在[0,2]上恒成立；

函数y ex 2x在[0,2]上单调递减， 当x 0时，ymax e0 2 0 1， a≥-1，

综上所述，实数a的取值范围为[ 1,2 2ln2]．…………………………………………

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