线性代数期末附答案(4)

更新时间:2023-11-16 06:47:01 阅读量: 教育文库 文档下载

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《线性代数》模拟试题(四)

一、选择题(每小题4分,共24分)

1. 设A,B,C均为n阶方阵,若由AB?AC能推出B?C,则A应满足下列条件中的( ). (A)A?0 (B)A?0 (C)A?0 (D)A?0 2. 设A,B均为n阶矩阵,k为正整数,下列各式中不正确的是( ).

TT(A)A?B?A?B (B)A?B?A?B

(C)(AB)k?AB (D)AB?AB

kk?10x111?1?13. 已知A?,则A中的一次项系数是( ).

1?11?11?1?11 (A) 4 (B)1 (C) ?4 (D)?1

?a11?4. 设A?(aij)3?3,B??a31?a?21a12a31a223a11?a13??100??103??????3a31?a33?,P1??001?,P2??010?, 那么( ).

?001??010?3a21?a23?????? (A)AP1P2?B (B)P2P1A?B (C)P1AP2?B (D)P2AP1?B 5. 设A,B都是n阶非零矩阵,且AB?0,则A和B的秩( ).

(A)必有一个等于零 (B)都小于n

(C)一个小于n,一个等于n (D)都等于n

6. 设A、B为n阶方阵,且A与B相似,E为n阶单位阵,则( ).

(A)?E?A??E?B (B)A与B有相同的特征值和特征向量 (C)A与B相似于一个对角矩阵 (D)对任意常数t,tE?A与tE?B相似 二、填空题(每小题4分,共24分)

?1?20????11. 已知A??210?,则A? . ?002????421???2. 若对A??124?,有R(A)?2,则t? .

?14t???3. 向量组(Ⅰ):α1,α2,α3,(Ⅱ):α1,α2,α3,α4,(Ⅲ):α1,α2,α3,α5,如果R(Ⅰ) = R(Ⅱ) =3, R(Ⅲ) = 4, 则向量组α1,α2,α3,α5?α4的秩= .

4. 若四阶方阵A的列向量组α1,α2,α3,α4满足条件2α1?α2?α3?α4?0,则AX?α1的一个解

为 .

5. 已知n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a(a?0),则数 一定是2A?1?E的特征值.

2226. 设 f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型, 则t的取值范围

为 .

三、计算题(8+10+12+12=42分)

?200??11??????1. 设A??013?,B??20?,且 AX?B,求X.

?025??00??????2??3??2??4?????????2. 求向量组α1??0?,α2??1?,α3??1?,α4??2?的秩和一个最大无关组,并把其他向量

?2??1??0??0?????????表示成该最大无关组的线性组合.

3. 设非齐次线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)分别为

?2x4??6,?x1?x2?x1?mx2?x3?x4??5,??nx2?x3?2x4??11,(Ⅰ)?4x1?x2?x3?x4?1, (Ⅱ)??3x?x?x??3,x3?2x4??t?1,23?1?(1) 求方程组(Ⅰ)的通解;

(2) 方程组(Ⅱ)中的参数m,n,t取何值,方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)同解.

2224. 设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3,

(1)求一个正交变换化二次型为标准形; (2)设A为上述二次型的矩阵,求A. 四、证明题(5+5分)

1. 设n阶方阵A?0,但存在正整数m?2,使得A?0,证明A不能相似于对角阵.

2. 设α1,α2,?,αn?1为n?1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是和α1,α2,?,αn?1均正交的n维列向量,证明ξ1,ξ2线性相关.

《线性代数》模拟试题(四)参考答案 一、选择题(每题4分,共24分)

1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. D 二、填空题(每题4分,共24分)

1. 2. 9 3. 4 4. 5. 6. 三、计算题(10+10+10+12=42分)

1. 解:由 得, ,即 ,因为 , 所以 . 2. 解: ,

m10所以 , 是一个最大无关组,并且 , . 3. 解:(1)对方程组(Ⅰ)的增广矩阵作初等行变换 ,

由此得方程组(Ⅰ)的通解为 .

(2)当(Ⅰ)和(Ⅱ)同解时,(Ⅰ)的通解也是(Ⅱ)的通解,将(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ),即 ,

从中解得 , , .

另一方面,将 , , 代入(Ⅱ)后,其增广矩阵 ,

的行标准形与 的行标准形一样,故当 , , 时,(Ⅰ)和(Ⅱ)同解. 4. 解: , , (1) ,

所以 的特征值为 , , , 由 得对应于 的特征向量 , 由 得对应于 的特征向量 , 由 得对应于 的特征向量 , 取 , , ,令 , 则得

所求的正交变换 即 ,且 .

(2) 根据(1)知, , 所以

.

四、证明题(5+5=10分)

1. 证: 设 是 的任一特征值,则 是 的特征值,而 ,所以 ,即 的特征值

全为零,若 相似于对角阵,则存在可逆矩阵 ,使得 ,从而有 ,这与条件 矛盾,所以 不能相似于对角阵.

2. 证:设 ,则 是一个 矩阵,因为 线性相关,所以 ,故 元线性方程组 的解空间的维数为1. 又 是和 均正交的,所以 是 的解,因此 必线性相关.

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