初中数学定义和运算方法技巧

初中数学定义，公理，定理，公式汇编

华文学校 黄文杰

一．直线、线段、射线

1. 过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线） 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等.

4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短） 二．平行线的判断

1.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行） 3.同位角相等，两直线平行. 4.内错角相等，两直线平行. 5.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质

1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三．三角形三边的关系

1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系

1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 四．全等三角形的性质、判定

1.全等三角形的对应边、对应角相等.

2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 3. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 5. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等.

6. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 五．角的平分线的性质、判定

性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). 2.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 .

3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 4.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° . 等腰三角形判定

1等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 六．线段垂直平分线的性质、判定

1. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 .

2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

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3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.

七．轴对称、中心对称、 平移、旋转 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形

2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 5.关于中心对称的两个图形是全等的.

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称. 7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。 八．直角三角形的相关知识： 1.直角三角形的判定：

222

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 ①直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半那么这个锐角等于30°。 ②如果一个三角形一边的中线等于这一边的一半，那么这边所对的角是直角。 ③如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。 2.直角三角形的性质：

222

勾股定理 ：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c . ①直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半. ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. ③直角三角形的两锐角互余。

3.直角三角形的补充性质定理：（旧版教材，现在使用要说明理由）

①直角三角形的等积式：直角三角形中，两条直角边的乘积等于斜边和斜边上高的积。 ②射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项； 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项。 n边形、四边形的内角和、外角和 1.四边形的内角和等于360°. 2.四边形的外角和等于360°

3.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）180°. ４.推论 任意多边的外角和等于360°. 九.平行四边形性质：

1.平行四边形的对角相等. 2.平行四边形的对边相等.

3.夹在两条平行线间的平行线段相等. 4.平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 矩形性质

1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等. 矩形判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.有三个角是直角的四边形是矩形. 3. 对角线相等的平行四边形是矩形 .

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菱形性质

1、菱形的四条边都相等.

2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3、菱形面积=对角线乘积的一半，即s?1ab 2菱形判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.四边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形性质

1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 正方形判定

1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形 2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 十.等腰梯形性质

1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2.等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定

1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形.

①经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

②经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l?1(a?b)，S=Lh

2十一.相似三角形： 1.比例的基本性质

(1)比例的基本性质： 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d (2)合比性质 ：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

(3)等比性质 ：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 2.相似三角形判定

1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.两角对应相等，两三角形相似.

3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 4.三边对应成比例，两三角形相似

5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

3.相似三角形性质

1. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比.

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。

4.相似三角形的补充定理（旧版教材，现在使用要说明理由）

1.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3. 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 。

4.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 5. 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

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十二：圆的基础知识：

1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集合. 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合. 4.同圆或等圆的半径相等.

5.不在同一直线上的三点确定一个圆。 （1）.垂径定理

1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 .

推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 . 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 .

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 .

5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.

（2）.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等.

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形 .

三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等. 三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等. 直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，则外接圆的半径R?c；内切圆的半径r?a?b?c

22（3.）直线和圆的位置关系

①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r

切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切线

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线长定理. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. （4）.圆的补充定理：（旧版教材使用，现在运用要作文字说明） 1.圆的内接四边形定理：

2.圆的外切四边形定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等 。 3弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 。

推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

4.相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 。

推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 。

5.切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 。 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 。 6.相切两圆的性质定理：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 。

7.相交两圆的性质定理： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 。

（5）.圆和圆的位置关系

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r)

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⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) （6）.正多边形和圆

①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 n(n≥3):

②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 .定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 正n边形的每个内角都等于??1(n?2)180?

n定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 32a， a表示边长. 4n?r扇形弧长： l?

180正三角形面积s?1n?r21n?r扇形面积： s??r?lr

36021802圆拄的侧面积s?2?rh

圆拄的表面积s?2?rh?2?r2

1圆锥的侧面积s?.2?rl??rl

2圆锥的表面积s??rl??r2

十三．幂的运算性质：根据乘方的意义和分式乘法法则，可得分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．即

由于

表示a除以b的商，所以分式乘方的法则实质上就是商的乘方法则，这个法则与第六章整式的乘除中

幂的运算法则组成了系统的幂的五种运算性质．即关于正整数m、n有：

(1)am·an＝am+n，

(2)am÷an=am-n，(a≠0，m＞n) (3)(am)n＝amn， (4)(ab)n＝anbn，

加强幂的运算性质“双向应用”的练习，有利于熟练掌握幂的运算性质，发展思维，提高灵活解决有关幂的各类问题的能力． ①a≠0时a0=1，a-p=

1 ap②am an= am+n；（am）n= am n

③0的0次幂没有意义

22

平方差：a-b=(a+b)(a-b)

222222

完全平方：a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b) 推广：a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 十四.平方根，算术平方根，立方根： 221.平方根：如果的平方等于a。那么实数叫做非负数a的平方根。记作：x??a平方根有两个，0的平方根是0

xx

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a正的平方根叫做a2的算术平方根。 2.算术平方根：其中非负数23x?a aa3.立方根：如果的立方等于。那么实数叫做实数的平立方根。记作：

4.二次根式的运算性质：

xx (1)ab?a?b (a≥0,b≥0) (2)

2aa?bb (a≥0,b>o)

2 (3)

?a??a (a≥0) (4) a?a

一次函数y=kx+b（k≠0）

k>0，y随x的增大而增大

k<0，y随x的增大而减少 正比例函数y=kx （k≠0）

①k>0，y随x的增大而增大,直线y=kx经过（0，0），（1，k）, 经过第一、三象限 ②k<0，y随x的增大而减少,直线y=kx经过（0，0），（1，k），经过第二、四象限

k反比例函数y?（k≠0）

x①k>0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少. ②k<0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大当

22

一元二次方程ax+bx+c=0（ b-4ac≥0）求根公式为： ?b?b2?4ac ?b?b2?4ac x2?x1?2a2a一元二次方程ax+bx+c=0（ b-4ac≥0）根与系数的关系（韦达定理）：

x1?x2??b?b2?4ac?b?b2?4acb???

2a2aa22

?b?b2?4ac?b?b2?4acc

x1?x2???2a2aa一元二次方程ax+bx+c=0根的判别式.

2

b-4ac=0 方程有两个相等的实根. 2

b-4ac>0 方程有两个不等的实根. 2

b-4ac<0 方程没有实根.

2

二次函数y=ax+bx+c （a≠0）。 2

b-4ac=0 抛物线与x轴只有一个公共点. 2

b-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 2

b-4ac<0 抛物线与x轴有没有公共点.

2

①抛物线的一般式： y=ax+bx+c。（a≠0）

2

②抛物线的顶点式 ：y=a（x-h）+k。 顶点（h，k），对称轴为直线x??b?h

2a最大（小）值 为 4ac?b（左同右异 ）

4a22

③抛物线的两根式： y=a（x-x1）（x-x2）

常见的勾股数（整数）3，4，5； 6，8，10； 5，12，13; 8，15，17，9，40，41等。 常见的无理数；?，锐角三角函数

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2 3，等等

2≈1.414 3≈1.732 5≈2.236

? sin? cos? tan? 0° 0 1 0 30° 1245° 2260° 90° 3212 1 0 / 323322 1 3 有效数字：从左边第一个不是0的数起，到最后一个数止。如0.03120有效数字为3、1、2、0共4个有效数字。 中位数：把一列数从大到小（或从小到大）排列，若有奇数个数，中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数.

（2）方差公式：s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]．

五个连续整数的方差是2，标准差为2.

老师的经验与技巧：

一．基本运算的良好习惯：数学运算实质上就是根据运算性质和公式进行的数学变形。

（一）分级运算思想：运算的严格按照运算顺序和运算律计算；首先是运算括号里面的（绝对值与括号等同），然后乘方和开方；再乘除；最后做加减法 （二）分类思想：

1.运算要坚持有理数和无理数分家； 2.整数和分数分家；

3正数和负数要分家，正数在前，负数在后的原则。 （三）运算理解：

1.在运算中，加号“+”和正号“+”；减号“—”和负号“—”意义相同，可以通用。 2.运算的每一步要坚持首先确定运算结果的符号；再计算。

3.运算的每一步要坚持按照法则，性质，公式只是做了一个变形，做到运算不跳跃。 （四）运算习惯：

1. 乘除法运算要坚持只做乘法，不做除法；加减法只做加法，不做减法，最后一步做减法的原则。 2.运算中的任何数和式都可以化为“分数”形式，我们把这个称“万数归宗”。运算结果要写成假分数的形式。 3.代数式的运算和化简要坚持按降幂排列和字母顺序排列的原则。 4.合并同类项要先找出同类项，并做上记号再合并。

二．方程和不等式的解题经验与技巧： 1.严格运用等式和不等式的性质进行运算。 2.（系数整数化）：解方程和不等式首先要去分母。 3.（系数最小化）：解方程和不等式要对系数进行约简。

三．因式分解的步骤（口诀）： 1.因式分解首先别忘提公因（式）； 2.两项要用平方差；

3.三项先用完全平方式，不能就用“十字交叉法”。（实质上公式都可以用“十字交叉法”） 4.四项，五项必分组，分组要看下一步，能否继续分下去，不能就要再分组。

四．几何证明的辅助线添加和图形观察技巧：

1.坚持找出图形的对称轴，是添加辅助线的第一根本。

2.坚持找出图形的对称中心，构造旋转全等图形，是添加辅助线的第二根本。

3.记住公理和定理的模型图，在题目中补充完整相关图形是添加辅助线的第三根本。

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1n五.在直角坐标系和有关角，边长，周长，面积的计算问题中：

1.坚持构造RTΔ，和相似三角形，利用勾股定理，相似比和三角函数的等量关系建立方程求解。 2.利用方程的思想解决角，边长等问题是最常见的方法。

六．.应用题的步骤和常用数学方法：（列表，画图，对比，分析） 1.审题：（找出题目的数量关系和等量关系）

2.根据问题设未知数，并把与未知数有关的量用含有未知数的代数式表示出来。 3.根据等量关系列出方程（组），不等式（组）。 4.解方程，不等式求解。 5.检验 6.作答。

七．函数的本质从解析式上看，它就是一个二元方程。因此无论是应用题还是综合题都要把它作为方程来看。 1.求函数图象的交点坐标就是解它们两个解析式联立的方程组，方程组的解就是对应交点的坐标。

2.函数问题的解决一定要做到“点清，图清，式清，问题清”四清原则。而图清必须做到角清和边清（也就是线段清）做好上面“四清”的工作，问题一般就解决了！

3..求函数解析式，运用待定系数法。一般来说：求一个待定系数，只要一个已知点坐标去求；求两个待定系数，就要两个点坐标求；求三个待定系数，只要三个已知点坐标去求

八.数学审题：坚持“八清原则”和“合情推理”：

1.“点清，边清，角清，图清，式清，数量关系请，等量关系清，问题请”这是审题要做到的“八清原则”。 2.在审题过程中要坚持对已知条件进行合情推导，这叫做审题中的“合情推理”。 做好以上，你的数学成绩肯定有质的飞跃！

（望同学们在理解的基础上记忆，重在运用，总结方法，提升自己）祝你中考成功！

2013年9月8日整理。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/svso.html