经管类专升本复习参考题

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经管类专升本复习参考题

1.已知三角形的三个顶点坐标分别为A(4,3,1),B(3,1,2),C(5,2,3)，求该三角形的三边的长度，并问该三角形有何特征？

解：

由两点间的距离公式可得，AB

同理可得AC

BC

.

，

2.设a i j 4k，b 2i 2j k，求(2a b) (a 2b). 解：因为2a b=4i 7k，a 2b 3i 5j 6k， 所以(2a b) (a 2b) 4 ( 3) ( 7) ( 6) 30.

3.一平面过点(5, 7,4)且在各坐标轴上的截距相等，试求该平面的方程. 解：由题意可设所求平面方程为

xa ya za

1，则

5a 7a 4a

1，a 2，

所求平面方程为x y z 2.

4.已知一平面垂直于平面x 4y 5z 2 0且过原点和点( 2,7,3)，试求该平面的方程.

A 4B 5C 0, B 13C,

解：设所求平面方程为Ax By Cz D 0，则 D 0,解得 A 47C,

2A 7B 3C D 0, D 0,

所以所求平面方程为47x 13y z 0. 5.求过两点M1(1, 1,2)和M2(3,2,1)的直线方程.

x 1y 1z 2

解：所求直线的方向向量为M1M2 2,3, 1 ，所以所求直线方程为.

23 1

6.求过点(2, 1,2)且与直线解：设所求直线与直线

x 1 2 y

y3

z 31

垂直相交的直线方程.

的交点为( 2t 1,3t,t 3)，

231

则有向量{ 2t 1,3t 1,t 5}，从而( 2t 1) ( 2) (3t 1) 3 (t 5) 1 0，解得t 0， 所求直线的方向向量为{ 1,1, 5}，所求直线方程为

x

x 2 1

2

x 1z 3

y 11

2

z 2 5

.

7.设z f(x y,)，其中f具有二阶连续偏导数，求

y

z x

2

，

z x y

.

解：设u x y,v

xy

，则z f(u,v).

z x

f1

1y

f2 ，

z y

f1

xy

2

f2 ，

z x

2

2

z x x

x

(f1

1y

f2 ) f11

1y

f12

1y

(f21

1y

) f11 f22

2y

f12

1y

2

， f22

z x y

2

z y x

y

(f1

1y

f2 ) f11

xy

2

f12

1y

2

f2

1y

(f21

xy

2

) f22

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( f11

1y

xy

)f12

2

xy

3

f22

1y

2

f2 .

8.求由xyz sinz所确定的函数z z(x,y)的全微分和偏导数. 解：方程两边微分得yzdx xzdy xydz coszdz，解得dz

yzdx xzdycosz xy

，

z x

yzcosz xy

，

z y

xzcosz xy

.

9.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.

22

z x y,dydz u v xu yv 0, u v

（1） 2求，；（2）求，，，. 22

yu xv 1,dxdx x xx 2y 3z 4, y y

dydz

2y 2x, dxdx

解：（1）方程组两边对x求导，得

dydz 2y 3z x, dxdx

解得

dydx

x(6z 1)2y(3z 1)

，

dzdx

x3z 1

；

v ux y u, uxu yv vyu xv x x

（2）方程组两边对x求偏导，得 解得，； 2 222

u v xx y xx y y x v, x x v u

x y v, y y uxv yu vxu yv

同理方程组两边对y求偏导，得 解得，. 2 222

u v yx y yx y y x u, y y

2

x y,

10.求空间曲线 在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程. 2

z x

dy

2y 1, 1 dx

解：方程组两边对x求导，得 在点(1,1,1)的切向量为 1,,2 ，即 2,1,4 ，

2 dz 2x,

dx

于是切线方程为

x 1

214

法平面方程为2(x 1) (y 1) 4(z 1) 0，即2x y 4z 7.

y 1

z 1

，

11.求函数f(x,y) xexy在点P0( 2,0)处沿从点P0( 2,0)到点P( 1,3)的方向l的方向导数. 解：

f x

(1 xy)e

xy

，

f

2xy

xe，l=

1,3 ，l=， y

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f l

( 2,0)

1

4

.

12.计算下列二重积分：

（1） (1 x y)dxdy，D:x 0,y 0,x y 1；

D

（2

）

D

22

xdy，D:x y x；

（3） xyd ，其中D是半圆形区域x2 y2 4，x 0；

D

2

（4） e

D

x y

22

dxdy，其中D是圆形区域x y 4； yx

22

（5） arctan

D

xdy，其中D是由圆x y 1,x y 4及直线y 0，y x所围成

2222

的在第一象限的区域． 解：（1）D:0 x 1,0 y 1 x，

(1 x y)dxdy

D

10

dx

1 x0

(1 x y)dy

10

12

(1 x)dx

2

16

(1 x)

3

10

16

；

或：D:0 y 1,0 x 1 y，

(1 x y)dxdy

D

2

10

dy

1 y0

(1 x y)dx

10

12

(1 y)dy

2

16

(1 y)

3

10

16

；

（2）D:

2

,0 r cos ，

cos

3

D

xdy

2

2

d

rcos dr

2

45

20

cos d

3

428

1 ； 5315

（3）D:

2

2

2

20

,0 r 2，

4

2

D

xyd

2

2

d

rcos sin dr

645

20

cos sin d

2

64164

； 5315

（4）D:0 2 ,0 r 2，

2

2

e

D

x y

dxdy

2 0

d erdr 2

2

r

2

12

(e 1) (e 1)；

44

（5）D:0

yx

4

,1 r 2，

1

arctan

D

xdy

40d arctan(tan )rdr

0

40 d rdr

1

2

3

2

64

．

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12.计算I 区域．

xdxdydz，其中 是由三个坐标面与平面x y z 1所围成的闭

解： {(x,y,z)|0 z 1 x y,0 y 1 x,0 x 1}， 所以I

13. zdv，其中

由球面z

1

dx

1 x

dy

1 x y

xdz

1

dx

1 x

x(1 x y)dy

12

10

x(1 x)dx

2

124

．

与抛物面z

13

(x y)所围成的立体．

22

x rcos ,

解：（用柱面坐标） y rsin ,dv

rdrd dz.

z z.

:0 2 ,

2 0

0 r

r

2

13

r z

2

zdv

d r1

dz 2

3

12

rz

2r

r r

3

19

r)dr

5

13 4

．

14.

v，其中 由曲面x y z z所围成的立体．

222

x sin cos ,

解：（用球面坐标） y sin sin ,dv 2sin drd d .

z cos .

:0 2 ,0

2

,0

cos .

cos 0

v

2 0

d 2d

sin d 2

2

20

sin

14

cos d

10

．

15.

计算I

L

s，其中L是圆周x y a(a 0)，直线y x及x轴在第一象

222

限中所围成图形的边界.

解：L分成三段L L1 L2 L3，其中L1:y 0,(0 x a)，ds dx；

x acost,

L2: (0 t )，ds

adt；L3:y x,(0 x

4 y asint,

2

)，ds x；

I

L

s

a0

edx

x

40

eadt

a

x e(2

a

4

a) 2.

16.计算曲线积分 (x y)dx (x y)dy，其中曲线L为(1)从A(1,0)沿直线x y 1到B(0,1)；

L

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（2）从A(1,0)沿直线x 1到C(1,1)，再沿直线y 1到B(0,1). 解：（1） (x y)dx (x y)dy

L

01

[1 (2x 1) ( 1)]dx (2 2x)dx (x 1)

1

2

10

1；

（2） (x y)dx (x y)dy

L

AC

(x y)dx (x y)dy

1

1

CB

(x y)dx (x y)dy

10

(1 y)dy

1

(x 1)dx (y

y

2

2

) (x

x

2

2

)

12

32

1.

17.计算曲线积分 (x2 y2)dx，其中L是抛物线y x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

L

解： (x2 y2)dx

L

20

(x x)dx (

24

x

3

3

x

5

2

5

)

83

325

5615

.

2

2

2

18.利用格林公式计算I 线.

解：由格林公式得I

L

22

xydx xydy，其中L为逆时针方向圆周x y a( 0)曲

L

xydx xydy

2

22

2

(x y)dxdy

2

22

2 0

dx rdr

a

3

2

a.

4

x y a

19.验证(x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2)dy为xOy平面内某一函数u(x,y)的全微分，并计求u(x,y).

解：由于P x2 2xy y2,Q x2 2xy y2，

P y

2x 2y

Q x

,

所以(x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2)dy为xOy平面内某一函数u(x,y)的全微分. 又(x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2)dy x2dx 2xydx y2dx x2dy 2xydy y2dy

d( d(

xx

3

3

3

) ydx ydx xdy xdy d( xy xy

x

3

2

2

2

2222

y

3

3

) d(

x

3

3

) d(xy) d(xy) d(

22

y

3

3

)

y

3

33

)，

2

所以u(x,y)

3

xy xy

(1,2)(0,0)

y

3

3

C.

2

2

20.证明曲线积分

3x(x 2y)dx (3x y)dy与路径无关，并求其值.

P y

Q x

证明：由于P 3x(x 2y),Q 3x2 y2，

(1,2)(0,0)

6x

,

所以

3x(x 2y)dx (3x y)dy与路径无关.

2

2

3

2

22

3x(x 2y)dx (3x y)dy d(x 3xy

y

3

3

)，

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(1,2)(0,0)

3x(x 2y)dx (3x y)dy

2

22

(1,2)(0,0)

d(x 3xy

32

y

3

3

) (x 3xy

32

y

3

(1,2)

3

)

(0,0)

133

.

21.计算曲面积分I

xdS，其中封闭曲面 是由平面x y z 1，x 0，y 0，z 0

所围成四面体的整个边界曲面.

解： 1 2 3 4， 1:x y z 1， 2:x 0， 3:y 0， 4:z 0， 1在xOy面上的投影区域为Dxy (x,y)0 x 1,0 y 1 x ，

I

1

10

xdS

1 x0

2

2

xdS

2

3

xdS

10

2

4

1 x0

2

xdS

dx

x

x 0 0

2

dx

2

xdx (1

2

10

13

(1 x)dx

2

2

3

112

2

(1

.

22.计算曲面积分I 解： :z

2

(x y)dS，其中 是上半球面x y z 9且z 0.

22

xOy面上的投影区域为Dxy (x,y)x y 9 ，

I

(x

2 0

y)dS

2

(x

Dxy

2

y2

xdy

3

d

30

3

r 6

30

3

rr 3sint3 6

3

20

sintdt 108 .

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/swa4.html