知识点165 坐标与图形性质(解答)

知识点165 坐标与图形性质（解答） 1. （2010?内江）阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为(x1+x2/2，y1+y2/2)． 观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；

（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，?则点P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2）、（2，3）． 拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

考点：坐标与图形性质；中心对称．专题：阅读型．分析：（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；

（2）首先利用题目所给公式求出P2的坐标，然后利用公式求出对称点P3的坐标，依此类推即可求出P8的坐标；

（3）由于P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3），由此得到P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2012的坐标，也可以根据图形求出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

解答：解：（1）（1，1）；

（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）；

（3）∵P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3）；

∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ∵2012÷6=335?2．

∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012（2，3）； 在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为(-32-1，0)，(2，0)，(32-1，0)，(5，0)．

点评：此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，利用题目所给公式是解题的关键，利用公式可以解决后面的所有问题． 2. （2010?常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，

自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长．坐标系中的任意一点P用一有序实数对（a，b）来表示，我们称这个有序实数对（a，b）为点P的坐标．坐标系中点的坐标的确定方法如下： （ⅰ）x轴上点M的坐标为（m，0），其中m为M点在x轴上表示的实数； （ⅱ）y轴上点N的坐标为（0，n），其中n为N点在y轴上表示的实数； （ⅲ）不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数． 则：（1）分别写出点A、B、C的坐标； （2）标出点M（2，3）的位置；

（3）若点K（x，y）为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式．

考点：坐标与图形性质．

分析：本题要充分考虑题中所给的提示，注意“不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数．”这和我们以往所认识平面直角坐标系不同，因此我们要理解好题意，由题意可得A、B、C坐标分别为A（1，0），B（2，1），C（2，2）；再去标注M位置即可． 解答：解：（1）由图示可知各点的坐标为：A（1，0），B（2，1），C（2，2）； （2）如图：

（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx； 由图知：D（1，2），则：k=2，

即x与y所满足的关系式为：y=2x．

点评：本题考查了对平面直角坐标系的理解，在做题过程中要开放思维，弄清题意．

3. （2009?佳木斯）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．

（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）求这个平行四边形的面积．

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质． 分析：（1）本题应从BC为对角线、AC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．

（2）解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积． 解答：解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．

（2）图中△ABC面积=3×3-1/2（1×3+1×3+2×2）=4，所以平行四边形面积=2×△ABC面积=8．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，难易程度适中． 4. （2008?岳阳）如图，四边形ABCD是一正方形，已知A（1，2），B（5，2） （1）求点C，D的坐标；

（2）若一次函数y=kx-2（k≠0）的图象过C点，求k的值．

（3）若y=kx-2的直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，且△OMN的面积等于2，求k的值．

考点：坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质．专题：代数几何综合题．

分析：根据正方形的定义得到正方形的边长是4，C，D的坐标容易求出； 把C点坐标代入一次函数y=kx-2（k≠0）的解析式，就可以求出k的值； 根据△OMN的面积等于2，就可以求出k的值．解答：解：（1）∵ABCD为正方形，又A（1，2），B（5，2） 则AB=4，∴C（5，6），D（1，6）（2分）

（2）∵y=kx-2经过C点，∴6=5k-2，∴k=1.6 （4分）

（3）y=kx-2与x轴的交点为M

y=0时，kx-2=0，x=2/k，M（2/k，0），N（0，-2） 又S△OMA=12|OM|?|ON|=1/2×|-2|?|2/k|=2 ∴|K|=1，k=±1

故k=±1时，△OMN的面积为2个单位（少一个k值扣1分）（6分）． 点评：本题结合坐标考查了函数的性质，注意结合图形是解决本题的关键． 5. （2007?陕西）在下列直角坐标系中，

（1）请写出在平行四边形ABCD内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；

（2）在平行四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质；概率公式．

分析：（1）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标应在一三象限坐标轴角平分线上； （2）应找完在平行四边形内的所有整数点． 解答：解：（1）看图可知A（-2，2），B（-3，-2），C（2，-2）D（3，2），在其内部横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标有（-1，1），（0，0），（1，-1）．（3分） （2）由图可知：

∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个．（6分） ∴P=3/15=1/5．（8分）

点评：解决本题的关键是理解横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标在一三象限坐标轴角平分线上，范围是平行四边形内．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. （2006?锦州）如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形解答下列问题：

（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？（写出变换过程） （2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标．

考点：坐标与图形性质；平移的性质；旋转的性质．专题：网格型．分析：（1）对应点是C、F，△ABC应先向右平移到F，BC转到EF位置，可看出是逆时针旋转90°， （2）可任意建立平面直角坐标系，得到相应三点的坐标．解答：解：（1）答案不唯一，只要合理即可得（2分）．如：

将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；

（2）答案不唯一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得（3分）．如： 方法一：如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，-1）、F（2，3）； 方法二：如图②建立直角坐标系，则点D（-2，0）、E（0，-1）、F（0，3）； 方法三：如图③建立直角坐标系，则点D（-2，-3）、E（0，-4）、F（0，0）； 方法四：如图④建立直角坐标系，则点D（-2，1）、E（0，0）、F（0，4）．

点评：图形的转换应找到关键点，关键线段的变化，原点位置不同，得到点的坐标也不同． 7. （2005?绍兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0）． （1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；

（2）写出（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标． 考点：坐标与图形性质；等腰三角形的性质．分析：（1）由题意可得，AB的中垂线是y轴，则在y轴上任取一点即可；

（2）根据所画情况而定，如（0，3）

解答：解：（1）如图；

（2）C（0，3）或（0，5）都可以（答案不唯一）．

本题综合考查了图形的性质和坐标的性质及等腰三角形的性质；发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键

8. （2005?杭州）在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，?，PK的坐标（有k个就标到PK为止，不必写出画法）．

考点：坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．专题：规律型．分析：本题应先求出OA的长，再分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．解答：解：OA=12+22=5，OA=OP时，x轴上有（5，0），（-5，0）； y轴上有（0，5），（0，-5）； AP=OA时，x轴上有（4，0），y轴上（0，2）； AP=OP时，x轴上有（54，0）y轴上有（0，52） ∴p1（4，0），p2（0，2），p2（5，0），p4（-5，0），p5（0，5），p6（0，-5），p7（54，0），p8（0，52）点评：△AOP为等腰三角形，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论．

9. （2002?青海）已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标．

考点：坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．专题：几何图形问题．

分析：利用三角函数可得到OB长，根据翻折得到的对应线段相等，也就得到了AD、AC长度，过D向y轴引垂线后，利用三角函数，可得到点D的横坐标，AE的值，进而求得OE的长，点E的纵坐标．

解答：解：由题意得OA=3，∠OAB=60°， ∴OB=3×tan60°=33 ∵△ACB≌△ADB ∴AD=AC=OB，

过D作DE⊥y轴于点E ∵∠OAD=30°

∴ED=332

∵cos30°=OA+EOAD 那么OE=33×3/2-3=1.5 D（33/2，-1.5）．

点评：翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解． 10. （2001?金华）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．

（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；

（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a2，求b的值． 考点：坐标与图形性质；根与系数的关系；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：动点型．分析：（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根据数量关系利用勾股定理可求出点C的坐标；

（2）先利用根与系数的关系确定a、b的数量关系，再利用三角函数和三角形的面积公式求出a2的值．解答：解：（1）在Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，∴42+OC2=AC2． ① 在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，∴12+OC2=BC2． ② 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=52． ③ 由①、②两式可得AC2-BC2=15，

与第③式联立可解得BC=5，AC=25．

∴OC=2．

∴点C的坐标为（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根， ∴sinA+cosA=-a，sinA?cosA=b． 又∵sinA2+cosA2=1，

则sinA2+cosA2=（sinA+cosA）2-2sinA?cosA=a2-2b=1． ∵sinA=ODAO=BCAB， ∴OD4=5/5． 解得OD=45/5． ∵cosA=ADAO=ACAB， ∴AD4=25/5． 解得AD=85/5．

在Rt△AOD中：AO?DE=OD?AD， 又∵点D的纵坐标为a2， ∴4a2=45/5?85/5， ∴a2=8/5．

则a2-2b=8/5-2b=1．

解得b=3/10．

点评：此题综合考查了一元二次方程与解直角三角形的关系，难度较大． 11. 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（-2，8），（-11，6），（-14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

考点：坐标与图形性质；多边形．

分析：利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积，或补直角三角形成长方形．解答：解：（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积=1/2×3×6+1/2×（6+8）×9+1/2×2×8=80．

（2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80． 点评：主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解的方法． 12. 如图，描出A（-3，-2）、B（2，-2）、C（3，1）、D（-2，1）四个点，线段AB、CD有什么关系？顺次连接A、B、C、D四点组成的图形是什么图形？

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质．

分析：根据四点的坐标可以得到AB∥CD，且AB=CD，就可以确定四边形的形状．解答：解：AB∥CD，且AB=CD，因而四边形ABCD是平行四边形．

点评：纵坐标相同的点的连线一定平行于x轴，然后令一组对边相等即可．

13. 如图：在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），

A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）．

（2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测A的坐标是（2n+1，3），B的坐标是（2n+1，0）． 考点：坐标与图形性质．专题：规律型．分析：对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．

解答：解：已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；

同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0． 由上规律可知：（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）； （2）A的坐标是（2n+1，3），B的坐标是（2n+1，0） 点评：本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案． 14. 请在所给网格中按下列要求操作：

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（-2，0）； （2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

考点：坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：网格型．分析：（1）根据A点坐标为（0，2），B点坐标为（-2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴． （2）分AB时底边或腰两种情况进行讨论．解答：解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：

（2）满足条件的点有4个：C1：（2，0）；C2：（22-2，0）；C3：（0，0）；C4：（-22-2，0）．

点评：本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 15. 附加题：请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置： A（-4，4），B（-2，2），C（3，-3），D（5，-5），E（-3，3），F（0，0） 你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）

考点：坐标与图形性质．

分析：本题可根据“横纵坐标互为相反数，那么这些点在一条直线上”来解题．解答：解：由上图所示，这些点在同一直线上，在二四象限的角平分线上．类似的点还有如：（1，-1）、（-1，1）、（2，-2）等．

点评：用的知识点为：二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 16. 已知边长为2的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标． 考点：坐标与图形性质；正方形的性质．专题：综合题．分析：由OA与y轴的夹角为30°，正方形的边长，根据三角函数值可将点A和点C的坐标直接求出，将点B的坐标设出，根据点B到点A和点O的距离，列出方程组，可将点B的坐标求出． 解答：解：∵OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2

∴OC与x轴的夹角为30°，OA在x轴方向的分量为：2×cos60°=1，在y轴方向的分量为：2×sin60°=3，故点A的坐标为（1，3）；OC在x轴方向上的分量为：2×cos30°=3，在y轴方向的分量为：2×sin30°=1，故点C的坐标为（-3，1）． 设点B的坐标为（a，b） ∵DA=2，OD=22

∴{a2+b2=(22)2(a-1)2+(b-3)2=22解得：b=3+1（舍负值），a=1-3 ∴点B的坐标为（1-3，1+3）

∴A（1，3）、B（1-3，1+3）、C（-3，1）．

点评：本题主要是根据三角函数值将点A和点C的值求出，在根据两点之间的距离，列出方程组可将点B的坐标求出．

17. 在平面直角坐标系中，顺次连接（-2，1），（-2，-1），（2，-2），（2，3）各点，你会得到一个什么图形？试求出该图形的面积．

考点：坐标与图形性质．分析：本题需要根据点的坐标特点，分别描点、顺次连线，再观察整个图形的形状． 由于点（-2，1），（-2，-1）和点（2，-2），（2，3）的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴，故图形是梯形，再根据梯形面积公式求面积．

解：如图依次连接可得：图形是梯形，面积为：1/2×（2+5）×4=14．

点评：本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．

18. 如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）， （1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标； （2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？ （3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

考点：坐标与图形性质．分析：从A（0，0）到B（1，1）可以看出，每一级台阶的横坐标、纵坐标都比前一个依次增加1，由此即可得解．

解答：解：（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系． 所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）． （2）B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较， 横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；

（3）每级台阶高为1，宽也为1，

所以10级台阶的高度是10，长度为11．

点评：本题也可以用坐标平移的观点来解，即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，依次类推．

19. 在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

考点：坐标与图形性质．

分析：根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．

解答：解：∵点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上， ∴1-2a=a-2，解得a=1， 故此点坐标为（-1，-1）．

点评：本题主要考查第三象限角平分线上点的特点：点的横纵坐标相等． 20. 如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、

C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

考点：坐标与图形性质．分析：本题应利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积．解答：解：过D，C分别做DE，CF垂直于AB，则有： S=S△OED+SEFCD+S△CFB

=1/2×2×7+1/2×（7+5）×5+1/2×2×5=42．

故四边形ABCD的面积为42平方单位．点评：主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法．

21. 如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积． 考点：坐标与图形性质；多边形．

分析：分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可． 解答：解：分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G． 所以SABCD=S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD=1/2×3×6+1/2×（6+8）×11+1/2×2×8=94．

点评：主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．割补法是求面积问题的常用方法．

22. 在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（5，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

考点：坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：作图题．

分析：要根据题意描点画图，设计等腰三角形时，可以按A，O，E都有可能作为等腰三角形的顶点，分类画图，根据勾股定理计算点的坐标，注意点E在线段BC上这个限制条件．

解答：解：图形如下：

（1）若等腰△AEO以A为顶角所在的顶点，则E（1，3）； （2）若等腰△AEO以E为顶角所在的顶点，则E（2.5，3）； （3）若等腰△AEO以O为顶角所在的顶点，则E（4，3）．

点评：本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；在设计等腰三角形时，用到了分类思想，每次分类的标准只能有一个，或者按边，或者按角，本题是按顶角来分类的． 23. Rt△AOB在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为原点，点A（0，8），点B（6，0），点P在线段AB上，且AP=6． （1）求点P的坐标；

（2）x轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

考点：坐标与图形性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：本题需要用到勾股定理以及三角形相似等方面的知识点，在求坐标的时候用方程思想可以更方便些．问题一可直接运用三角形相似求出结果，问题二则需要分情况讨论，Q点坐标不止一个．

解答：解：（1）由勾股定理得AB=10，设p点坐标为（x，y）， 则有三角形相似可得APAB=xOB代入数值可得x=3.6． AB-APAB=yOA解得y=3.2 故P点坐标为（3.6，3.2）． （2）假设Q点坐标为（q，0），若BP为斜边则q=3.6．

若BQ为斜边，则BPOB=BQAB解得BQ=203，因为OB=6，所以q=-23． 故Q点坐标为（3.6，0）或（-23，0）．

点评：本题第一问可以直接运用相似性来求得，而第二问则需要分类讨论，这点是容易忽略掉的．

24. 一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，

求四个顶点坐标．

考点：坐标与图形性质；菱形的性质．专题：分类讨论．分析：本题应分两种情况讨论，当AC=6，或BC=6两种情况讨论．解答：解：当AC=6时，A（-3，0），C（3，0），又内角比为1：2，

∴B（0，-3），D（0，3）

或当BD=6时，B（0，-3），D（0，3），又内角比为1：2， ∴C（3，0），A（-3，0）．

故答案为A（-3，0），B（0，-3），C（3，0），D（0，3）或A（-3，0），B（0，-3），C（3，0），D（0，3）．

点评：菱形的问题可以转化为直角三角形的问题．

25. 建立适当的直角坐标系，表示边长为3的正方形各顶点的坐标． 考点：坐标与图形性质；正方形的性质． 专题：作图题；开放型．

分析：根据正方形的性质，在x轴以1.5和-1.5处作垂线，在y轴处1.5，-1.5作垂线，较为简单．解答：

解：故正方形各点的坐标为：A（1.5，1.5）；B（-1.5，1.5）；C（-1.5，-1.5）；D（1.5，-1.5）．

点评：本题考查了点的坐标的确定，直角坐标系的建立及正方形的性质． 26. 如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，（c-4）2≤0 （1）求a、b、c的值；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，1/2），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

考点：坐标与图形性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：开放型． 分析：（1）用非负数的性质求解；

∵FG⊥AE，AB⊥AE， ∴FG∥AB

∴各点的坐标为：A（0，0），B（2，0），C(3，3)（D(2，23)，E(0，23)，F(-1，3)．

点评：本题是关于坐标与图形性质的题目，在解答过程中，综合运用了正六边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质．所以必须牢记各种图形的性质，才会避免在做题过程中造成知识的混淆．

47. 在如图的直角坐标系中，以给定的线段AB为直角三角形的斜边，请在图中画出一个直角三角形．并回答下列问题．

（1）写出这个直角三角形的三个顶点的坐标． （2）求这个直角三角形斜边的长．

考点：坐标与图形性质；两点间的距离公式．分析：（1）在坐标系中，由于各点都位于正点上，故有多个直角三角形，下面仅举一例，各点的坐标可直接在坐标系中直接读出． （2）根据两点距离公式，代入即可得出AB的长度．

解答：解：（1）如下图，各点的坐标为： A（3，6），B（7，1），C（3，1）； （2）由（1）可知三点的坐标， 则AB=41．

点评：本题考查的是的在坐标系中的位置坐标，以及两点之间的距离公式． 48. （1）如图，在下列括号中填写推理理由 ∵∠1=135°（已知）

∴∠3=∠135°（对顶角相等 对顶角相等 ）

又∵∠2=45°（已知）

∴∠2+∠3=45°+135°=180°

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 ）

（2）建立平面直角坐标系，依次描出点A（-2，0），B（0，-3），C（-3，-5），连接AB、BC、CA．求△ABC的面积．

考点：坐标与图形性质；平行线的判定．专题：作图题；推理填空题．分析：（1）根据图形由对顶角相等，及平行线的判定中同旁内角互补，两直线平行可直接得出理由； （2）建立直角坐标系，描点后知三角形ABC的面积=1/2×AB×C点的纵坐标的绝对值．解答：解：（1）对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行． （2）S△ABC=1/2×1×3=1.5．

答：△ABC的面积为1.5．点评：本题考查了对顶角相等；平行线的判定中同旁内角互补，两直线平行；以及三角形面积计算公式． 49. 已知A（-3，1），B（-3，-2），C（2，-2），D（2，3）．

（1）请在如图所示中的直角坐标系中指出A，B，C，D各点，并依次连接． （2）求四边形ABCD的面积． 考点：坐标与图形性质． 分析：（1）根据点的横、纵坐标标出A，B，C，D各点，并依次连接．

（2）通过观察，可知四边形ABCD是直角梯形．利用梯形的面积公式，求出四边形ABCD

的面积．解答：解：（1）如图：

（2）S四边形面积=1/2[（1+2）+（3+2）]×（2+3）=20． 点评：主要考查坐标与图象性质．在坐标系中根据点的横、纵坐标标出点的位置，通过观察，求出图形的面积．数形结合的思想渗透其中．

50. 在直角坐标系中描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来：（1，1），（3，1），（4，2），（2，2），（2，4），（1，2），（0，2），（1，1）． （1）观察所得图形，你觉得它像什么？

（2）做如下变化：纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，画出所得的图案． 考点：坐标与图形性质．专题：作图题．

分析：正确的点出各点的具体位置，并依次连线，得到的图形是什么为开放性答案．各点的横坐标乘-1，纵坐标不变，根据象限点的特点可知得到的是原图形关于y轴对称的图形． 解答：解：（1）各点用线段依次连接为下图右侧图：像飞翔的小鸟（答案不唯一）． （2）纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，得到的图为上图左侧图案．

点评：本题考查的是同学们对点的横坐标及纵坐标的理解，以及同学们的作图能力． 51. 已知在平面直角坐标系中有三点A（-2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；

（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；

（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：坐标与图形性质．分析：（1）根据点的坐标，直接描点；

（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；

（3）因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个． 解答：解：（1）描点如图；

（2）依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5， ∴S△ABC=12×5×2=5； （3）存在；

∵AB=5，S△ABP=10， ∴P点到AB的距离为4， 又点P在y轴上，

∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．

点评：本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．

52. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来； （2，1）（6，1）（6，3）（7，3）（4，6）（1，3）（2，3）

考点：坐标与图形性质．分析：本题要画出坐标，在坐标系中标出各个点，连接即可解答． 解答：解：

点评：本题是一个基础题，需要熟练掌握．

53. 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来： （1）（-6，5），（-10，3），（-9，3），（-3，3），（-2，3），（-6，5）； （2）（-9，3），（-9，0），（-3，0），（-3，3）； （3）（3.5，9），（2，7），（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）； （4）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）； （5）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）． 观察所得的图形，您觉得它象什么？

考点：坐标与图形性质．专题：作图题．分析：按顺序依次连接即可，应注意坐标里的第一个数表示横轴的坐标，第二个数表示纵轴的坐标． 解答：解：由上图可知，

图案象一座房子和一棵树．点评：本题的易错点在于应在一个平面直角坐标系中画出这个图形．

54. 如图，分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来． （1）A（-6，-4）、B（-4，-3）、C（-2，-2）、D（0，-1）、E（2，0）、F（4，1）、G（6，2）、H（8，3）．

（2）如图，A（-5，-2）、B（-4，-1）、C（-3，0）、D（-2，1）、E（-1，2）、F（0，3）、G（1，2）、H（2，1）、L（3，0）、M（4，-1）、N（5，-2）．

考点：坐标与图形性质．专题：作图题．分析：（1）在平面直角坐标系中准确描出点A，B，C，D，E，F，G，H．然后依次连接各点，所得是一条线段；

（2）在平面直角坐标系中准确描出点A，B，C，D，E，F，G，H，L，M，N，然后依次连接各点，所得是一条折线．

解答：解”（1）在平面直角坐标系中准确描出点A，B，C，D，E，F，G，H，再依次连接各点，得到一条线段．

（2）在平面直角坐标系准确描出点A，B，C，D，E，F，G，H，L，M，N，再依次连接各点，得到一条折线．

点评：解题时要注意准确描出点的坐标，由点的坐标确定图形的位置． 55. 在直角坐标系中标出下列各点的坐标，并在数轴表示出来： （1）点A在y轴的上方，距离原点为5个单位长度；

（2）点B在x轴的左侧，距离原点为2个单位长度；

（3）点C在y轴的左侧，在x轴的上侧，距离每个坐标轴都是2个单位长度． 考点：坐标与图形性质．专题：作图题．

分析：如图，首先根据已知点的方向确定点在坐标系中的象限，然后根据已知距离即可确定点的坐标和坐标系中的位置．解答：解：如图，

（1）∵点A在y轴的上方，距离原点为5个单位长度， ∴A的坐标为（0，5）；

（2）∵点B在x轴的左侧，距离原点为2个单位长度， ∴B的坐标为（-2，0）；

（3）∵点C在y轴的左侧，在x轴的上侧，距离每个坐标轴都是2个单位长度 ∴C的坐标为（-2，2）．

点评：此题主要考查了根据已知点在坐标系的方向和距离确定点的坐标和在坐标系中的位置，解题关键是确定点在坐标系所在象限的位置．

56. 在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60° （1）求点A的坐标及线段AB的长；

（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你直接写出点P的坐标．

考点：坐标与图形性质；解直角三角形．分析：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，在Rt△AOC中，OA=2，∠AOB=60°，解直角三角形可求OC、AC，得出A点坐标，再计算BC；在Rt△AOC中，利用勾股定理求AB； （2）分别以A、B为圆心，AB长为半径与x轴相交，作线段AB的垂直平分线与x轴相交，所有这些交点即为所求． 解答：解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C． 在Rt△AOC中，OA=2，∠AOB=60°， ∴OC=1，AC=3， ∴A（1，3）．

BC=OB-OC=3-1=2．

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=7； （2）满足条件的P点坐标是：（-1，0）（3-7，0），（3+7，0），（54，0）．

点评：本题考查了点的坐标的求法，综合运用了解直角三角形的知识，同时考查了根据特殊三角形的性质求三角形的顶点坐标的能力．

57. 已知：A、B、C三点的坐标分别为A（0，3），B（4，0），C （-4，0）． （1）建立直角坐标系，并在直角坐标系中描出A、B、C三点． （2）计算三角形ABC的面积．

考点：坐标与图形性质；三角形的面积． 分析：（1）画出平面直角坐标系，根据横坐标为0，纵坐标＞0，描出点A；纵坐标为0，横坐标＞0，描出点B；纵坐标为0，横坐标＜0，描出点C；

（2）由点A、B、C的坐标求出BC=8，高为3，再根据三角形的面积公式计算三角形ABC的面积．解答：解：（1）

（2）三角形ABC的面积=8×3÷2=12．

点评：本题考查了平面直角坐标系中点的位置的确定以及三角形面积的求法． 58. 已知：三点A（-2，-1）、B（4，-1）、C（2，3）．在坐标平面内画出以这三个点为顶点的平行四边形，并写出第四个顶点的坐标．

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质．专题：数形结合．分析：分别以AB、BC、AC为平行四边形的对角线画平行四边形，所得到的平行四边形有3个，故所求第四个顶点坐标有3个．

解答：解：如图所示，可以画出三个平行四边形，

即平行四边形ABD1C，平行四边形ABD2C，平行四边形ABD3C， 由平行四边形的性质可推出第四个顶点坐标为：D1（8，3），D2（0，-5），D3（-4，3）．

点评：本题考查了平行四边形的性质，分类讨论的思想，要学会分类方法，形数结合． 59. 已知在平面直角坐标系中有三点A（-2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；

（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；

（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：坐标与图形性质．分析：（1）根据点的坐标，直接描点；

（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；

（3）因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个． 解答：解：（1）描点如图；

（2）依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5， ∴S△ABC=12×5×2=5； （3）存在；

∵AB=5，S△ABP=10， ∴P点到AB的距离为4， 又点P在y轴上，

∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．

点评：本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．

60. 分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点，用平滑的曲线依次连接起来． （1）如图，A（1，4）、B（2，2）、C（1，4/3）、D（4，1）、E（6，2/3）、F（-1，-4）、G（-2，-2）、H（-3，-43/）、L（-4，-1）、M（-6，-2/3） （2）如图，A（0，-4）、B（1，-3）、C（-1，-3）、D（2，0）、E（-2，0）、F（2.5，2.25）、G（-2.5，2.25）、H（3，5）、L（-3，5）．

考点：坐标与图形性质．专题：作图题．分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标确定点的位置，再根据题目所给的顺序依次连线，即得到要求的图形． 解答：解：（1）先描点，再依次连线，作图如下：

（2）先描点，再依次连线，作图如下：

点评：此题考查了作图，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形． 61. 如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点， （1）求三角形ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：坐标与图形性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：（1）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，由三角形面积公式即可求解，（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3-m=6，得m=-3，即可进行求解．解答：解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），

过A点作BC边上的高，交BC于点H，

则三角形ABC的面积为：S=1/2BC?AH=1/2×4×3=6；

（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，

∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB=S△AOB+SAPO=1/2×2×3+1/2×（-m）×2=3-m． 故四边形ABOP的面积为3-m；

（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时， 即3-m=6，得m=-3， 此时P点坐标为：（-3，1/2），

存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．

点评：本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积公式，难度较大，关键根据题意画出图形，认真分析解答．

62. 已知平面直角坐标系中，有四个点A（-3，0）、B（0，-4）、C（3，0）、D（0，4） （1）在下面的平面直角坐标系中描出各点，并顺次连接，试判断所得四边形的形状，并说明理由；

（2）若以A、B、C、E四点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标． 考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质．

分析：由题意直接作图，我们可以证明四条线和坐标轴所围成的三角形全等，且都为斜边，所以四条线围成的图形为菱形．根据平行四边形的性质，我们可以证明点E即（1）中点D． 解答：解：（1）根据题意作图得： 四边形ABCD为菱形，

∵△OAB≌△OCB≌△OCD≌△OAD ∴AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD为菱形．

（2）若ABCE为平行四边形，即AE平行且等于BC，CE平行且等于AB， 可以看出点E即（1）中点D， ∴点E坐标为（0，4）．

点评：本题考查了坐标与图形的性质，做题时注意观察思考，选择好证明方法．

63. 如图，直线AB分别交x轴、y轴交于A、B两点，将△AOB绕原点O逆时针旋转至△COD（点C在y轴正半轴）．

（1）如果OB=3，OA=4，请写出点A、B、C、D的坐标；

（2）∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数． 考点：坐标与图形性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题． 分析：（1）根据旋转的性质，即可求得OC，OD的长，即可求得点A、B、C、D的坐标； （2）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可求解． 解答：解：（1）∵OB=3，OA=4， ∴OC=OA=4，OD=OB=3 ∴A（4，0），B（0，-3），C（0，4），D（3，0）； （2）设∠ACO=α，则∠DAB=α，∠DAF=1/2α， ∵∠CDA=∠ACO+∠AOC=90°+α， ∴∠EFA=45°+1/2α， 又∵∠EFA=∠F+∠DAF， ∴∠F=45°．

点评：本题主要考查了旋转的性质，以及三角形的外角和定理，正确理解三角形的外角的性质以及角平分线的定义是解题的关键．

64. 如图，写出其中标有字母的各点的坐标，并指出它们的横坐标和纵坐标． 考点：坐标与图形性质．分析：根据图形就可以写出点的坐标即可得出答案 ．解答：解：由图可知各点的坐标为：A（0，6），B（-4，2），C（-2，2），D（-2，-6），E（2，-6），F（2，2），G（4，2）．

点评：本题考查了学生对点的坐标的认识，是一个基础题． 65. 已知在平面直角坐标系中有三点A（-2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；

（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；

（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：坐标与图形性质．分析：（1）根据点的坐标，直接描点；

（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；

（3）因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个． 解答：解：（1）描点如图；

（2）依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5， ∴S△ABC=12×5×2=5； （3）存在；

∵AB=5，S△ABP=10， ∴P点到AB的距离为4， 又点P在y轴上，

∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．

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