级数求和与函数展开习题课

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第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开一、数项级数的审敛法√

二、求幂级数收敛域的方法4、5、7节

三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、幂级数和函数的求法 求部分和式极限 利用幂级数性质,借用已知幂级数的和函数求解 (在收敛区间内)

n 0

an xS (x)

n

逐项求导或求积分

n 0

an x n

求和

对和式积分或求导

S * ( x)

数项级数 求和

直接求和:

求部分和等

间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用函数的幂级数(或常用幂级数的展开式)

1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!x

x ( , )

( 1) n n 1 ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 2 3 4 x ( 1, 1] 5 7 2 n 1 3 x x x n x ( 1) sin x x 5! 7 ! (2n 1) ! 3! x ( , ) x2 x 4 x6 x 2n ( 1) n cos x 1 2 ! 4 ! 6! ( 2n) ! x ( , )机动 目录 上页 下页 返回 结束

m(m 1) 2 (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x x ( 1, 1) n! 当 m = –1 时 1 1 x x 2 x 3 ( 1) n x n , x ( 1, 1) 1 xm

1 2 3 n 1 x x x x , x ( 1, 1) 1 x

机动

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例4. 求级数

的和函数

解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,

收敛 ,x=1时级数发散,则

xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1

1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x

x

x

(0 x 1 及机动 目录 上页

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S (x)而

(0 x 1 及 ln (1 x) 1 , lim x 0 x

)

因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x

x [ 1, 0) (0 ,1)

S (x)

1,

x 02 n -1

x 练习:求幂级数 的和函数。 n 1 2n-1机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 解: 设 S ( x)

n 2

n2 1 ,

x

n

则所求级数和 =S(1/2)

1 1 1 n S ( x) x n 2 2 n 1 n 1

x x n 1 1 x n 1 2 n 2 n 1 2x n 2 n 1 x xn 1 xn 2 n 1 n 2x n 3 n机动 目录 上页 下页 返回 结束

1 x2 (x ) 2x 2而x x x n x n 1 dx n 1 n x dx x dx 1 x n 1 n 1 0 0 n 1 0

ln(1 x)

1 S 2

机动

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例6. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为

x

1 x sin x cos x , 2 2机动 目录 上页 下页

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法2

先求出收敛区间

设和函数为

1 2 x sin x 2 1 x S ( x) sin x cos x, 2 2

机动

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P258 题8. 求下列幂级数的和函数:x≠0 解: (1)原式 ( n 1

1 1 2 n 1 x 2 ) n x ) ( n 2 2 x n 1

x 2 x2 2 2 x (2 x 2 ) 2

x2 1 2 x 1 x2 2

x2 (0 1) 2

显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散, 故和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束

1 1 n (4) 原式 x n 1 n n 1

x 0x

1 tn d t n 1 x 0

1 t (0 x 1) dt x 01 t 1 1 ln (1 x) x 1 1 ( 1) ln (1 x) x机动 目录 上页 下页 返回 结束

x

即得

1 1 ( 1) ln (1 x) , 0 x 1 x

显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .根据和函数的连续性 , 有

机动

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结束

P258 题9(2). 求级数

的和 .

1 ( 1) n (2n 1) 1 解: 原式= ( 2 n 1) ! 2 n 0 ( 1) n ( 1) n 1 2 n 0 ( 2 n) ! n 0 ( 2 n 1) !

1 [cos 1 sin 1] 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、函数的幂级数和付式级数展开法1. 函数的幂级数展开法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 例如. 将函数 因为 展开成 x 的幂级数.

1 1 x x 2 ( 1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x

把 x 换成 x 2 , 得 1 1 x 2 x 4 ( 1) n x 2 n 1 x2 ( 1 x 1 )机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 将

展成 x-1 的幂级数.

1 1 解: 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)x 1 2 x 1 42

( x 1 2 )n

x 1 (x 1) n ( x 1) ( 1) 1 2 n 2 2 21 8 ( 1)n 0 n

1 2n 2

1 22n 3

( x 1) n机动

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例8. 将 解:

在x = 0处展为幂级数.2

xn ln(1 x) n 1 n

( 1 x 1)

2 x 3x 也可以先计算导函 (1 x)(2 3x) 数的展式,再积分求出原函数的展式

ln(1 3 x) 2

( 1) n 1 3 n xn ( 2 x) 因此 f ( x) ln 2 n n 1 n n 1 1 2 1 3 1 4 ( 1) n n 1 ln(1 x) x x 1 x 3 n 2 x 2 x) ] x n ( x ) ln 22 3[1 ( 2 4 n 1 3 3 n n 1 x ( 1, 1] 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n 1

( 1) n 1 3 n ( 2 x) n

( 2 x 2 ) 3 3

例9. 将函数

展开成 x 的幂级数.

1 1 1 1 x 解: 2 1 2 2

x (2 x) 21 2 x 2n n 0 n

1 n x n 1 n , 2 n 1 2

练习:将arctanx展成x 的幂级数。简介 目录 上页 下页 返回

30结束

例10. 设, 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 并求级数 1 解: ( 1) n x 2 n , 1 x 2 n 0

的和. ( 01考研 )

x ( 1,1)

1 ( 1) n 2 n 1 dx arctan x x , x [ 1,1] 2 1 x n 0 2n 1 0

x

于是

( 1) n 2 n ( 1) n 2 n 2 f (x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/swbi.html

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